高考数学二轮复习精准培优专练专题07 解三角形 (含解析)

培优点七  解三角形

1．解三角形中的要素

例1：的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则_____．

【答案】

【解析】（1）由已知，，求可联想到使用正弦定理：，

代入可解得：．由可得：，所以．

2．恒等式背景

例2：已知，，分别为三个内角，，的对边，

且有．

（1）求；

（2）若，且的面积为，求，．

【答案】（1）；（2）2，2．

【解析】（1）

，

即

∴或（舍），∴；

（2），

，

∴，可解得．

一、单选题

1．在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正弦定理可得，

且，

由余弦定理可得：．故选A．

2．在中，三边长，，，则等于（    ）

A．19 B． C．18 D．

【答案】B

【解析】∵三边长，，，

∴，

．故选B．

3．在中，角，，所对应的边分别是，，，若，则三角形一定是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】C

【解析】∵，由正弦定理，，∴，

∵，，为的内角，∴，，，

∴，，整理得，

∴，即．故一定是等腰三角形．故选C．

4．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】已知，，，

∴由余弦定理，可得：，

解得：，，∴．故选A．

5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据正弦定理由得：，

所以，即，
则，

又，所以．故选A．

6．设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】A

【解析】因为，所以，化为，

所以，又因为，所以，

由正弦定理可得，所以，故选A．

7．在中，角，，所对的边分别为，，，且，若，

则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】因为，所以，

也就是，所以，从而，

故，为等边三角形．故选C．

8．的内角，，的对边分别是，，且满足，则是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【解析】利用正弦定理化简已知的等式得：

，即，

∵，，为三角形的内角，∴，即，

则为直角三角形，故选B．

9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为（    ）

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】A

【解析】因为，所以，

又，∴，解方程组得，，

由余弦定理得，所以．故选A．

10．在中，，，分别为角，，所对的边．若，

则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，

∵，可得：，

∴，∴，

∵，∴，∴，

∵，∴．故答案为C．

11．在中，内角，，的对边分别是，，，若，则是（    ）

A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【解析】∵，由正弦定理得：，，代入，

得，∴进而可得，

∴，则是等边三角形．故选D．

12．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，

则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】B

【解析】利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：，

去分母移项得：，

所以，

所以．由同角三角函数得，

由正弦定理，解得所以或（舍）．故选B．

二、填空题

13．在中，角，，的对边分别为，，，，，则角的最大值为_____；

【答案】

【解析】在中，由角的余弦定理可知

，

又因为，所以．当且仅当，时等号成立．

14．已知的三边，，成等比数列，，，所对的角分别为，，，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】∵的三边，，成等比数列，

∴，得，

又∵，∴，，

可得，故答案为．

15．在中三个内角，，，所对的边分别是，，，若，且，则面积的最大值是________

【答案】

【解析】∵，

∴，

则，结合正弦定理得，即，

由余弦定理得，化简得，

故，，故答案为．

16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，，

则面积的取值范围是__________．

【答案】

【解析】∵中，，成等差数列，∴．

由正弦定理得，∴，，

∴

，

∵为锐角三角形，∴，解得．

∴，∴，

∴，故面积的取值范围是．

三、解答题

17．己知，，分别为三个内角，，的对边，且．

（1）求角的大小；

（2）若，且的面积为，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由正弦定理得，，

∵，∴，即．

∵∴，∴，∴．

（2）由可得．∴，

∵，∴由余弦定理得：，

∴．

18．如图，在中，点在边上，，，．

．

（1）求的面积．

（2）若，求的长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由题意，

在中，由余弦定理可得

即或（舍），

∴的面积．

（2）在中，由正弦定理得，

代入得，由为锐角，故，

所以，

在中，由正弦定理得，

∴，解得．