备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第四章 三角函数、解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式

考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；

2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan__α.

2.三角函数的诱导公式

1.同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.(　　)

(3)若α∈R，则tan α＝恒成立.(　　)

(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

解析　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1.

(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.

(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.

(4)当k为奇数时，sin α＝，

当k为偶数时，sin α＝－.

2.求值：cos＝________.

答案　－

解析　cos＝－cos ＝－.

3.若cos α＝，则tan α＝________.

答案　±

解析　因为cos α＝，所以sin α＝±＝±＝±.

故tan α＝＝±.

4.(易错题)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.

答案　－

解析：∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.

又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈，

∴sin θ－cos  θ＝－.

5.(2022·昆明诊断)若cos＝，则sin＝________.

答案　

解析　sin＝sin＝cos＝.

6.(2021·沈阳模拟)已知2sin(π－α)＝3sin，则sin2α－sin 2α－cos2α＝________.

答案　－

解析　由2sin(π－α)＝3sin，

得2sin α＝3cos α.

所以tan α＝，从而sin2α－sin  2α－cos2α＝

＝＝－.

考点一　诱导公式的应用

1.化简：＝________.

答案　－

解析　原式＝＝－.

2.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin α＝，则sin β＝________.

答案　

解析　由已知得α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.

∵sin α＝，

∴sin β＝sin(π＋2kπ－α)＝sin α＝.

3.(2022·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________.

答案　－

解析　sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°

＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°

＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°

＝－cos 17°＋cos 17°－＝－.

感悟提升　1.诱导公式的两个应用

(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.

2.含2π整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.

考点二　同角三角函数基本关系及其应用

角度1　切弦互化

例1 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)

A.   B.－   C.   D.－

(2)(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)

A.－   B.－   C.   D.

答案　(1)D　(2)C

解析　(1)因为tan α＝－，

所以＝－，

所以cos α＝－sin α，

代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝，

又α是第四象限角，所以sin α＝－.

(2)因为tan θ＝－2，

所以＝

＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝

＝＝＝.

角度2　sin α±cos  α与sin αcos α的转化

例2 若sin θ－cos θ＝，且θ∈，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝(　　)

A.－   B.   C.－   D.

答案　A

解析　由sin θ－cos θ＝得1－2sin θcos θ＝，即2sin θcos θ＝－，

∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcosθ＝.

又θ∈，∴sin θ＋cos θ＜0，

∴sin θ＋cos θ＝－，

则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－，故选A.

感悟提升　1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.

(2)形如，asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等类型可进行弦化切.

2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.

训练1 (1)(2022·北京西城区模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α等于(　　)

A.   B.－   C.   D.－

(2)(2022·成都联考)在△ABC中，sin A·cos A＝－，则cos A－sin A的值为(　　)

A.－   B.－   C.   D.±

(3)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝，则tan α＝________.

答案　(1)D　(2)B　(3)或

解析　(1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，

所以sin α＝＝，

所以tan α＝＝－.

(2)∵在△ABC中，sin A·cos A＝－，

∴A为钝角，∴cos A－sin A＜0，

∴cos A－sin A＝－

＝－

＝－＝－.

(3)将sin α＋cos α＝两边平方得

1＋2sin αcos α＝，

∴sin αcos α＝，

∴＝＝，

整理得12tan2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝或tan α＝.

考点三　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用

例3 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)

A.   B.   C.   D.

(2)已知cos＝a(|a|≤1)，则cos＋sin的值是________.

答案　(1)A　(2)0

解析　(1)由3cos 2α－8cos α＝5，

得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，

即3cos2α－4cos α－4＝0，

解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).

又因为α∈(0，π)，

所以sin α＝＝＝.故选A.

(2)∵cos＝cos

＝－cos＝－a，sin

＝sin＝cos＝a，

∴cos＋sin＝0.

感悟提升　1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等，常见的互补关系有－θ与＋θ，＋θ与－θ，＋θ与－θ等.

训练2 (1)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________；

(2)(2021·九江模拟)已知cos＝，则sin＝________.

答案　(1)－　(2)－

解析　(1)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2 θ， 得6sin θcos θ＝－8cos2 θ，

又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，

所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.

(2)因为2＋＋2α＝，

所以sin＝sin

＝cos＝2cos2－1

＝2×－1＝－.

1.sin 1 050°等于(　　)

A.   B.－   C.   D.－

答案　B

解析　sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－.

2.若角α的终边在第三象限，则＋的值为(　　)

A.3   B.－3   C.1   D.－1

答案　B

解析　由角α的终边在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3，故选B.

3.已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan(π＋α)等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

答案　C

解析　因为α是第四象限角，sin α＝－，

所以cos α＝＝，

故tan(π＋α)＝tan α＝＝－.

4.已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A.－   B.－  C.   D.

答案　A

解析　∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－＝－.

5.已知sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)

A.－   B.－   C.   D.

答案　A

解析　∵sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，

∴－sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－，

∵|θ|<，∴θ＝－.

6.若3sin α＋cos α＝0，则的值为 (　　)

A.   B.   C.   D.－2

答案　A

解析　由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－，

则＝

＝＝＝.

7.＝(　　)

A.sin 2－cos 2    B.sin 2＋cos 2

C.±(sin 2－cos 2)    D.cos 2－sin 2

答案　A

解析　

＝＝

＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.

8.(2022·太原调研)已知3sin＝－5cos，则tan等于(　　)

A.－   B.－   C.   D.

答案　A

解析　由3sin＝－5cos，

得sin＝－cos，

所以tan＝

＝＝－.

9.(2022·合肥模拟)已知tan(π－α)＝2，则＝________.

答案　

解析　由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2，则＝＝＝.

10.已知k∈Z，则的值为________.

答案　－1

解析　当k＝2n(n∈Z)时，

原式＝

＝

＝＝－1.

当k＝2n＋1(n∈Z)时，

原式＝

＝＝＝－1.

综上，原式＝－1.

11.已知α为钝角，sin＝，则sin＝________，cos＝________.

答案　－　

解析　sin＝cos

＝cos，

∵α为钝角，∴π<＋α<π.

∴cos<0.

∴cos＝－＝－.

cos＝sin

＝sin＝.

12.若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为________.

答案　1－

解析　由题意知sin θ＋cos θ＝－，

sin θcos θ＝，

又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

∴＝1＋，解得m＝1±，

又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，

∴m＝1－.

13.已知角α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin  α等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

答案　D

解析　终边在直线y＝x上的角为kπ＋(k∈Z)，因为角α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z).又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝sin＝.

14.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝(　　)

A.   B.   C.   D.

答案　C

解析　由已知得

消去sin β，得tan α＝3，

∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，

化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角).

15.已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 023)的值为________.

答案　－3

解析　因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，

所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)

＝asin α＋bcos β＝3，

所以f(2 023)＝

asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)

＝－acos α－bcos β＝－3.

16.已知2θ是第一象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，那么tan θ＝________.

答案　

解析　因为sin4θ＋cos4θ＝，

所以(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝.

所以sin θcos θ＝，所以＝，

即＝，解得tan θ＝或tan θ＝.

又因为2θ为第一象限角，

所以2kπ<2θ<2kπ＋，k∈Z.

所以kπ<θ<＋kπ，k∈Z.

所以0<tan θ<1.所以tan θ＝.