备战2024年高考数学大一轮复习(人教A版-理)第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第8节 离散型随机变量的均值与方差
展开第8节 离散型随机变量的均值与方差
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念;2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单实际问题.
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)=__(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b.
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).
1.若X,Y相互独立,则E(X·Y)=E(X)·E(Y).
2.均值与方差的关系:D(X)=E(X2)-E2(X).
3.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数,与概率无关.( )
(2)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量.( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量平均程度越小.( )
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平,而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度,因此它们不是一回事,故(1)(4)均不正确.
2.(2022·潍坊模拟)已知X的分布列为( )
X
-1
0
1
P
设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
A. B.4 C.-1 D.1
答案 A
解析 E(X)=-1×+0×+1×=-,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-+3=.
3.(易错题)若随机变量X满足P(X=c)=1,其中c为常数,则D(X)的值为________.
答案 0
解析 ∵P(X=c)=1,∴E(X)=c×1=c,
∴D(X)=(c-c)2×1=0.
4.(易错题)在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为,且每道题完成与否互不影响.记乙能答对的题数为Y,则Y的数学期望为________.
答案 2
解析 由已知得Y的可能取值为0,1,2,3,且Y~B,则E(Y)=3×=2.
5.已知等差数列{xn}的公差d>0,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x9,则方差D(ξ)=________.
答案 d2
解析 由等差数列的性质可得x1,x2,x3,…,x9的平均数为x5,
故D(ξ)=[(x1-x5)2+(x2-x5)2+…+(x9-x5)2]=(16d2+9d2+4d2+d2+d2+4d2+9d2+16d2)=d2.
6.(2021·绍兴模拟)袋中装有质地大小相同的1个白球和2个黑球,现分两步从中摸球:第一步从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球则涂成黑球,若摸得黑球则不改变);第二步再从袋中随机摸取2个球,记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ,则P(ξ=0)=________;E(ξ)=________.
答案
解析 ξ的所有可能结果为1,0,P(ξ=1)=·=,P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=,所以E(ξ)=1×+0×=.
考点一 离散型随机变量的均值与方差
例1 某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X(单位:元),求X的分布列与数学期望E(X),方差D(X).
解 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为
1--=,1--=.
两人都付0元的概率为p1=×=,
两人都付40元的概率为p2=×=,
两人都付80元的概率为
p3=×
=×=,
则两人所付费用相同的概率为
p=p1+p2+p3=++=.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为X,X可能取值为0,40,80,120,160,则:
P(X=0)=×=;
P(X=40)=×+×=;
P(X=80)=×+×+×=;
P(X=120)=×+×=;
P(X=160)=×=.
所以X的分布列为
X
0
40
80
120
160
P
E(X)=0×+40×+80×+120×+160×=80.
D(X)=(0-80)2×+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×=.
感悟提升 1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.
2.注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.
训练1 (2022·韶关模拟)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:
得分
频数
[30,40)
2
[40,50)
13
[50,60)
21
[60,70)
25
[70,80)
24
[80,90)
11
[90,100)
4
(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求μ的值;
②若P(ξ>2a-5)=P(ξ (2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
赠送话费的金额(单位:元)
20
50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列与数学期望.
解 (1)①由题意得
=60.5,
∴μ=60.5.
②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.
(2)①由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)=,获赠话费X的可能取值为20,40,50,70,100,
P(X=20)=×=,
P(X=40)=××=,
P(X=50)=×=,
P(X=70)=××+××=,
P(X=100)=××=,
∴X的分布列为
X
20
40
50
70
100
P
∴E(X)=20×+40×+50×+70×+100×=.
考点二 二项分布的均值与方差
例2 (2021·东北三省三校联考)随着经济的发展,轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
(1)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5,7.5)(时)内的频率;
(2)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表);
(3)以频率估计概率,记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[4.5,6.5)(时)内的周数为X,求X的分布列以及数学期望.
解 (1)依题意,此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5,7.5)(时)内的频率为1-0.03-0.1-0.2-0.19-0.09-0.04=0.35.
(2)所求平均数为=4×0.03+5×0.1+6×0.2+7×0.35+8×0.19+9×0.09+10×0.04=7(时).
(3)依题意,X~B.
P(X=0)==,
P(X=1)=C××=,
P(X=2)=C××=,
P(X=3)=C××=,
P(X=4)==.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
故E(X)=0×+1×+2×+3×+4×
=.
感悟提升 二项分布的均值与方差
(1)如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np;D(X)=np·(1-p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同样还可求出D(aX+b).
训练2 (1)(2022·西南名校联盟模拟)已知随机变量ξ服从二项分布ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,则D(3ξ)=( )
A. B.8 C.12 D.24
答案 D
解析 因为E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,所以p=.故D(3ξ)=32D(ξ)=9×12××=24.
(2)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动,为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来,宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行.活动开始后,一位参加者问:“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡?”主持人答:“我只知道,从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
①求抽奖者获奖的概率;
②为了增加抽奖的趣味性,规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回,再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖,现有甲、乙、丙三人依次抽奖,用X表示获奖的人数,求X的分布列和均值.
解 ①设“扫黑除恶利国利民”卡有n张,
由=,得n=4,故“普法宣传人人参与”卡有5张,抽奖者获奖的概率为=.
②在新规则下,每个抽奖者获奖的概率为
×+×=,
所以X~B,
P(X=k)=C(k=0,1,2,3),
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)=3×=.
考点三 均值与方差在决策问题中的应用
例3 (2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解 (1)由题意得,X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得
E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48
=54.4.
当小明先回答B类问题时,记Y为小明的累计得分,
则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48
E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48
=57.6.
因为57.6>54.4,即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.
感悟提升 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
训练3 某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
解 若按“项目一”投资,设获利为X1万元,X1的所有可能取值为300,-150.则X1的分布列为
X1
300
-150
P
∴E(X1)=300×+(-150)×
=200(万元).
若按“项目二”投资,设获利X2万元,X2的所有可能取值为500,-300,0.则X2的分布列为:
X2
500
-300
0
P
∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元).
D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35 000,
D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140 000.
所以E(X1)=E(X2),D(X1)
综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)=( )
A. B.2 C. D.3
答案 A
解析 由数学期望公式可得
E(X)=1×+2×+3×=.
2.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的均值为E(X)=3,则a-b等于( )
A. B.0 C.- D.
答案 A
解析 由题意知(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,又X的均值E(X)=3,则(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3,∴a=,b=0,∴a-b=.
3.(2022·蓉城名校联考)已知随机变量X服从二项分布B(4,p),其均值E(X)=3,随机变量Y服从正态分布N(1,2),若P(Y>0)=p,则P(0
答案 D
解析 E(X)=4p=3⇒p=,所以P(0
A.2 B.1 C. D.
答案 C
解析 每次取球时,取到红球的概率为、黑球的概率为,所以取出红球的概率服从二项分布,即X~B,所以D(X)=3××=,故选C.
5.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以X表示取出球的最小号码,则E(X)=( )
A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.6
答案 B
解析 易知随机变量X的取值为0,1,2,
由古典概型的概率计算公式得P(X=0)==0.6,P(X=1)==0.3,
P(X=2)==0.1.
所以E(X)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5,故选B.
6.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 依题意,知X的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.
若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.
从而有P(X=2)=,
P(X=4)=×=,
P(X=6)==,
故E(X)=2×+4×+6×=.
7.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=________.
X
0
2
a
P
p
答案 4
解析 因为p=1--=,
所以E(X)=0×+2×+a×=2,
解得a=3,
所以D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1,
所以D(2X-3)=22D(X)=4.
8.(2021·银川模拟)在一次随机试验中,事件A发生的概率为p,事件A发生的次数为X,则数学期望E(X)=______,方差D(X)的最大值为________.
答案 p
解析 记事件A在一次随机试验中发生的次数X可能的值为0,1.
X
0
1
P
1-p
p
数学期望E(X)=0×(1-p)+1×p=p,
方差D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p
=p(1-p)≤.
故数学期望E(X)=p,方差D(X)的最大值为.
9.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%;如果失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施结果:
投资成功
投资失败
192例
8例
则估计该公司一年后可获收益的均值是________元.
答案 4 760
解析 由题意知,一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故一年后收益的均值是6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元).
10.(2022·郑州模拟)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成,射手的每次射击都是相互独立的,已知每名男射手每次的命中率为,女射手每次的命中率为.
(1)当每人射击2次时,求该射击小组共射中目标4次的概率;
(2)当每人射击1次时,规定两名男射手先射击,如果两名男射手都没有射中,那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标3次得100分,射中目标2次得60分,射中目标1次得10分,没有射中目标得-50分.用随机变量X表示这个射击小组的总得分,求X的分布列及数学期望.
解 (1)记“该射击小组共射中目标4次”为事件A,
则P(A)=×+C××C×+C××==.
(2)X的可能取值为100,60,10,-50,
P(X=100)=×=,
P(X=60)=C×+C×××==,
P(X=10)=C×××
=,
P(X=-50)==,
所以X的分布列为
X
100
60
10
-50
P
故X的数学期望E(X)=100×+60×+10×-50×=.
11.(2021·东北师大附中模拟)据调查,目前对于已经近视的小学生,有两种佩戴眼镜的方式可供选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜,这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度,越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展).A市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的8人中,2名是男生,6名是女生).
(1)若从样本中随机选取一名小学生,已知这名小学生佩戴眼镜,那么,他佩戴的是角膜塑形镜的概率是多大?
(2)从这8名佩戴角膜塑形镜的小学生中,随机选出3人,求其中男生人数X的分布列;
(3)若将样本的频率当成估计总体的概率,请问,从A市的小学生中,随机选出20名小学生,求佩戴角膜塑形镜的人数Y的均值和方差.
解 (1)记“这名小学生佩戴眼镜”为事件A,“这名小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B,P(A)=0.24,P(AB)=P(B)=0.08,
在已知这名小学生佩戴眼镜的条件下,他佩戴角膜塑形镜的概率为P(B|A).
P(B|A)===.
所以若从样本中随机选取一名小学生,已知这名小学生佩戴眼镜,则他佩戴的是角膜塑形镜的概率是.
(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)===;
P(X=1)===;
P(X=2)===.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
(3)由已知可得,Y~B(20,0.08),
则E(Y)=np=20×0.08=1.6,
D(Y)=np(1-p)=20×0.08×0.92
=1.472,
所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的均值是1.6,方差是1.472.
12.小智参加三分投篮比赛,投中1次得1分,投不中扣1分,已知小智投篮命中率为0.5,记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ,则D(|ξ|)为( )
A. B. C. D.3
答案 B
解析 由题意可得ξ的可能取值为-3,3,-1,1,
小智投篮命中率为,
所以P(ξ=3)=P(ξ=-3)=,
P(ξ=1)=P(ξ=-1)=,
故随机变量|ξ|的分布列为
|ξ|
1
3
P
故E(|ξ|)=1×+3×=,
D(|ξ|)=×+×=,故选B.
13.开学后,某学校食堂为了减少师生就餐排队时间,特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种.已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种,米饭套餐的价格是每份15元,面食套餐的价格是每份10元,如果小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为pn,给出以下论述:
①小明同学第二天一定选择面食套餐;②p3=0.68;③pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N);
④前n天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为n+-.
其中正确的是________(填序号).
答案 ②③④
解析 在①中,第1天小明选择了米饭套餐,则小明第二天有80%的可能选择面食套餐,故①错误;
在②中,∵第1天小明选择了米饭套餐,
∴p3=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68,故②正确;
在③中,∵小明当天选择了某种套餐,他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐,假如第1天小明选择了米饭套餐,第n天选择米饭套餐的概率为pn,
∴pn=0.2pn-1+0.8(1-pn-1)(n≥2,n∈N),故③正确;
在④中,当n=1时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为
15=×1+-×.
当n=2时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为15+15×0.2+10×0.8=×2+-×.
当n=3时,前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为
15+15×0.2+10×0.8+15×0.68+10×0.32=×3+-×.
由此猜想前n天小明午餐花费的总费用的数学期望为n+-,故④正确.
14.(2022·成都诊断)某商超为庆祝店庆十周年,准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次消费达到400元,则可参加一次抽奖活动,主办方设计了两种抽奖方案:
方案①:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得80元的返金券,若抽到白球,则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.
方案②:一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球,其中3个红球,9个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球,则顾客获得100元的返金券,若抽到白球,则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.
(1)现有一位顾客消费了420元,获得一次抽奖机会,试求这位顾客获得180元返金券的概率;
(2)如果某顾客获得一次抽奖机会,那么他选择哪种方案更划算?
解 (1)在一次抽奖机会的情况下,要想获得180元返金券,只能选择方案①,且两次摸到红球,一次摸到白球,而每一次摸到红球的概率p==,摸到白球的概率为=.
设“这位顾客获得180元返金券”为事件A,
则P(A)=C=.
故这位顾客获得180元返金券的概率为.
(2)若选择抽奖方案①,则每一次摸到红球的概率为,每一次摸到白球的概率为.设获得返金券金额为X元,则X可能的取值为60,120,180,240.
则P(X=60)=C=,
P(X=120)=C=,
P(X=180)=C=,
P(X=240)=C=.
所以选择抽奖方案①,则该顾客获得返金券的数学期望为E(X)=60×+120×+180×+240×=105(元).
若选择抽奖方案②,设三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y,最终获得返金券的金额为Z元,则Y~B,故E(Y)=3×=.
则顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(100Y)=100×=75(元),
从而有E(X)>E(Z),所以应选择方案①更划算.
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