备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量及其分布列

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6节 离散型随机变量及其分布列，共15页。试卷主要包含了离散型随机变量的分布列及性质，常见离散型随机变量的分布列，已知离散型随机变量X的分布列为，设随机变量X的概率分布列为，某射击选手射击环数的分布列为，设离散型随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。

第6节　离散型随机变量及其分布列
考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.


1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P


…


随机变量的线性关系
若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布.(　　)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.
2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
3.(2022·南京十三中月考)一个盒子里有1红1绿2黄共四个手感完全相同的球，每次拿一个不放回，拿出红球即停.设拿出黄球的个数为X，则P(X＝0)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为X＝0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以P(X＝0)＝＋×＝.
4.(易错题)已知离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
0.5
1－2q
q2
则常数q＝________.
答案　1－
解析　由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去).
5.(2021·西安月考)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.
答案　
解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，
由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
得P(X＝0)＝.
6.(2021·郑州检测)设随机变量X的概率分布列为
X
1
2
3
4
P

m


则P(|X－3|＝1)＝________.
答案　
解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)
＝＋＝.


考点一　离散型随机变量分布列的性质
1.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ
－1
0
1
2
3
P





则下列各式正确的是(　　)
A.P(ξ<3)＝ B.P(ξ>1)＝
C.P(2<ξ<4)＝ D.P(ξ<0.5)＝0
答案　C
解析　P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ>1)＝＋＝，B错误；
P(2<ξ<4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误.故选C.
2.离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，所以a＝，
所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
3.随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
答案　　
解析　因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.
感悟提升　分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.
考点二　离散型随机变量的分布列
例1 (12分)某市某超市为了回馈新老顾客，决定在2022年元旦来临之际举行“庆元旦，迎新年”的抽奖派送礼品活动.为设计一套趣味性抽奖送礼品的活动方案，该超市面向该市某高中学生征集活动方案，该中学某班数学兴趣小组提供的方案获得了征用.方案如下：将一个4×4×4的正方体各面均涂上红色，再把它分割成64个相同的小正方体.经过搅拌后，从中任取两个小正方体，记它们的着色面数之和为ξ，记抽奖一次中奖的礼品价值为η.
(1)求P(ξ＝3)；
(2)凡是元旦当天在该超市购买物品的顾客，均可参加抽奖.记抽取的两个小正方体着色面数之和为6，设为一等奖，获得价值50元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为5，设为二等奖，获得价值30元的礼品；记抽取的两个小正方体着色面数之和为4，设为三等奖，获得价值10元的礼品，其他情况不获奖.求某顾客抽奖一次获得的礼品价值的分布列与数学期望.
[规范解答]
解　(1)64个小正方体中，三面着色的有8个，两面着色的有24个，一面着色的有24个，另外8个没有着色，
∴P(ξ＝3)＝＝
＝.4分
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，η的取值为50，30，10，0，5分
P(η＝50)＝P(ξ＝6)＝＝＝，
6分
P(η＝30)＝P(ξ＝5)＝＝
＝，7分
P(η＝10)＝P(ξ＝4)＝
＝＝，8分
P(η＝0)＝1－－－＝.9分
则随机变量η的分布列为
η
50
30
10
0
P




10分
∴E(η)＝50×＋30×＋10×＋0×＝.12分

第一步　确定随机变量的所有可能值
第二步　求每一个可能值所对应的概率
第三步　列出离散型随机变量的分布列
第四步　求均值
第五步　反思回顾、查看关键点、易错点和答题规范
训练1 (2022·合肥质检)某厂将一种坯件加工成工艺品需依次经过A，B，C三道工序，三道工序相互独立.工序A的加工成本为70元/个，合格率为，合格品进入工序B；工序B的加工成本为60元/个，合格率为，合格品进入工序C；工序C的加工成本为30元/个，合格率为.每道工序后产生的不合格品均为废品.
(1)求一个坯件在加工过程中成为废品的概率；
(2)已知坯件加工成本为A，B，C三道工序加工成本之和，求每个坯件加工成本的分布列.
解　(1)一个坯件在加工过程中成为废品的概率p＝1－××＝.
(2)设每个坯件的加工成本为ξ元，
则P(ξ＝70)＝，
P(ξ＝130)＝×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
∴ξ的分布列为
ξ
70
130
160
P



考点三　超几何分布
例2 某市政府出台了“创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，评分在[60，80)内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；
③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率.

(1)求被调查者满意或非常满意该项目的频率；
(2)若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；
(3)已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众监督员，记ξ为群众监督员中老年人的人数，求随机变量ξ的分布列.
解　(1)根据题意知评分为60分及以上被认
定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在[60，100]内的频率为(0.028＋0.03＋0.016＋0.004)×10＝0.78.
(2)根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是(0.016＋0.004)×10＝0.2＝，
所以用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人，该人非常满意该项目的概率为.
现从中抽取3人，恰有2人非常满意该项目的概率为P＝C··＝.
(3)因为评分低于60分的被调查者中，老年人占，又从被调查者中按年龄分层抽取9人，
所以这9人中，老年人有3人，非老年人有6人.
所以随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P



感悟提升　1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：
(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.
2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.
训练2 (2022·长春质量监测节选)某小区超市采取有力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类物资的购买量进行了调查，得到了如下频率分布直方图.现从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意抽取5户.

(1)若将频率视为概率，求至少有2户购买量(单位：kg)在[3，4)内的概率；
(2)若抽取的5户中购买量(单位：kg)在[3，6]内的户数为2，从抽取的5户中选出3户进行生活情况调查，记这3户中购买量(单位：kg)在[3，6]内的户数为ξ，求ξ的分布列.
解　(1)由题意及频率分布直方图得，从小区超市购买甲类物资的居民户中任意抽取1户，购买量(单位：kg)在[3，4)内的概率为，
至少有两户购买量在[3，4)(单位：kg)的对立事件为“只有一户购买，或没有购买的用户”，
所以所求概率
p＝1－－C＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P





1.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　)
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
答案　D
解析　第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，只能等于5.故选D.
2.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5
答案　C
解析　“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
3.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质，得＝1，解得a＝3，所以P(X＝2)＝＝.故选C.
4.一个袋中装有4个红球、3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记得分为X，则X的可能取值为5，6，7，8，
P(X＝7)＝＝；
P(X＝8)＝＝，
所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)
＝＋＝.
5.若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2] B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知：
P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，
P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
6.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为X，已知P(X＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A.10% B.20%
C.30% D.40%
答案　B
解析　设10件产品中有x件次品，
则P(X＝1)＝＝＝，解得x＝2或8，又该产品的次品率不超过40%，所以x＝2，故这10件产品的次品率为＝20%.
7.某射击选手射击环数的分布列为
X
7
8
9
10
P
0.3
0.3
a
b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
答案　40%
解析　由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.
8.设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
答案　0.5
解析　由分布列的性质，知
0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________.
答案　－1，0，1，2，3
解析　X＝－1，甲抢到一题但答错了.
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错.
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对.
X＝2时，甲抢到2题均答对.
X＝3时，甲抢到3题均答对.
10.设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5).
(1)求a的值；
(2)求P；
(3)求P.
解　(1)由分布列的性质，得
P＋P＋P＋
P＋P(X＝1)
＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P
＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
11.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2020年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2020年度的月均销售额(单位：万元)分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.
(1)根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励，试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；
(2)在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假，为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止，设审核次数为X，求X的分布列.
解　(1)该小组共有11名销售员2020年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.
∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为＝55%.
∵55%<65%，故不需要对该销售小组发放奖励.
(2)由题意，随机变量X的可能取值为1，2，3，4.
则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
∴随机变量X的分布列为

X
1
2
3
4
P





12.若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1 A.(1－α)(1－β) B.1－(α＋β)
C.1－α(1－β) D.1－β(1－α)
答案　B
解析　由分布列的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).
13.一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)
A.P(X＝3) B.P(X≥2)
C.P(X≤3) D.P(X＝2)
答案　D
解析　当X＝2时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有A种取法，再任意拿出1个黑球即可，有C种取法，而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即A，P(X＝2)＝＝.
14.(2021·太原模拟)某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表.

老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
(1)由上表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三类人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
(2)为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，随机抽取3人征集整改建议，记X为这3人中老年人的人数，求X的分布列；
(3)若你朋友要到该地区旅游，根据上表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
解　(1)由题表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为p1＝＝，p2＝＝，p3＝＝，
因为p1>p2>p3，
所以老年人更倾向于选择报团游.
(2)由题意得X所有可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



(3)由题表可知，报团游的满意率为p4＝＝，
自助游的满意率为p5＝＝，
因为p4>p5，故建议他选择报团游.