备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 高考难点突破课二 圆锥曲线的综合问题 第三课时 最值、范围问题

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第三课时　最值、范围问题题型一　距离与面积的最值(范围)例1 已知椭圆C：＋＝1(a>)的右焦点F到左顶点的距离为3.(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点F的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，若＝＋，延长AO交椭圆于点G，求四边形AGBE的面积S的最大值.解　(1)由已知得b2＝3，a＋c＝3，a2＝b2＋c2.联立以上3个式子，可得a2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)法一　因为过F(1，0)的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不在x轴上)，所以设l的方程为x＝ty＋1，由得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为＝＋，所以四边形AOBE为平行四边形，所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB＝|y1－y2|＝＝.令＝m，则m≥1，S＝＝.由函数的单调性易得当m＝1，即t＝0时，Smax＝.法二　由＝＋知四边形AOBE为平行四边形.所以S＝S▱AOBE＋S△OGB＝3S△AOB.当直线AB的斜率不存在时，S＝3S△AOB＝.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0.由得(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得所以S＝3S△AOB＝|y1－y2|＝＝.令4k2＋3＝m，则m>3，S＝<.综上知，四边形AGBE的面积S的最大值Smax＝.感悟提升　1.本题求四边形AGBE面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解.2.若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.训练1 (2022·南宁模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右顶点M到左焦点的距离为3，直线l与椭圆C交于点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MA，MB的斜率为k1，k2.若4k1k2＋9＝0，求|AB|的最小值.解　(1)设椭圆的半焦距为c，由题意得解得∴b＝，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意知，直线l的斜率不为0，设其方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝，Δ＝(6mn)2－4(3m2＋4)(3n2－12)＝48(3m2－n2＋4)>0.由(1)知M(2，0)，则直线MA，MB的斜率分别为k1＝，k2＝，∴k1k2＝＝＝＝＝＝＝－，解得n＝1.∴直线l的方程为x＝my＋1，直线l过定点(1，0)，此时，y1＋y2＝－，y1y2＝，∴|AB|＝|y1－y2|＝·＝＝·＝＝4·＝4≥3(当且仅当m＝0时取等号)，∴|AB|的最小值为3.题型二　斜率或某些参数(式子)的最值(范围)例2 (2021·兰州诊断)已知抛物线y2＝4x及点P(4，0).(1)以抛物线的焦点F为圆心，|FP|为半径作圆，求圆F与抛物线交点的横坐标；(2)若A，B是抛物线上不同的两点，且直线AB与x轴不垂直，弦AB的垂直平分线恰好经过点P，求·的取值范围.解　(1)由已知得F(1，0)，所以圆F的方程为(x－1)2＋y2＝9，由得x2＋2x－8＝0.解得x＝2或x＝－4.由于x>0，所以x＝2.则圆与抛物线交点的横坐标为2.(2)设弦AB的中点为M，A，B，M(x0，y0)，则x0＝，y0＝，设线段AB的垂直平分线的方程为y＝k(x－4)(k≠0)，则直线AB的斜率kAB＝＝＝＝－，∴y0＝－2k.∵点M在弦AB的垂直平分线上，∴y0＝k(x0－4)(k≠0)，∴x0＝2.则直线AB的方程为k(y－y0)＝2－x，由得ky－ky0＝2－，即y2＋4ky＋8k2－8＝0，∴Δ＝16k2－32k2＋32＝－16k2＋32>0，∴0<k2<2.∵y1＋y2＝－4k，y1y2＝8k2－8，∴·＝＋y1y2＝－(y＋y)＋1＋y1y2＝4(k2－1)2－4＋1＋8k2－8＝4k4－7，∴·的取值范围是(－7，9).感悟提升　圆锥曲线中求解含双变量的式子的取值范围的方法：几何条件定代换；目标关系式求范围.训练2 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.解　(1)原点到直线x＋y－1＝0的距离为，由题得＋＝b2(b>0)，解得b＝1.又e2＝＝1－＝，得a＝2，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)当直线l的斜率为0时，直线l：y＝0为x轴，λ＝|MA|·|MB|＝12.当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0.由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，所以y1y2＝.λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2|＝(m2＋1)|y1y2|＝＝12.由m2>12，得0<<，所以<λ<12.综上可得：<λ≤12，即λ∈.1.已知抛物线x2＝y，点A，B(，)，抛物线上的点P(x0，y0).(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)Q是以AB为直径的圆上一点，且·＝0，求·的最大值.解　(1)设直线AP的斜率为k，则k＝＝x0－，且－<x0<，则－1<x0－<1.所以直线AP斜率的取值范围是(－1，1).(2)由题意可知，与同向共线，BQ⊥AQ，联立直线AP与BQ的方程得解得点Q的横坐标是xQ＝.因为|AP|＝＝·(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x0)＝－，所以·＝||·||＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间上单调递增，在上单调递减，因此当k＝时，·取得最大值.2.(2022·全国名校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知定点F(1，0)，定直线l：x＝－2，动点P到l的距离比到点F的距离大1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点H(3，2)的动圆M与曲线C相交，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＝x2>3)为它们的两个交点，且动圆M与直线y＝2相交于另一点D，求|DH|的最小值.解　(1)设动点P(x，y)，则由题意知x＋2＝|PF|＋1，所以x＋1＝|PF|，即点P到定直线x＝－1的距离与点P到点F的距离相等，所以点P的轨迹是以O为顶点，F为焦点的抛物线，所以轨迹C的方程为y2＝4x.(2)由题意可知圆心M在x轴上，设M(m，0)，D(x3，2)，x3>3，由题意知A(x1，2)，B(x1，－2)，连接MH，MA，则|MH|＝|MA|，即＝，即m＝.由题意知圆M的方程为(x－m)2＋y2＝(m－3)2＋4.令y＝2，得x＝2m－3或x＝3，所以x3＝2m－3，所以|DH|＝x3－3＝2m－6＝－6＝.因为x1>3，所以|DH|＝＝(x1－3)＋＋4≥2＋4＝4＋4，当且仅当x1－3＝，即x1＝3＋2(x3＝3－2舍去)时等号成立.所以|DH|的最小值为4＋4.3.(2020·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为.(1)求C的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.解　(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)，即x－2y＝－4，当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4.由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，可得＋＝1，解得b2＝12，所以C的方程为＋＝1.(2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m(m≠－4).如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x－2y＝m与椭圆方程＋＝1，可得3(m＋2y)2＋4y2＝48，化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8，点N与直线AM的距离即两平行线之间的距离，即d＝＝，由两点之间距离公式可得|AM|＝＝3，所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.4.(2022·河南顶级名校联考)已知动点P到两点(－，0)，(，0)的距离之和为4，点P在x轴上的射影是C，且＝2.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)过点(－，0)的直线交点P的轨迹于点A，B，交点Q的轨迹于点M，N，求|MN|2－|AB|的最大值.解　(1)设F1(－，0)，F2(，0)，因为点P到两点(－，0)，(，0)的距离之和为4，即|PF1|＋|PF2|＝4>|F1F2|，所以由椭圆定义可得点P的轨迹是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，所以2a＝4，且c＝，所以a＝2，则b＝＝1，所以点P的轨迹方程是＋y2＝1.设点Q的坐标为(x，y)，因为＝2，所以点P的坐标为，可得＋＝1，化简得点Q的轨迹方程为x2＋y2＝4.(2)若AB⊥x轴，则|AB|＝1，|MN|＝2，∴|MN|2－|AB|＝0.若直线AB的斜率为0，则|MN|＝|AB|＝4，∴|MN|2－|AB|＝0.若直线AB不与x轴垂直，且不与x轴重合，设直线AB的方程为y＝kx＋k(k≠0)，即kx－y＋k＝0，则坐标原点到直线AB的距离d＝，∴|MN|2＝4(4－d2)＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝kx＋k代入＋y2＝1，并化简得，(1＋4k2)x2＋8k2x＋12k2－4＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝16k2＋16>0，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝，∴|MN|2－|AB|＝＝≤＝1，当且仅当4k2＝，即k＝±时，等号成立.综上所述，|MN|2－|AB|的最大值为1.