高考数学压轴难题归纳总结培优专题1.7 极值点偏移第五招---函数的选取 (含解析)

于极值点偏移问题，前文已多次提到其解题策略是将多元问题（无论含参数或不含参数）转化为一元问题，过程都需要构造新函数. 那么，关于新函数的选取，不同的转化方法就自然会选取不同的函数.

★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．

（1）求的取值范围；   

（2）求证：；

（3）求证：；   

（4）求证：．

解：（1），若，则，在上单调递增，

至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，

在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．

（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．

（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：

（ii）构造函数，则

（4）（i）同上；

（ii）构造函数，则

当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；

（iii）将代入（ii）中不等式得，又，，在上递增，故，．

点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．

再次回到题设条件：

，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．

（3）（i），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，，

由不妨设．

【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．

注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得．

注2：在第（ii）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：

①若，则，结论成立；

②当时，类似于原解答．

而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．

【思考】

练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？

提示：用函数来做，用函数来做．

练习2 ：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知

（1）求的单调区间；

（2）设, ，为函数的两个零点，求证.

提示：将，两边取对数转化为指数方程处理.

【招式演练】

★已知函数有两个零点，

求证：.

只要证：即证：，即证：，由的单调性知，只需证：，

同理构造函数，利用单调性证明，下略.

★已知的图像上有两点，其横坐标为，且.

（1）证明：；

（2）证明：.

又构造函数：，

则，

故在上单调递增，由于时，，

且，

故必存在，使得，

故在上单调递减，在上单调递增，

又时，，且，

故在上恒成立，

也即在上恒成立，

令，有，

再由，且在上单调递增，

故，即证：成立.

综上：即证成立.

从而对恒成立，同理得出：.

综上：即证成立，也即原不等式成立. 

★已知函数．

（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最大值；

（3）若函数有两个不同的零点， ，求证： ．

【答案】（1）；（2）当时， ，当时， ，当时， ；（3）证明见解析.

试题解析：

（1）因为点在曲线上，所以，解得．

因为，所以切线的斜率为0，

所以切线方程为．

（2）因为，

①当时， ， ，

所以函数在上单调递增，则；

②当，即时， ， ，

所以函数在上单调递增，则；

③当，即时，

函数在上单调递增，在上单调递减，

则；

④当，即时， ， ，

函数在上单调递减，则．

综上，当时， ；

当时， ；

当时， ．

令，则，于是，

令（），

则，

故函数在上是增函数，

所以，即成立，所以原不等式成立．

所以，即成立，所以原不等式成立．

【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题，考查导数与极值、最值的问题，考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数，只需代入点的坐标解方程即可，涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值，需要对进行分类讨论，分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式，先将其转化为同一个参数，然后利用导数求其最小值来求.

★已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

（3）当时，函数的图象与轴交于两点且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明： <0.

【答案】（1）（2）（3），理由见解析

用分离参数在上恒成立，即求的最大值. 

（3）有两个实根， ，两式相减，又，

．要证： ，只需证：，令可证.

试题解析：（1）                              

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以．          

于是

．

要证： ，只需证：

只需证：．(*)              

令，∴(*)化为 ，只证即可．

在（0，1）上单调递增，，

即．∴．      

★已知函数

（）当时，求的单调区间和极值.

（）若对于任意，都有成立，求的取值范围 ；

（）若且证明：

【答案】⑴详见解析；⑵详见解析.

试题解析：⑴

①时,因为所以

函数的单调递增区间是，无单调递减区间,无极值；

②当时，令解得，

当时，当

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，

在区间上的极小值为无极大值．

⑵ 由题意，

即问题转化为对于恒成立．

即对于恒成立,

令,则

令,则

所以在区间上单调递增,故故

所以在区间上单调递增,函数

要使对于恒成立,只要,

又即证

构造函数

即[KS5UKS5U]

因为,所以即

所以函数在区间上单调递增,故

而故

所以即所以成立．

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．

★已知函数

(Ⅰ)求的单调区间；

（Ⅱ）设极值点为，若存在，且，使，求证：

【答案】（1）增区间为： 减区间为： ；（2）见解析.

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为，

由得:

由得增区间为：

由得减区间为：

（Ⅱ）要证，只需证

由（Ⅰ）知在上为增函数，

在上是增函数， ，即

又成立，即

★已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若函数， 是函数的两个零点， 是函数的导函数，证明： .

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当时， ， 递增，当时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为，减区间为；（2）利用分析法先等价转化所证不等式：要证明，只需证明 ，即证明，即证明，再令，构造函数，利用导数研究函数单调性，确定其最值： 在上递增，所以，即可证得结论.

试题解析：(1) 的定义域为，    

当时， ， 递增

当时，

递增； 递减

综上：∴当时， 的单调增区间为，单调减区间为

当时， 的单调增区间为                     

即证明，即证明             

令，则

则，

∴在上递减， ，∴在上递增，

所以成立，即

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

★已知函数与的图象关于直线对称.

（1）不等式对任意恒成立，求实数的最大值；

（2）设在内的实根为， ，若在区间上存在，证明： .

【答案】（1）1（2）见解析

：要证： ，即证： ，只要证，即证，构造函数，其中.利用导数可得 在上单调递增，即得

试题解析：（1）由，所以，

设，∴.

由，∴， 在上单调递增；

，∴， 在上单调递减，所以，即，所以实数的最大值为.

而，故，而，从而，

因此当，即单调递增.

从而当时， ，即，故得证.

★已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为.

（1）求实数的值及函数的单调区间；

（2）设函数，证明时， .

【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.

★已知.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，，为函数的两个零点，求证：.

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析: （Ⅰ）根据导数，分类讨论，当时， ；当时， ，由

得， 时， ， 时， ，即可得出单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的单调递增区间为，单调递减区间为．不妨设，由条件知，即，构造函数， 与图像两交点的横坐标为， ，利用单调性只需证

构造函数利用单调性证明．

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．

★已知函数， ．

（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数存在两个极值点， ，且，证明： ．

【答案】（1）．（2）详见解析.

②若，即，方程的两根为， ，当时， ，所以函数单调递减，当时， ，所以函数单调递增，不符合题意．

综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为．

（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，

即在有两个不等的实根， ，

于是， 且满足， ，

，

同理可得．

，令， ．

， ，

∵，∴，

又时， ，∴，则在上单调递增，

所以，即，得证．

★已知函数与的图象在点处有相同的切线．

（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程见解析；[KS5UKS5UKS5U]

（Ⅱ）由题意，函数，其定义域为，

，

令，得，其判别式，

函数有两个极值点， ，等价于方程在内有两不等实根，又，故．

所以，且， ，

，

令， ，

则，

由于，∴，故在上单调递减．

故．

所以，

所以．

点睛：此题主要考查函数导数的几何意义，以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识，属于高档题型，也是高频考点.在问题（Ⅰ）中根据导数几何意义建立方程组，求出函数解析式，再由题意构造函数，将问题转化为求函数的零点个数，利用导数求出函数的最值、单调区间，从而求出实数的取值范围；在问题（Ⅱ）中，由（Ⅰ）可求出函数的解析式，依据导数与极值点的关系求出参数的范围，并求出参数与极值点的关系式，根据问题构造新的函数，再用函数的单调性证明不等式成立.