新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第1章 §1.3 第1课时 并集与交集(含解析)

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§1.3　集合的基本运算
第1课时　并集与交集
学习目标　1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

知识点一　并集

思考　并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？
答案　“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示．

知识点二　交集

思考　在交集的定义中“x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的吗？
答案　“x∈A且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.

1.已知表示集合M＝{－1,0,1}和P＝{0，1,2,3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．

答案　{0,1}
解析　由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，
因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，
所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．
2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝________，M∪N＝________.
答案　{1,2}　{0,1,2,3}
解析　∵M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，
∴M∩N＝{1,2}，M∪N＝{0,1,2,3}．
3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.
答案　{x|x>0}
解析　A∪B＝{x|x>0}∪{x|1≤x≤2}＝{x|x>0}．
4．已知集合A＝{x|1 答案　{x|1 解析　因为A＝{x|1 所以A∩B＝{x|1
一、并集的运算
例1　(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　)
A．{－2} B．{－2,3}
C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}
答案　D
解析　因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，
所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．
(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2 A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}
C．{x|－2 答案　A
解析　在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

(学生)
反思感悟　并集的运算技巧
(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．
(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．
跟踪训练1　已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于(　　)
A．{0} B．{0,3}
C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}
答案　D
解析　易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．
二、交集的运算
例2　(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于(　　)
A．{1} B．{4}
C．{1,3} D．{1,4}
答案　D
解析　因为集合B中，x∈A，
所以当x＝1时，y＝3－2＝1；
当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；
当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．
又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．
(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}
答案　A
解析　在数轴上表示出集合A与B，如图所示．

则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．
(学生)
反思感悟　交集运算的注意点
(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．
(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．
跟踪训练2　若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
答案　A
解析　易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}．
三、并集、交集性质的应用
例3　已知集合A＝{x|－3 解　∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．
①当B＝∅时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠∅，则根据题意如图所示：

根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围是.
(教师)
延伸探究
把本例中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．
解　∵A∩B＝A，∴A⊆B.
又∵A＝{x|－3 可知B≠∅.
由数轴(如图所示)可知解得k∈∅，

即当A∩B＝A时，k的取值范围为∅.
(学生)
反思感悟　利用集合交集、并集的性质解题的技巧
(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况．
(2)集合运算常用的性质：
①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∩B＝A∪B⇔A＝B.
跟踪训练3　(1)A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a A．3≤a<4 B．－1 C．a≤－1 D．a<－1
答案　C
解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1.

(2)设集合M＝{x|－2 答案　{t|t≤2}
解析　由M∩N＝N，得N⊆M.
故当N＝∅，即2t＋1≤2－t，t≤时，M∩N＝N成立；
当N≠∅时，由图得解得 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}．


含字母的集合运算忽视空集或检验
典例　(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是(　　)
A．1或2 B．2或4 C．2 D．1
答案　C
解析　∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，
∴a＝1或2.
当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；
当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．
答案　{a|a≥2}
解析　由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴B⊆A，
∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；
当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．
综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．
[素养提升]　(1)经过数学运算和逻辑推理后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．
(2)在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．

1．(多选)满足{1}∪B＝{1,2}的集合B可能等于(　　)
A．{2} B．{1}
C．{1,2} D．{1,2,3}
答案　AC
解析　∵{1}∪B＝{1,2}，∴B可能为{2}或{1,2}．
2．若集合M＝{－1,0,1,2}，N＝{x|x(x－1)＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{－1,0,1,2} B．{0,1,2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
答案　D
解析　N＝{0,1}，M∩N＝{0,1}．
3．已知集合M＝{a,0}，N＝，如果M∩N≠∅，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．1或2 D.
答案　C
解析　∵N＝＝{1,2}，
又∵M＝{a,0}，M∩N≠∅，∴a＝1或a＝2.
4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝________.
答案　{－1,0,1,2}
解析　M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．
5．若集合A＝{x|－1 答案　R　{x|4≤x<5}
解析　借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．


1．知识清单：
(1)并集、交集的概念及运算．
(2)并集、交集运算的性质．
(3)求参数值或范围．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论．


1.已知集合M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)

A．{0,1} B．{0}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
答案　D
解析　由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.
因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，
故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．
2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B等于(　　)
A．{1,2,3,4,5} B．{2,3,4,5}
C．{2,3,4} D．{x∈R|1 答案　D
解析　∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，
∴A∩B＝{x∈R|1 3．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于(　　)
A．S∩T B．S C．∅ D．T
答案　B
解析　∵(S∩T)⊆S，∴S∪(S∩T)＝S.
4．(多选)A∩B＝A，B∪C＝C，则A，B，C之间的关系必有(　　)
A．A⊆C B．A⊆B
C．A＝C D．以上都不对
答案　AB
解析　A∩B＝A⇒A⊆B，B∪C＝C⇒B⊆C，∴A⊆C.
5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　D
解析　∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
6．若集合A＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，则A∩B＝________.
答案　{2,3}
解析　因为A＝{－1,2,3,4}，B＝{1,2,3,5}，所以A∩B＝{2,3}．
7．设S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，则S∩T＝________.
答案　
解析　∵S＝{x|2x＋1>0}＝，T＝{x|3x－5<0}＝，
∴S∩T＝.
8．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
答案　{a|a≤1}
解析　 因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.
9．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
解　(1)A∩B＝{x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}＝{x|x≥1}．
(2)因为C∪A＝A，所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.
故实数a的取值范围为{a|a≥4}．
10．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解　(1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0,4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)由(1)知A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，
∴(A∪B)∩C＝{2}．

11．设集合S＝{x|x>5或x<－1}，T＝{x|a A．－3 C．a≤－3或a≥－1 D．a<－3或a>－1
答案　A
解析　 ∵S∪T＝R，∴∴－3 12．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|y≥1}，则A*B等于(　　)
A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3}
C．{x|0≤x<1或x>3} D．{x|0≤x≤1或x≥3}
答案　C
解析　由题意知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，
∴A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．
13．已知集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
答案　{1,2,3}
解析　因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，
所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1,2,3}．
14．已知集合A＝{－2,3,4,6}，集合B＝{3，a，a2}，若B⊆A，则实数a＝________；若A∩B＝{3,4}，则实数a＝________.
答案　－2　2或4
解析　∵集合A＝{－2,3,4,6}，
集合B＝{3，a，a2}，B⊆A，∴a＝－2.
∵A∩B＝{3,4}，∴a＝4或a2＝4，∴a＝±2或4.
当a＝－2时，B＝{3，－2,4}，不合题意；
当a＝2或4时，B＝{3,2,4}或{3,4,16}，符合题意，
∴实数a＝2或4.

15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
答案　12
解析　设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x＝12.
16．已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：
(1)A≠B；
(2)A∪B＝B；
(3)∅(A∩B)．
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解　假设存在a使得A，B满足条件，
由题意得B＝{2,3}．
∵A∪B＝B，∴A⊆B，即A＝B或AB.
由条件(1)A≠B，可知AB.
又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A＝{2}或{3}．
当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.
经检验a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{2}矛盾，舍去．
当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.
经检验a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2,3}，与A＝{3}矛盾，舍去．
综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．