人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀第1课时课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优秀第1课时课后练习题，共11页。试卷主要包含了了解基本不等式的证明过程等内容，欢迎下载使用。

§2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式
学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．

知识点　基本不等式
1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
思考1　不等式≥ab和≥中等号成立的条件相同吗？
答案　相同．都是当且仅当a＝b时等号成立．
思考2　“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么？
答案　a＝b⇔＝ab；a＝b>0⇔＝.

1．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2.(　√　)
2．若a>0，b>0，则ab≤2.(　√　)
3．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　×　)
4．若a≠0，则a＋≥2＝2.(　×　)

一、对基本不等式的理解
例1　(多选)下面四个推导过程正确的有(　　)
A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2
B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4
C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2
D．若a<0，b<0，则≤ab
答案　AC
解析　A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确．
B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确；
D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以D不正确．
(学生)
反思感悟　对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.
跟踪训练1　下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x>1，则x＋≥2＝2；
②若x<0，则x＋＝－
≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
答案　②
解析　①中忽视了基本不等式等号成立的条件，
当x＝，即x＝1时，等号成立，
因为x>1，所以x＋>2；
③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．
二、利用基本不等式比较大小
例2　(1)如果0 A．P>Q>M B．M>P>Q
C．Q>M>P D．M>Q>P
答案　B
解析　∵a>0，b>0，∴≥，
当且仅当a＝b时，等号成立，
又∵0又因为<，
，
所以>>.故M>P>Q.
(2)设a，b为非零实数，给出下列不等式：
①≥ab；②≥2；③≥；
④＋≥2.
其中恒成立的是________．(填序号)
答案　①②
解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
＝＝≥＝＝2，可知②正确；
当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，
右边为＝－，可知③不正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确．
(学生)
反思感悟　运用基本不等式比较大小的注意点
(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．
(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
跟踪训练2　比较大小：________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)
答案　≥
解析　由题意，得≥1，＝＝＋≥2，
当且仅当＝ .即x＝0时，等号成立．
三、利用基本不等式证明不等式
例3　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
证明　因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1，
所以－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，
得≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
(教师)
延伸探究
例3的条件不变，求证：＋＋≥9.
证明　＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
反思感悟　利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
跟踪训练3　已知a>0，b>0，且a＋b＝＋，求证：a＋b≥2.
证明　由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，
由于a＋b>0，则ab＝1，即a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2.

1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
答案　B
解析　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，
即a＝1时，等号成立．
2．已知0 A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
答案　D
解析　∵0 ∴a2＋b22ab(a≠b)，
∴2ab 又∵a＋b>2(a≠b)，∴a＋b最大．
3．若0 A．a>>>b B．b>>>a
C．b>>>a D．b>a>>
答案　C
解析　∵0a＋b，∴b>>.
又∵b>a>0，∴ab>a2，
∴>a.故b>>>a.
4．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)
A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一
答案　A
解析　因为a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式，得a＋b≥2，故ab≤4.又因为cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时，等号成立．
5．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
答案　③
解析　根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．

1．知识清单：
(1)基本不等式．
(2)利用基本不等式比较大小．
(3)利用基本不等式证明不等式．
2．方法归纳：配凑法．
3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．


1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　　)
A．ab>0 B．ab<0
C．a>0，b>0 D．a<0，b<0
答案　ACD
解析　根据基本不等式的条件，a，b同号，则>0，>0.
2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s 答案　A
解析　∵b2＋1≥2b(当且仅当b＝1时等号成立)，
∴a＋2b≤a＋b2＋1.∴t≤s.
3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　)
A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab|
答案　A
解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
4．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab
C.≥ D．x2＋≥2
答案　D
解析　若a<0，则a＋≥4不成立，故A错；
若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；
若a＝4，b＝16，则<，故C错；
由基本不等式可知D项正确．
5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a A．a C. 答案　A
解析　设甲、乙两地的距离为s，
则v＝＝.
由于aa，
又＋>2，∴v<.
故a 6．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．
答案　x 解析　x2＝，y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2(a≠b)，∴x2 ∵x，y>0，∴x
7．已知a>b>c，则与的大小关系是________________．
答案　≤
解析　因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
所以＝≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
8．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________．(填序号)
答案　①②③
解析　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立；
由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当
即a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立；
由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故③恒成立；
当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立．
综上，①②③正确．
9．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明　∵a>0，b>0，
∴＋b≥2＝2a，＋a≥2＝2b，
∴＋b＋＋a≥2a＋2b，
∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时，等号成立．
10．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.
证明　∵x，y都是正数，∴x2>0，y2>0，x3>0，y3>0，
∴x＋y≥2>0，
x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．

11．若0 A. B．a2＋b2
C．2ab D．a
答案　B
解析　a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
≥(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵0 12．下列不等式一定成立的是(　　)
A．x＋≥2 B.≥
C.≥2 D．2－3x－≥2
答案　B
解析　A项中，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误；
B项中，＝≥，∴B正确；
C项中，当x＝0时，＝<2，∴C错误；
D项中，取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．
13．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥2 D.>
答案　D
解析　a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，A成立；
(a＋b)≥2·2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
∵a2＋b2≥2ab>0，∴≥2，
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
∵a＋b≥2，a>0，b>0，
∴≤1，≤，
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立．
14．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
答案　①③④
解析　因为ab≤2＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以①正确；
因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；
所以＋≤2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，
a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以③正确；
＋＝＝≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以④正确．

15．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是____________________________．
答案　a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac
解析　∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.
16．已知a，b都是正数，求证：≤≤≤.
证明　∵＋≥2，
∴≤，即≤.
又∵2＝
≤＝，
∴≤ .
又由基本不等式得≥，
故≤≤≤ (当且仅当a＝b时，等号成立)．