高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精品第2课时综合训练题

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第2课时　指数函数的图象和性质(二)
学习目标　1.能利用指数函数的单调性比较与指数有关的大小问题.2.能借助指数函数的单调性求解指数方程与指数不等式问题.3.会求与指数函数有关的复合型函数的单调性问题．

知识点一　比较幂的大小
一般地，比较幂大小的方法有
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断．
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断．
知识点二　解指数方程、不等式
简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．
(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．
(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．
知识点三　指数型函数的单调性
一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0 思考1　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性取决于哪个量？
答案　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a>1时，y＝ax在定义域上是增函数，当0 思考2　如何判断形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函数的单调性？
答案　(1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．

1．函数y＝21－x是________函数(填“增”或“减”)
答案　减
解析　因为y＝2t是增函数，t＝1－x是减函数，
所以y＝21－x是减函数．
2．若2x＋1<1，则x的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)
解析　∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
3．比较大小：________.
答案　<
解析　因为＝，
所以利用指数函数的单调性有 <.
4．若a3.1>a3(a>0，a≠1)，则实数a的取值范围是________．
答案　(1，＋∞)
解析　因为3.1>3，且a3.1>a3，
所以函数y＝ax是增函数，所以a>1.

一、比较大小
例1　(1)下列大小关系正确的是(　　)
A．0.43<30.4<π0 B．0.43<π0<30.4
C．30.4<0.43<π0 D．π0<30.4<0.43
(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a C．b 答案　(1)B　(2)C
解析　(1)0.43<0.40＝1＝π0＝30<30.4.
(2)∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
反思感悟　比较幂值大小的3种类型及处理方法

跟踪训练1　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.70.3,0.93.1；
(2)－1.8，－2.5；
(3)0.20.3,0.30.2.
解　(1)因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，
所以1.70.3>0.93.1.
(2)因为0<<1，
所以函数y＝x在其定义域R上单调递减，
又－1.8>－2.5，所以－1.8<－2.5.
(3)因为0<0.2<0.3<1，
所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，
所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x在R上是减函数，
可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
二、简单的指数不等式的解法
例2　(1)解不等式3x－1≤2；
(2)已知0，a≠1)，求x的取值范围．
解　(1)∵2＝－1，
∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，
解得x<－1或x>5；
所以原不等式的解集是{x|x<－1或x>5}；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1 所以原不等式的解集是{x|－1 综上所述，当0 不等式的解集是{x|x<－1或x>5}；
当a>1时，不等式的解集是{x|－1 反思感悟　(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x) 跟踪训练2　不等式23－2x<0.53x－4的解集为________．
答案　{x|x<1}
解析　原不等式可化为23－2x<24－3x，
因为函数y＝2x是R上的增函数，
所以3－2x<4－3x，解得x<1，则不等式的解集为{x|x<1}．
三、指数型函数的单调性
例3　(1)函数y＝的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)
答案　D
解析　设u＝，则y＝3u，
因为u＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，
且y＝3u在R上是增函数，
所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
(2)判断函数f(x)＝的单调性，并求其值域．
解　令u＝x2－2x，
易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
又0<<1，所以f(x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
所以y＝u，u∈[－1，＋∞)，
所以0 所以函数f(x)的值域为(0,3]．
(教师)
延伸探究
把本例的函数改为“f(x)＝”，求其单调区间．
解　函数y＝的定义域是R.
令u＝－x2＋2x，则y＝2u.
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增，
函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝在(－∞，1]上单调递增．
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x单调递减，
函数y＝2u是增函数，
所以函数y＝在[1，＋∞)上单调递减．
综上，函数y＝的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．
反思感悟　(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．
(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0 跟踪训练3　函数y＝的单调递减区间为(　　)
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，] D．[，＋∞)
答案　B
解析　函数y＝u在R上为减函数，欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．


1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m C．m＝n D．不能确定
答案　B
解析　因为函数y＝0.3x是R上的减函数，且0.3m>0.3n，所以m 2．f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是(　　)
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
答案　D
解析　由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝x是减函数．
3．函数y＝1－x的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案　A
解析　定义域为R.设u＝1－x，则y＝u.
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，
y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数．
4．不等式>x－4的解集为________．
答案　(1,2)
解析　由于y＝x是减函数，且>x－4，
所以x2－2x－2 解得1 5．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
答案　m 解析　∵a＝∈(0,1)，
∴f(x)＝ax在R上是减函数，
又f(m)>f(n)，∴m
1．知识清单：
(1)比较大小．
(2)解不等式、方程．
(3)简单复合函数的单调性．
2．方法归纳：转化与化归、换元法．
3．常见误区：
研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0

1．方程42x－1＝16的解是(　　)
A．x＝－ B．x＝
C．x＝1 D．x＝2
答案　B
解析　∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，x＝.
2．若2a＋1<8－2a，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D.
答案　A
解析　函数y＝x在R上为减函数，
所以2a＋1>8－2a，所以a>.
3．(多选)以下关于数的大小的结论中正确的是(　　)
A．1.72.5<1.73 B．0.8－0.1<0.8－0.2
C．1.70.3<0.93.1 D.>
答案　AB
解析　y＝1.7x单调递增，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，A正确；
y＝0.8x单调递减，－0.1>－0.2，
∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正确；
又1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1，C错误；
＝4＝，
＝3＝，
∵<，∴<，D错误．
4．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　B
解析　a＝30.2∈(1,3)，b＝0.2－3＝－3＝53＝125，
c＝(－3)0.2＝<0，所以b>a>c.
5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)
A．6 B．1 C．3 D.
答案　C
解析　函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3.
6．已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________．
答案　2
解析　因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝＝0，解得n＝2.
7．若－1 答案　b 解析　因为－1 所以由指数函数图象和性质可得，
2x<1,2－x>1,0.2x>1，
又因为当－1 8．函数y＝在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________．
答案　[2，＋∞)
解析　由复合函数的单调性知，
y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.
9．比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)0.6－1.2和0.6－1.5；
(3)1.50.3和0.81.2.
解　(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，
∴1.52.5<1.53.2.
(2)∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，
∴0.6－1.2<0.6－1.5.
(3)由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，
而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2.
10．已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1) 解　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝x，
因此由g(2x－1) 即2x－1<3x，
得2x－1>3x，解得x<－1.
所以x的取值范围为(－∞，－1)．

11．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案　B
解析　∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，
∴a＝或a＝－(舍去)．∴f(x)＝|2x－4|.
∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．
12．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　A
解析　因为y＝(x>0)为增函数，所以a>c.
因为y＝x(x∈R)为减函数，所以c>b，
所以a>c>b.
13．函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________．
答案　
解析　由单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a<1.
14．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为________，值域为________．
答案　(－∞，0]　(0,2]
解析　令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，
∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)，
令t＝－1，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增，
又y＝t为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]．
∵t＝－1≥－1，
∴t∈(0,2]．
故f(x)的值域为(0,2]．

15．设0≤x≤2，y＝－3·2x＋5，则该函数的最大值为________；最小值为________．
答案　　
解析　令t＝2x，0≤x≤2，∴1≤t≤4.
则y＝22x－1－3·2x＋5＝t2－3t＋5.
配方得y＝(t－3)2＋，t∈[1,4]，
∴y＝(t－3)2＋在t∈[1,3]上单调递减；在t∈[3,4]上单调递增，
∴当t＝3时，ymin＝；当t＝1时，ymax＝.
故函数的最大值为，最小值为.
16．设函数f(x)＝＋(e为无理数，且e≈2.718 28…)是R上的偶函数且a>0.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
解　(1)∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，∴＋＝＋，
即－＝－ae.
∴＝e，
∴－a＝0，∴a2＝1，
又a>0，∴a＝1.
(2)f(x)＝ex＋e－x.设x1，x2>0，且x1 f(x2)－f(x1)＝＋－－
＝－＋－
＝(－) .
∵x1，x2>0，x1 ∴>且>1，
∴(－)>0，即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．