高中数学第四章 指数函数与对数函数4.3 对数优秀综合训练题

§4.3　对　数

4．3.1　对数的概念

学习目标　1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．

知识点一　对数的概念

1．对数的定义：

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

思考　在对数的定义中为什么不能取a≤0及a＝1呢？

答案　(1)a<0，N取某些值时，logaN不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x使x＝2成立，所以a不能小于0.

(2)a＝0，N≠0时，不存在实数x使ax＝N，无法定义logaN；N＝0时，任意非零实数x，有ax＝N成立，logaN不确定．

(3)a＝1，N≠1时，logaN不存在；N＝1，loga1有无数个值，不能确定．

2．常用对数与自然对数

知识点二　对数与指数的关系

一般地，有对数与指数的关系：

(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.

(2)对数恒等式：＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．

思考　任何一个指数式都可以化为对数式吗？

答案　不是，只有底数大于零且不等于1时才可互化．

知识点三　对数的性质

1．loga1＝0(a>0，且a≠1)．

2．logaa＝1(a>0，且a≠1)．

3．零和负数没有对数．

1．logaN是loga与N的乘积．(　×　)

2．若3x＝2，则x＝log32.(　√　)

3．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以logaa＝1.(　√　)

4．若ln N＝，则N＝e.(　×　)

5．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　√　)

一、指数式与对数式的互化

例1　将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：

(1)33＝27；(2)＝－3；

(3)－2＝16；(4)lg 1 000＝3.

解　(1)∵33＝27，∴log327＝3.

(2)∵＝－3，∴－3＝8.

(3)∵－2＝16，∴＝－2.

(4)∵lg 1 000＝3，∴103＝1 000.

反思感悟　指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

跟踪训练1　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝；(2)－3＝125；

(3)＝－3；(4)＝－6(x>0，且x≠1)．

解　(1)log3＝－2.

(2) ＝－3.

(3)－3＝27.

(4)()－6＝64.

二、对数的计算

例2　(1)求下列各式的值．

①log981＝________.

②log0.41＝________.

③ln e2＝________.

答案　①2　②0　③2

解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，

故x＝2，即log981＝2.

②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，

故x＝0，即log0.41＝0.

③设ln e2＝x，所以ex＝e2，

故x＝2，即ln e2＝2.

(2)求下列各式中x的值．

①log27x＝－；②logx16＝－4.

解　①由log27x＝－得，x＝＝

＝3－2＝.

②由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝4，又x>0，且x≠1，∴x＝.

反思感悟　对数式中求值的基本思想和方法

(1)基本思想

在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．

(2)基本方法

①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．

②利用幂的运算性质和指数的性质计算．

跟踪训练2　求下列各式的值：

(1)log28；(2)log9；

(3)ln e；(4)lg 1.

解　(1)设log28＝x，则2x＝8＝23.

∴x＝3.∴log28＝3.

(2)设log9＝x，则9x＝＝9－1，

∴x＝－1.∴log9＝－1.

(3)ln e＝1.

(4)lg 1＝0.

三、利用对数的性质求值

例3　求下列各式中x的值：

(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1；(3)x＝.

解　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，

∴x＝51＝5.

(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，

∴x＝103＝1 000.

(3)x＝＝7÷＝7÷5＝.

(教师)

延伸探究

把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值．

解　因为log2(log5x)＝1，

所以log5x＝2，则x＝52＝25.

反思感悟　利用对数的性质求值的方法

(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．

跟踪训练3　求下列各式中x的值．

(1)log8[log7(log2x)]＝0；

(2)log2[log3(log2x)]＝1.

解　(1)由log8[log7(log2x)]＝0，

得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.

(2)由log2[log3(log2x)]＝1，

得log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.

1．(多选)下列说法正确的有(　　)

A．只有正数有对数

B．任何一个指数式都可以化成对数式

C．以5为底25的对数等于2

D．＝a成立

答案　AC

解析　B错误，如(－2)2＝4就不能化成对数式，D错误，对数式的真数a应注明大于0.

2．2－3＝化为对数式为(　　)

A．＝－3   B．＝2

C．log2＝－3   D．log2(－3)＝

答案　C

解析　根据对数的定义知选C.

3．求值：lg 100＝________；lg 0.001＝________.

答案　2　－3

解析　由102＝100知，lg 100＝2，

10－3＝0.001得，lg 0.001＝－3.

4．已知logx27＝3，则x＝________.

答案　3

5．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.

答案　0

解析　原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.

1．知识清单：

(1)对数的概念．

(2)自然对数、常用对数．

(3)指数式与对数式的互化．

(4)对数的性质．

2．方法归纳：转化法．

3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．

1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)

A．a>且a≠1   B．0<a<

C．a>0且a≠1   D．a<

答案　B

解析　由题意知解得0<a<.

2．已知logx16＝2，则x等于(　　)

A．4  B．±4  C．256  D．2

答案　A

解析　改写为指数式x2＝16，但x作为对数的底数，必须取正值，∴x＝4.

3．已知＝x，则x等于(　　)

A．－8  B．8  C．4  D．－4

答案　B

解析　由题意得，()x＝81,＝34，x＝8.

4．(多选)下列等式正确的有(　　)

A．lg(lg 10)＝0

B．lg(ln e)＝0

C．若lg x＝10，则x＝10

D．若ln x＝e，则x＝e2

答案　AB

解析　A项，lg(lg 10)＝lg 1＝0；

B项，lg(ln e)＝lg 1＝0；

C项，若lg x＝10，则x＝1010；

D项，若ln x＝e，则x＝ee.

5．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)

①若M＝N，则logaM＝logaN；

②若logaM＝logaN，则M＝N；

③若logaM2＝logaN2，则M＝N；

④若M＝N，则logaM2＝logaN2.

A．①②   B．②③④

C．②   D．②③

答案　C

解析　①中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中M与N也可能互为相反数；④中当M＝N＝0时不正确．

6．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.

答案　

解析　∵a＝log43，∴4a＝3，∴2a＝.

∴2a＋2－a＝＋＝.

7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么＝________.

答案　

解析　∵log7[log3(log2x)]＝0，

∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴23＝x，

∴＝＝＝＝.

8．若a＝lg 2，b＝lg 3，则的值为________．

答案　

解析　∵a＝lg 2，∴10a＝2.∵b＝lg 3，

∴10b＝3.∴＝＝.

9．将下列指数式、对数式互化．

(1)35＝243；(2)2－5＝；

(3)＝－4；(4)log2128＝7.

解　(1)log3243＝5.

(2)log2＝－5.

(3)－4＝81.

(4)27＝128.

10．若＝m，＝m＋2，求的值．

解　∵＝m，∴m＝x，x2＝2m.

∵＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.

∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.

11．－－lg 0.01＋ln e3等于(　　)

A．14  B．0  C．1  D．6

答案　B

解析　－－lg 0.01＋ln e3＝4－－lg＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.

12．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是(　　)

A．1  B．0  C．x  D．y

答案　B

解析　由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，

则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，

∴logx(yx)＝log2(12)＝0.

13．若log(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝________.

答案　－3

解析　由log(1－x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1－x，

∴x2＋3x＝0，∴x＝0或x＝－3.

注意到∴x＝－3.

14．若x满足(log2x)2－2log2x－3＝0，则x＝________.

答案　8或

解析　设t＝log2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，

解得t＝3或t＝－1，所以log2x＝3或log2x＝－1，

所以x＝23＝8或x＝2－1＝.

15．若a>0，＝，则等于(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

答案　B

解析　因为＝，a>0，

所以a＝＝3，

设＝x，所以x＝a.所以x＝3.

16．若＝＝＝0，试确定x，y，z的大小关系．

解　由＝0，

得＝1，log3y＝，y＝＝.

由＝0，

得＝1，log2x＝，x＝＝.

由＝0，

得＝1，log5z＝，z＝＝，

∵310>215>56，∴y>x>z.