高中人教A版 (2019)4.3 对数优秀课后复习题

4．3.2　对数的运算

学习目标　1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

知识点一　对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.

(2)loga＝logaM－logaN.

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

拓展：＝logaM(n∈R，m≠0)

思考　当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？

答案　不一定．

知识点二　换底公式

1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

2．对数换底公式的重要推论

(1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．

(2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)．

(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．

思考　换底公式中底数c是特定数还是任意数？

答案　是大于0且不等于1的任意数．

1．log84＋log82＝________.

答案　1

解析　log84＋log82＝log88＝1.

2．log510－log52＝________.

答案　1

解析　log510－log52＝log55＝1.

3．(1)lg＝________；

(2)已知ln a＝0.2，则ln＝________.

答案　(1)　(2)0.8

解析　lg ＝＝；

ln＝ln e－ln a＝1－0.2＝0.8.

4.＝________.

答案　2

解析　＝log39＝2.

一、对数运算性质的应用

例1　计算下列各式的值：

(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；

(2)；

(3)log535－2log5＋log57－log51.8.

解　(1)原式＝(lg 5)2＋(2－lg 2)lg 2

＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2

＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2

＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2

＝lg 5＋lg 2＝1.

(2)原式＝

＝＝.

(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55

＝2log55＝2.

反思感悟　对数式化简与求值的基本原则和方法

(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．

(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．

跟踪训练1　计算下列各式的值：

(1)lg－lg＋lg；

(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.

解　(1)方法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)

＝lg 10＝.

方法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7

＝lg＝lg(·)＝lg ＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

二、换底公式的应用

例2　(1)计算：(log43＋log83)(log32＋log92)；

(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．

解　(1)原式＝

＝·＝×＝.

(2)方法一　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.

于是log3645＝＝

＝＝＝.

方法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.

于是log3645＝＝＝.

(教师)

延伸探究

若本例(2)条件不变，求log915.(用a，b表示)

解　因为18b＝5，所以log185＝b.

所以log915＝＝

＝＝

＝＝

＝＝.

反思感悟　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

跟踪训练2　(1)的值是(　　)

A.  B.  C．1  D．2

答案　A

解析　方法一　将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，

即＝＝·＝.

方法二　将分子利用换底公式转化为以2为底的对数，

即＝＝＝.

(2)计算：.

解　原式＝·

＝·＝·

＝－·log32·3log23＝－.

三、对数运算性质的综合应用

例3　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值；

(2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z.

解　(1)方法一　由3a＝4b＝36，

得a＝log336，b＝log436，

由换底公式得＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1.

方法二　由3a＝4b＝36，两边取以6为底数的对数，得

alog63＝blog64＝log636＝2，

∴＝log63，＝log64＝log62，

∴＋＝log63＋log62＝log66＝1.

(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，

∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，

∴＝logk2，＝logk3，＝logk5，

由＋＋＝1，

得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，

∴x＝log230＝1＋log215，

y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.

反思感悟　利用对数式与指数式互化求值的方法

(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．

(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．

跟踪训练3　已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值．

解　∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，

∴＝logc3，＝logc5，

∴＋＝logc15.

由logc15＝2得c2＝15，即c＝.

1．求值：2log510＋log50.25等于(　　)

A．0  B．1  C．2  D．4

答案　C

解析　2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25

＝log525＝2.

2．若a>0，a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式：

①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；

③logax＝－loga；④＝logax；

⑤＝loga.

其中正确的有(　　)

A．2个  B．3个  C．4个  D．5个

答案　A

解析　根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．

3．已知2a＝5b＝10，则＋＝________.

答案　1

解析　因为2a＝5b＝10，

所以a＝log210，b＝log510.

根据换底公式得a＝，b＝，

所以＋＝lg 2＋lg 5＝1.

4．log23·log34·log42＝________.

答案　1

解析　log23·log34·log42＝··＝1.

5.＝________.

答案　2

解析　原式＝＝＝＝2.

1．知识清单：

(1)对数的运算性质．

(2)换底公式．

(3)对数的实际应用．

2．方法归纳：换底公式、转化法．

3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．

1．log242＋log243＋log244等于(　　)

A．1  B．2  C．24  D.

答案　A

解析　log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)

＝log2424＝1.

2．化简＋log2得(　　)

A．2    B．2－2log23

C．－2   D．2log23－2

答案　B

解析　＝

＝2－log23.

∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.

3．0.25－＋log23·log34的值为(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　D

解析　原式＝－＋×

＝－＋×＝.

4．已知ab>0，有下列四个等式：

①lg(ab)＝lg a＋lg b；

②lg ＝lg a－lg b；

③lg 2＝lg；

④lg(ab)＝，其中正确的是(　　)

A．①②③④   B．①②

C．③④   D．③

答案　D

解析　①②式成立的前提条件是a>0，b>0；④式成立的前提条件是ab≠1，只有③式成立．

5．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　log36＝＝＝.

6．lg ＋lg的值是________．

答案　1

解析　lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.

7．若logab·logbc·logc3＝2，则a的值为________．

答案　

解析　方法一　由已知可得··＝2，

即＝2，∴lg 3＝2lg a，∴a2＝3，a＝.

方法二　由已知得logab··＝2，

即loga3＝2，∴a＝.

8．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则＝________.

答案　4

解析　因为lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，

所以

由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，

所以x＝y或x＝4y.

又x>0，y>0且x－2y>0，

所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.

9．求值：(1)lg 5·lg 400＋；

(2)＋log0.25＋9log5－.

解　(1)原式＝lg 5·(2＋2lg 2)＋(lg 2)2

＝2lg 5＋2lg 2·lg 5＋2(lg 2)2

＝2lg 5＋2lg 2·(lg 5＋lg 2)

＝2lg 5＋2lg 2

＝2.

(2) ＋log0.25＋9log5－

＝2＋1＋9×－0＝＋1＋＝.

10．计算下列各式的值：

(1)log535＋－log5－log514；

(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．

解　(1)原式＝log535＋log550－log514＋

＝log5＋

＝log553－1＝2.

(2)方法一　原式

＝

＝

＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.

方法二　原式＝

＝

＝＝13.

11．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且，a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，

所以abc＝.即logx(abc)＝.

12．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于(　　)

A．p2＋q2   B.(3p＋2q)

C.   D．pq

答案　C

解析　∵log83＝＝＝p，

∴lg 3＝3plg 2.

∵log35＝＝q，

∴lg 5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，

∴lg 5＝.

13．已知函数f(x)＝，则f(log23)＋f ＝________.

答案　1

解析　∵log23＋log4＝log23－log23＝0，

f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1.

∴f(log23)＋f ＝1.

14．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且f ＝4，则f(2 020)＝________.

答案　0

解析　由f ＝alog2＋blog3＋2＝4，得－alog22 020－blog32 020＝2.

∴alog22 020＋blog32 020＝－2.

∴f(2 020)＝alog22 020＋blog32 020＋2＝－2＋2＝0.

15．已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为________．

答案　1

解析　方法一　设ax＝by＝cz＝t(t>0)，

则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，

∴＋＋＝＋＋

＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，

∴abc＝t0＝1，即abc＝1.

方法二　令ax＝by＝cz＝t，

∵a，b，c是不等于1的正数，xyz≠0，

∴t>0且t≠1，∴x＝，y＝，z＝，

∴＋＋＝＋＋

＝，

∵＋＋＝0，且lg t≠0，

∴lg a＋lg b＋lg c＝lg(abc)＝0，∴abc＝1.

16．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at.

(1)试用a，t表示y；

(2)若当0<t≤2时，y有最小值8，求a和当y取最小值时x的值．

解　(1)由换底公式，

得logax＋－＝3(a>1)，

所以logay＝(logax)2－3logax＋3.

当x＝at时，logax＝logaat＝t，

所以logay＝t2－3t＋3.

所以y＝(t≠0)．

(2)y＝，因为0<t≤2，a>1，

所以当t＝时，ymin＝＝8.

所以a＝16，此时x＝＝64.