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    新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 第5章 5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(含解析)

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    4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标 1.会用两角和()的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点 二倍角公式三角函数公式简记正弦sin 2α2sin αcos αS2α余弦cos 2αcos2αsin2α2cos2α112sin2αC2α正切tan 2αT2α 思考 倍角公式中的倍角仅是指α2α吗?答案 倍角公式不仅可运用于2αα的二倍的情况,还可运用于4α作为2α的二倍,α作为的二倍,3α作为的二倍,αβ作为的二倍等情况.1.已知sin αcos α,则sin 2α        .答案 2.已知cos α,则cos 2α        .答案 3cos245°sin245°        .答案 04.已知tan α,则tan 2α        .答案 一、二倍角公式的正用、逆用1 求下列各式的值:(1)sin2πcos2π(2)(3)cos 20°·cos 40°·cos 80°.解 (1)原式=-=-cos π=-coscos .(2)原式=2×2×2.(3)原式=.反思感悟 对于给角求值问题,一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1 求下列各式的值:(1)sin cos (2)(3)cos4sin4.解 (1)原式=×2sin cos ×sin .(2)原式=·×tan 45°.(3)原式=cos2sin2cos .二、给值求值2 (1)已知sin,则sin 2α的值为(  )A.-  B.  C.-  D.答案 C解析 2α2sin 2αsin=-sin=-cos 2=-=-=-.(2)已知sin,那么cos等于(  )A.-  B.-  C.  D.答案 A解析 2απ2coscos=-cos 2=-=-=-.(学生留)反思感悟 解决给值求值问题的方法(1)给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向:有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化;寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)注意几种公式的灵活应用,如:sin 2xcoscos2cos2112sin2.cos 2xsinsin2sincos.跟踪训练2 已知sin0<x<,求的值.解 原式=2sin.sincos,且0<x<xsin原式=2×.三、化简与证明3 (1)化简:.解 原式==-4.(2)求证:tan4A.证明 因为左边=22(tan2A)2tan4A=右边,所以tan4A.反思感悟 证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用两头凑的思想.(2)证明的一般步骤是:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着复角化单角异名化同名变量集中等原则,设法消除差异,达到证明的目的.跟踪训练3 (1)化简:.解 原式=|sin 20°cos 20°|cos 20°sin 20°sin 20°cos 20°.(2)求证:cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B.证明 左边=(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B=右边,所以等式成立. 1.下列各式中,值为的是(  )A2sin 15°cos 15°   Bcos215°sin215°C2sin215°   Dsin215°cos215°答案 B解析 2sin 15°cos 15°sin 30°cos215°sin215°cos 30°2sin215°1cos 30°1sin215°cos215°1,故选B.2.若sin,则cos α等于(  )A.-  B.-  C.  D.答案 C解析 因为sin 所以cos α12sin2 12×2.3sin 2α=-,则cos2的值为(  )A.-  B.-  C.  D.答案 C解析 cos2.4.设sin 2α=-sin αα,则tan 2α的值是        答案 解析 sin 2α=-sin α2sin αcos α=-sin α.αsin α0cos α=-αsin αtan α=-tan 2α.5.        .答案 2解析 原式=2.1知识清单:(1)二倍角公式的推导.(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:化简求值开根号时,忽视角的范围.1(多选)下列各式中,一定成立的是(  )Asin 8α2sin 4α·cos 4αB1sin2α(sin αcos α)2Csin2αDtan 2α答案 AC2cos275°cos215°cos 75°cos 15°的值等于(  )A.  B.  C.  D1答案 C解析 原式=sin215°cos215°sin 15°cos 15°1sin 30°1.3.若α,且sin2αcos 2α,则tan α的值等于(  )A.  B.  C.  D.答案 D解析 sin2αcos 2αsin2αcos2αsin2αcos2α.cos α±.αcos αsin α.tan α.4.若,则cos的值为(  )A.  B.-  C.-  D.答案 A解析 因为所以,所以cos αsin α平方得12cos αsin α所以sin 2α,所以cossin 2α.5.已知tan αtan β,且αβ均为锐角,则α2β的值为(  )A.  B.  C.  D.答案 C解析 tan 2βtan(α2β)1.因为αβ均为锐角,且tan α<1tan β<1所以αβ所以α2β所以α2β.6.化简:        .答案 1解析 原式==-=-1.7.已知tan3,则sin 2θ2cos2θ        .答案 解析 由已知,得3,解得tan θ.所以sin 2θ2cos2θ=-.8.已知cos,则sin        sin 2α        .答案  -解析 ααsinsincos2α2.sin 2αsincos 22cos212×21=-.9.已知α为第二象限角,且sin α,求的值.解 原式=.因为α为第二象限角,且sin α所以sin αcos α0cos α=-所以原式==-.10.已知αβ为锐角,tan αcos(αβ)=-.(1)cos 2α的值;(2)tan(αβ)的值.解 (1)因为tan α所以sin αcos α.因为sin2αcos2α1所以cos2α所以cos 2α2cos2α1=-.(2)因为αβ为锐角,所以αβ(0π)又因为cos(αβ)=-所以sin(αβ)所以tan(αβ)=-2.因为tan α所以tan 2α=-.所以tan(αβ)tan[2α(αβ)]=-.11.设sin,则sin等于(  )A.-  B.-  C.  D.答案 B解析 因为sin,所以sinsin=-cos=-=-.12.函数f(x)sin3cos x的最小值为(  )A1  B2  C.-2  D.-4答案 D解析 f(x)sin3cos x=-cos 2x3cos x=-2cos2x3cos x1tcos x,则t[1,1]g(t)=-2t23t1.又函数g(t)图象的对称轴t=-[1,1],且开口向下,t1时,g(t)有最小值-4.综上,f(x)的最小值为-4.13.已知函数f(x),则(  )A.函数f(x)的最大值为,无最小值B.函数f(x)的最小值为-,最大值为0C.函数f(x)的最大值为,无最小值D.函数f(x)的最小值为-,无最大值答案 D解析 因为f(x)=-tan x,0<x所以函数f(x)的最小值为-,无最大值,故选D.14.(2π<α<3π)的化简结果为        答案 2sin 解析 因为2π<α<3π,所以π<<<<所以2sin.15.已知α是第二象限角,sin αcos α,则cos 2α等于(  )A.-  B.-  C.  D.答案 A解析 sin αcos α平方得12sin αcos α2sin αcos α=-.(cos αsin α)212sin αcos α.α是第二象限角,sin α>0cos α<0.cos αsin α=-cos 2αcos2αsin2α(cos αsin α)·(cos αsin α)=-.16.在ABC中,sin Acos Asin Bcos B.且AB.(1)求证:AB(2)sin Asin B的取值范围;(3)(sin Asin B)xsin Asin B,试确定实数x的取值范围.(1)证明 因为sin Acos Asin Bcos B所以sin Acos Asin Bcos B0sin 2Asin 2B解得2A2B2A2Bπ化简可得AB,或ABAB,所以AB.(2) 由(1)可知AB,故sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin因为0<A<,所以<A<所以1<sinsin Asin B的取值范围是(1](3)解 由题意可知xsin Acos At(1]t212sin Acos Asin Acos A,代入得x2故实数x的取值范围为[2,+)

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