广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）

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广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）
一．命题的真假判断与应用（共1小题）
（多选）1．（2023•茂名二模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（　　）

A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为
B．△ABE的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
二．函数的最值及其几何意义（共1小题）
2．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的定义为：当（p＞q，且p，q为互质的正整数）时，；当x＝0或x＝1或x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（　　）
A．R（x）在[0，1]上的最大值为
B．若a，b∈[0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）
C．存在大于1的实数m，使方程有实数根
D．∀x∈[0，1]，R（1﹣x）＝R（x）
三．抽象函数及其应用（共1小题）
（多选）3．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．函数与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），给出以下结论，其中正确的是（　　）
A．f（2022）＝2022
B．函数f（x+1）为偶函数
C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减
D．
四．对数值大小的比较（共1小题）
4．（2023•广东二模）已知，，，则（参考数据：ln2≈0.7）（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
五．三角函数的周期性（共1小题）
（多选）5．（2023•广东二模）已知f（x）＝cosx+tanx，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是周期函数
B．f（x）有对称轴
C．f（x）有对称中心
D．f（x）在上单调递增
六．正弦函数的图象（共1小题）
6．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜），若存在x1，x2，x3∈（0，），且x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，使f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，则φ的值为（　　）
A． B． C． D．
七．函数的零点与方程根的关系（共1小题）
（多选）7．（2023•茂名二模）已知f（x）＝，若关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
八．函数与方程的综合运用（共2小题）
8．（2023•韶关二模）定义||x||（x∈R）为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，||x||取较大整数），令函数f（x）＝||x||，如：，，，，则＝（　　）
A．17 B． C．19 D．
9．（2023•潮州二模）已知函数f（x）＝|sinx|，g（x）＝kx（k＞0），若f（x）与g（x）图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（　　）
A．若n＝1，则k＞1
B．若n＝3，则
C．若n＝4，则x1+x4＞x2+x3
D．若，则n＝2023
九．数列递推式（共1小题）
（多选）10．（2023•高州市二模）已知数列{pn}和{qn}满足：p1＝1，q1＝2，pn+1＝pn+3qn，qn+1＝2pn+qn，n∈N*，则下列结论错误的是（　　）
A．数列是公比为的等比数列
B．仅有有限项使得
C．数列是递增数列
D．数列是递减数列
一十．利用导数研究函数的单调性（共3小题）
11．（2023•广州二模）已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）+e﹣x+x也是偶函数，若f（2a﹣1）＜f（a+1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2） B．（0，2）
C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
12．（2023•深圳二模）已知ε＞0，，且ex+εsiny＝eysinx，则下列关系式恒成立的为（　　）
A．cosx≤cosy B．cosx≥cosy C．sinx≤siny D．sinx≥siny
（多选）13．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝ex﹣﹣1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（　　）
A．若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0
B．若a+b＞0，则f（a）﹣f（﹣b）＞0
C．若f（a）+f（b）＞0，则a+b＞0
D．若f（a）+f（b）＜0，则a+b＜0
一十一．利用导数研究函数的最值（共1小题）
14．（2023•湛江二模）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t1，t2，则t2﹣t1的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣ln2 C．1﹣ln3 D．1﹣2ln2
一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
（多选）15．（2023•潮州二模）设向量，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为（1，0）
一十三．三角形中的几何计算（共1小题）
（多选）16．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．∠MPN的余弦值为 D．
一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
（多选）17．（2023•汕头二模）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（　　）
A．当r＝1时，
B．V存在最大值
C．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小
D．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小
一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
（多选）18．（2023•广东二模）已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（　　）
A．平面α内存在直线l与直线m平行
B．平面α内存在直线l与直线m垂直
C．存在平面γ与直线m和平面α都平行
D．存在过直线m的平面β与平面α垂直
一十六．直线与平面所成的角（共1小题）
（多选）19．（2023•潮州二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是 （　　）
A．当B1P∥平面A1BD时，B1P与CD1可能为
B．当λ＝μ时，的最小值为
C．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为
D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为
一十七．二面角的平面角及求法（共1小题）
（多选）20．（2023•佛山二模）四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，BD＝2，CD＝4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（　　）
A． B． C． D．
一十八．点、线、面间的距离计算（共2小题）
（多选）21．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（　　）

A．当时，EP∥平面AB1C
B．当时，|PE|取得最小值，其值为
C．|PA|+|PC|的最小值为
D．当C1∈平面CEP时，
（多选）22．（2023•广州二模）已知正四面体A﹣BCD的长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若AP+BP取得最小值，则CP＝PN
B．若CP＝3PN，则DP⊥平面ABC
C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为
D．直线MN到平面ACD的距离为
一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）
23．（2023•潮州二模）已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．点（4，0）在圆M内
B．若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则a＝9
C．直线与圆M相离
D．圆M关于4x+3y﹣2＝0对称
二十．椭圆的性质（共3小题）
24．（2023•高州市二模）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则＝（　　）
A．2 B． C．4 D．
25．（2023•韶关二模）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．
26．（2023•深圳二模）设椭圆C：）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二十一．抛物线的性质（共1小题）
（多选）27．（2023•深圳二模）设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（　　）
A．PQ⊥x轴 B．PF⊥AB C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|+|BF|＝2|PF|
二十二．直线与抛物线的综合（共1小题）
（多选）28．（2023•高州市二模）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），M是抛物线C上的动点，焦点，N（4，2），下列说法正确的是（　　）

A．C的方程为y2＝x B．C的方程为y2＝2x
C．|MF|+|MN|的最小值为 D．|MF|+|MN|的最小值为
二十三．直线与双曲线的综合（共1小题）
（多选）29．（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6a
B．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF1
C．△AOD面积的最小值为4a2
D．|AB|+|BF1|的取值范围为（3a，+∞）
二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）
（多选）30．（2023•湛江二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M（单位：g）服从正态分布N（165，σ2），且P（M＜162）＝0.15，P（165＜M＜167）＝0.3．下列说法正确的是（　　）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7
B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g～168g的概率为0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数的方差为136.5

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-01选择题（提升题）
参考答案与试题解析
一．命题的真假判断与应用（共1小题）
（多选）1．（2023•茂名二模）如图所示，有一个棱长为4的正四面体P﹣ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（　　）

A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为
B．△ABE的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
【答案】ACD
【解答】A选项，连接AD，如图所示：

在正四面体P﹣ABC中，D是PD的中点，所以PB⊥AD，PB⊥CD，因为AD⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，AD∩CD＝D，所以直线PB⊥平面ACD，因为AE⊆平面ACD，所以PB⊥AE，所以直线AE与PB所成角为；故A选项正确；
B选项，把△ACD沿着CD展开与面BCD同一平面内，由AD＝CD＝，AC＝4，，所以cos∠ADB＝cos（）＝﹣sin∠ADC＝﹣，所以×，所以△ABC的周长最小值为不正确，故B选项错误；
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r，由等体积法可知，，所以半径r＝，故C选项正确；
D选项，10个小球分三层，（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为r，四个角小球球心连线M﹣NGF是棱长为4r的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径为高的得，如图正四面体P﹣HIJ，

则MP＝3r，正四面体P﹣ABC的高为3r+r+r＝，得r＝，故D选项正确．
故选：ACD．
二．函数的最值及其几何意义（共1小题）
2．（2023•茂名二模）黎曼函数R（x）是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，R（x）在[0，1]上的定义为：当（p＞q，且p，q为互质的正整数）时，；当x＝0或x＝1或x为（0，1）内的无理数时，R（x）＝0，则下列说法错误的是（　　）
A．R（x）在[0，1]上的最大值为
B．若a，b∈[0，1]，则R（a•b）≥R（a）•R（b）
C．存在大于1的实数m，使方程有实数根
D．∀x∈[0，1]，R（1﹣x）＝R（x）
【答案】C
【解答】解：对于A，由题意，R（x）的值域为，其中p是大于等于2的正整数，选项A正确；
对于B，①若a，b∈（0，1]，设（p，q互质，m，n互质），，则R（a•b）≥R（a）•R（b），
②若a，b有一个为0，则R（a•b）≥R（a）•R（b）＝0，选项B正确；
对于C，若n为大于1的正数，则，而R（x）的最大值为，
所以该方程不可能有实根，选项C错误；
对于D，x＝0，1或（0，1）内的无理数，则R（x）＝0，R（1﹣x）＝0，R（x）＝R（1﹣x），
若x为（0，1）内的有理数，设（p，q为正整数，为最简真分数），则，选项D正确．
故选：C．
三．抽象函数及其应用（共1小题）
（多选）3．（2023•高州市二模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1﹣x）＝f（7+x），函数f（x+2）﹣1为奇函数，且对∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）．函数与函数f（x）的图象交于点（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），给出以下结论，其中正确的是（　　）
A．f（2022）＝2022
B．函数f（x+1）为偶函数
C．函数f（x）在区间[4，5]上单调递减
D．
【答案】BCD
【解答】解：因为f（﹣1﹣x）＝f（7+x），所以f（x）＝f（6﹣x），f（x）的图象关于x＝3对称，
因为函数f（x+2）﹣1为奇函数，所以f（x）的图象关于点（2，1）对称，且f（0+2）﹣1＝0⇒f（2）＝1，
又f（﹣x+2）﹣1＝1﹣f（x+2）⇒f（x+2）＝2﹣f（2﹣x），
所以f（x）＝2﹣f（4﹣x）＝2﹣f[6﹣（2+x）]＝2﹣f（2+x）＝2﹣[2﹣f（2﹣x）]
＝f（2﹣x）＝f[6﹣（2﹣x）]＝f（x+4），即f（x）＝f（x+4），
所以f（x）的周期为4，所以f（2022）＝f（2）＝1，故A错误；
由上可知，f（x）＝f（2﹣x），
f（x+1）＝f[2﹣（x+1）]＝f（1﹣x），故B正确；
因为∀a，b∈[2，3]，当a≠b时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a），
即（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，所以f（x）在区间[2，3]单调递增，
因为f（x）的图象关于点（2，1）对称，所以f（x）在区间[1，2]单调递增，
又f（x）的图象关于x＝3对称，所以f（x）在区间[4，5]单调递减，C正确；
因为，所以g（x）的图象关于点（2，1）对称，
所以f（x）与g（x）的交点关于点（2，1）对称，不妨设x1＜x2＜x3＜•••＜xm，
则x1+xm＝x2+xm﹣1＝x3+xm﹣2＝⋅⋅⋅＝4，y1+ym＝y2+ym﹣1＝y3+ym﹣2＝⋅⋅⋅＝2，
所以x1+x2+⋯+xm＝2m，y1+y2+⋯+ym＝m，
所以，D正确．
故选：BCD．
四．对数值大小的比较（共1小题）
4．（2023•广东二模）已知，，，则（参考数据：ln2≈0.7）（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【答案】B
【解答】解：因为，，
考虑构造函数，则，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，
当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，
因为ln2≈0.7，所以e0.7≈2，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故b＞a＞c．
故选：B．
五．三角函数的周期性（共1小题）
（多选）5．（2023•广东二模）已知f（x）＝cosx+tanx，则下列说法正确的是（　　）
A．f（x）是周期函数
B．f（x）有对称轴
C．f（x）有对称中心
D．f（x）在上单调递增
【答案】ACD
【解答】解：因为f（x）＝cosx+tanx，
所以f（x+2π）＝cos（x+2π）+tan（x+2π）＝cosx+tanx＝f（x），
所以函数f（x）为周期函数，A正确；
因为，
，
所以，
所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，
所以为函数f（x）的中心对称，C正确；
当时，，
因为0＜cosx＜1，0＜sinx＜1，
所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在上单调递增，D正确；
由可得，
当时，由0＜cosx≤1，﹣1＜sinx＜1，可得f′（x）＞0，
函数f（x）在上单调递增，
当，由﹣1≤cosx＜0，﹣1＜sinx＜1，可得f′（x）＞0，
函数f（x）在上单调递增，
又f（0）＝1，f（π）＝﹣1，
作出函数f（x）在的大致图象可得：

结合函数f（x）是一个周期为2π的函数可得函数f（x）没有对称轴，B错误．
故选：ACD．
六．正弦函数的图象（共1小题）
6．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜），若存在x1，x2，x3∈（0，），且x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，使f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，则φ的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵x3﹣x2＝2（x2﹣x1）＝4x1，∴x2＝3x1，x3＝7x1，
又f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＞0，且x1，x2，x3∈（0，），
∴x3﹣x1＝6x1＝π，，，
∴π﹣2x1﹣φ＝2x2+φ，即，
∴．
故选：A．
七．函数的零点与方程根的关系（共1小题）
（多选）7．（2023•茂名二模）已知f（x）＝，若关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解答】解：令g（x）＝，则g'（x）＝，所以g（x）在[0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，
所以f（x）的大致图像如下所示：

令t＝f（x），
所以关于x的方程4ef2（x）﹣af（x）+＝0有6个不同实根等价于关于t方程4et2﹣at+＝0在t∈（0，）内有2个不等实根，
即h（t）＝4et+与y＝a在t∈（0，）内有2个不同交点，
又因为h′（t）＝4e﹣＝，
令h′（t）＝0，则t＝±，
所以当t∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；当t∈（，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；
所以h（t）＝4et+的大致图像如下所示：

又h（）＝4，h（）＝5，
所以a∈（4，5）．
对照四个选项，AB符合题意．
故选：AB．
八．函数与方程的综合运用（共2小题）
8．（2023•韶关二模）定义||x||（x∈R）为与x距离最近的整数（当x为两相邻整数算术平均数时，||x||取较大整数），令函数f（x）＝||x||，如：，，，，则＝（　　）
A．17 B． C．19 D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝||x||，
当1≤n≤2时，有0.5＜＜1.5，则f（）＝1，则有＝1，
当3≤n≤6，有1.5＜＜2.5，则f（）＝2，则有＝，
当7≤n≤12，有2.5＜＜3.5，则f（）＝3，则有＝，
……，
由此可以将重新分组，各组依次为（1，1）、（、、、）、（、、、、、）、……，
第n组为2n个，则每组中各个数之和为2n×＝1，
前9组共有＝90个数，则是第10组的第10个数，
则＝2×9+10×＝19．
故选：C．
9．（2023•潮州二模）已知函数f（x）＝|sinx|，g（x）＝kx（k＞0），若f（x）与g（x）图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是（　　）
A．若n＝1，则k＞1
B．若n＝3，则
C．若n＝4，则x1+x4＞x2+x3
D．若，则n＝2023
【答案】B
【解答】解：对于A：当k＝1时，令y＝sinx﹣x，则y′＝cosx﹣1＜0，即函数y＝sinx﹣x在定义域上单调递减，又当x＝0时，y＝0，所以函数y＝sinx﹣x有且仅有一个零点为0，
同理易知函数y＝﹣sinx﹣x有且仅有一个零点为0，即f（x）与g（x）也恰有一个公共点，故A错误；
对于B：当n＝3时，如下图：
2
易知在x＝x3，且x3∈（π，2π），f（x）与g（x）图象相切，
由当x∈（π，2π）时，f（x）＝﹣sinx，则f′（x）＝﹣cosx，g′（x）＝k，
故，从而x3＝tanx3，
所以+x3＝tanx3+＝＝＝，故B正确；
对于C：当n＝4时，如下图：

则x1＝0，π＜x4＜2π，所以x1+x4＜2π，又f（x）图象关于x＝π对称，
结合图象有x3﹣π＞π﹣x2，即有x2+x3＞2π＞x1+x4，故C错误；
对于D：当时，由f（）＝g（）＝1可得，
f（x）与g（x）的图象在y轴右侧的前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D错误．
故选：B．
九．数列递推式（共1小题）
（多选）10．（2023•高州市二模）已知数列{pn}和{qn}满足：p1＝1，q1＝2，pn+1＝pn+3qn，qn+1＝2pn+qn，n∈N*，则下列结论错误的是（　　）
A．数列是公比为的等比数列
B．仅有有限项使得
C．数列是递增数列
D．数列是递减数列
【答案】ABD
【解答】解：由题意可知，
第二个式子乘以λ后与第一和式子相加可得，
令，解得，
取可得，
因为p1＝1，q1＝2，所以，
所以，
所以数列是公比为的等比数列，选项A说法错误；
因为p1＝1，q1＝2，所以，
所以当n为正奇数时，，即，
当n为正偶数时，，即，选项B说法错误；
由p1＝1，q1＝2，pn+1＝pn+3qn，qn+1＝2pn+qn，可知pn＞0，qn＞0，且数列{pn}和{qn}均为递增数列，
而，
所以数列是递增数列，选项C说法正确；
因为，所以数列是递增数列，选项D说法错误．
故选：ABD．
一十．利用导数研究函数的单调性（共3小题）
11．（2023•广州二模）已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）+e﹣x+x也是偶函数，若f（2a﹣1）＜f（a+1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2） B．（0，2）
C．（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【答案】B
【解答】解：因为f （x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x ），等式两边求导可得f′（x）＝﹣f′（﹣x），①
因为函数f'（x）+e﹣x+x为偶函数，则f′（x）+e﹣x+x＝f′（﹣x）+ex﹣x，②
联立①②可得f′（x）＝﹣x，
令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣1≥﹣1＝0，且g′（x）不恒为零，
所以函数g（x）在R上为增函数，即函数f′（x）在R上为增函数，
故当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝0，所以函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
由f（2a﹣1）＜f（a+1），可得f（|2a﹣1|）＜f（|a+1|），
所以|2a﹣l|＜|a+1|，整理可得a2﹣2a＜0，解得0＜a＜2．
故选：B．
12．（2023•深圳二模）已知ε＞0，，且ex+εsiny＝eysinx，则下列关系式恒成立的为（　　）
A．cosx≤cosy B．cosx≥cosy C．sinx≤siny D．sinx≥siny
【答案】A
【解答】解：构造函数f（x）＝，x∈，则f′（x）＝，
当x∈时，cosx＞sinx，f′（x）＝＞0，
因为0＜ex，0＜ey，
当＝，eɛ＞1，0＜sinx＜siny时，则＞＞0，所以＞x＞y＞0，
y＝cosx，x∈（0，）单调递增，所以cosx＜cosy，
当＝＜0，eɛ＞1，sinx＜siny＜0时，则＜＜0，所以﹣＜x＜y＜0，
y＝cosx，x∈（﹣，0）单调递减，所以cosx＜cosy．
当＝，eɛ＞1，sinx＝siny＝0时，则x＝y＝0，
此时cosx＝cosy，
综上，cosx≤cosy．
故选：A．
（多选）13．（2023•佛山二模）已知函数f（x）＝ex﹣﹣1，对于任意的实数a，b，下列结论一定成立的有（　　）
A．若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0
B．若a+b＞0，则f（a）﹣f（﹣b）＞0
C．若f（a）+f（b）＞0，则a+b＞0
D．若f（a）+f（b）＜0，则a+b＜0
【答案】ABD
【解答】解：f（x）＝ex﹣﹣1，则f′（x）＝ex﹣x，f″（x）＝ex﹣1，
当x∈（0，+∞）时，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，
所以f′（x）≥f′（0）＝1，
所以f（x）在R上单调递增，且f（0）＝0，
若a+b＞0，则a＞﹣b，所以f（a）＞f（﹣b），则f（a）﹣f（﹣b）＞0，故B正确；
f（b）+f（﹣b）＝eb﹣b2﹣1+（e﹣b﹣b2﹣1）＝eb+e﹣b﹣b2﹣2，
令h（b）＝eb+e﹣b﹣b2﹣2，h′（b）＝eb﹣e﹣b﹣2b，令h′（b）＝u（b），u′（b）＝eb+e﹣b﹣2≥0，u（b）在R上单调递增，而h′（0）＝u（0）＝0，
故h（b）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，故h（b）≥h（0）＝0，
所以f（b）+f（﹣b）≥0⇒f（a）+f（b）≥f（a）﹣f（﹣b）＞0，故A正确；
对于D，若f（a）+f（b）＜0⇒f（a）＜﹣f（b）≤f（﹣b）⇒a＜﹣b，即a+b＜0，故D正确；
设f（c）＝﹣f（b），若c＜a＜﹣b，则f（c）＝﹣f（b）＜f（a），满足f（a）+f（b）＞0，但a+b＜0，故C错误．
故选：ABD．
一十一．利用导数研究函数的最值（共1小题）
14．（2023•湛江二模）对于两个函数与，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为t1，t2，则t2﹣t1的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣ln2 C．1﹣ln3 D．1﹣2ln2
【答案】B
【解答】解：由题意可得＝ln（2t2﹣1）+2，
∴t1＝1+ln（ln（2t2﹣1）+2），t1，t2＞，
∴t2﹣t1＝t2﹣1﹣ln（ln（2t2﹣1）+2）＝ln（），
令h（x）＝，x∈（，+∞），
h′（x）＝，
令u（x）＝ln（2x﹣1）+2﹣在x∈（，+∞）上单调递增，且u（1）＝0，
∴x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．
∴x＝1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）＝，
∴函数y＝ln（）取得最小值ln，即﹣ln2．
即t2﹣t1的最小值为﹣ln2，
故选：B．
一十二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
（多选）15．（2023•潮州二模）设向量，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为（1，0）
【答案】ACD
【解答】解：因为，所以＝（﹣1，﹣1），
对A：||＝，||＝，所以||＝||，故A正确；
对B：因为1×（﹣1）﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣2≠0，所以与不平行，故B错误；
对C：（）•＝﹣1+1＝0，所以（）⊥，故C正确；
对D：在上的投影为＝＝1，则在上的投影向量为（1，0），故D正确；
故选：ACD．
一十三．三角形中的几何计算（共1小题）
（多选）16．（2023•汕头二模）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．∠MPN的余弦值为 D．
【答案】ABD
【解答】解：连接PC，

并延长交AB于Q，△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，
BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
则，
，
，
，
，
，
，
＝
＝
＝＝，故A正确；
＝
＝
＝，故B正确；

＝
＝＝．故C错误；
，故D正确．
故选：ABD．
一十四．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
（多选）17．（2023•汕头二模）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r（0＜r＜2），设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（　　）
A．当r＝1时，
B．V存在最大值
C．当r在区间（0，2）内变化时，V逐渐减小
D．当r在区间（0，2）内变化时，V先增大后减小
【答案】BD
【解答】解：设圆台的上底面的圆心为O1，下底面的圆心为O，点A为上底面圆周上任意一点，
圆台的高为h，球的半径为R，
如图所示，

则
＝，
对选项不正确；
，
设f（r）＝﹣3r3﹣4r2+4r+8，则f'（r）＝﹣9r2﹣8r+4，
令f'（r）＝0可得9r2+8r﹣4＝0，解得，，
易知r2∈（0，2），且当r∈（0，r2），f'（r）＞0；
r∈（r2，2），f'（r）＜0，
f（r）在（0，r2）单调递增，在（r2，2）单调递减，
由f（0）＝8，f（1）＝5，f（2）＝﹣24，
∃r0∈（1，2），使得f（r0）＝0，当r∈（0，r0），f（r）＞0，即V'＞0；
当r∈（r0，2），f（r）＜0，即V'＜0，
所以V在（0，r0）单调递增，在（r0，2）单调递减，则B，D正确，C错误．
故选：BD．
一十五．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
（多选）18．（2023•广东二模）已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（　　）
A．平面α内存在直线l与直线m平行
B．平面α内存在直线l与直线m垂直
C．存在平面γ与直线m和平面α都平行
D．存在过直线m的平面β与平面α垂直
【答案】BD
【解答】解：对于A选项，若直线m与α相交，且平面α内存在直线l与直线m平行，
由于m⊄α，则m∥α，这与直线m与α相交矛盾，假设不成立，A错；
对于B选项，若m⊂α，则在平面α内必存在l与直线m垂直，
若直线m与α相交，设m⋂α＝A，如下图所示：

若m⊥α，且l⊂α，则m⊥l，
若m与α斜交，过直线m上一点P（异于点A）作PB⊥α，垂足点为B，
过点A作直线l，使得l⊥AB，因为PB⊥α，l⊂α，则l⊥PB，
又因为l⊥AB，PB∩AB＝B，PB、AB⊂平面PAB，所以l⊥平面PAB，
因为m⊂平面PAB，所以l⊥m，
综上所述，平面α内存在直线l与直线m垂直，B正确；
对于C选项，设直线l与平面α的一个公共点为点A，
假设存在平面γ，使得α∥β且m∥β，

过直线m作平面γ，使得γ⋂β＝l，因为m∥γ，m⊂β，γ⋂β＝l，则l∥m，
因为γ∥α，记β⋂α＝n，又因为γ⋂β＝l，则n∥l，
因为在平面β内有且只有一条直线与直线l平行，且A∈n，故m、n重合，
所以，m⊂α，但m不一定在平面α内，当m与α相交时，则m与γ也相交，C错误；
对于D选项，若m⊥α，则过直线m的任意一个平面都与平面α垂直，
若m与α不垂直，设直线m与平面的一个公共点为点A，
则过点A有且只有一条直线l与平面α垂直，记直线l、m所确定的平面为γ，则α⊥β，D正确．
故选：BD．
一十六．直线与平面所成的角（共1小题）
（多选）19．（2023•潮州二模）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是 （　　）
A．当B1P∥平面A1BD时，B1P与CD1可能为
B．当λ＝μ时，的最小值为
C．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为
D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为
【答案】AC
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则根据题意可得：

A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），
A1（0，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），B1（1，0，1），
∴，
，
设平面A1BD的一个法向量为，
则，取，
若B1P∥平面A1BD，则，
∴（﹣λ，1，μ﹣1）⋅（1，1，1）＝﹣λ+1+μ﹣1＝0，
∴λ＝μ，故，其中，
令，
解得λ＝0或1，
∴B1P与CD1可能是，∴A正确；
对B选项，∵λ＝μ，∴P点在棱CD1上，
将平面CDD1与平面A1BCD1沿着CD1展成平面图形，如图所示，

线段A1D＝≥A1D，
由余弦定理可得：，
∴，∴B错误；
对C选项，∵B1C1⊥平面CC1D1D，连接C1P，
则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，
若B1P与平面CC1D1D所成角为，则，
所以C1P＝B1C1＝1，
即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的个圆，

于是点P的轨迹长度为，C正确；
D选项，当λ＝1时，P点在DD1上，过点A1作A1H∥CP交BB1于点H，连接CH，
则CH∥A1P，所以平行四边形CHA1P即为正方体过点A1、P、C的截面，
设P（0，1，t），∴，
∴，，
∴点P到直线A1C的距离为，
∴当时，，△PA1C的面积取得最小值，此时截面面积最小为，
当t＝0或1时，，△PA1C的面积取得最大值，此时截面面积最大为，
故截面面积的取值范围为，D错误．

故选：AC．
一十七．二面角的平面角及求法（共1小题）
（多选）20．（2023•佛山二模）四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，BD＝2，CD＝4，平面ABD与平面BCD的夹角为，则AC的值可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解答】解：由AB⊥BD，CD⊥BD，平面ABD与平面BCD的夹角为，
∴与所成角为或，
＝++，
∴2＝2+2+2+2•+2•+2•，
当与所成角为，
∴2＝2+2+2+2•+2•+2•＝9+4+16﹣2×3×4×cos＝17，∴AC＝，
当与所成角为，
∴2＝2+2+2+2•+2•+2•＝9+4+16﹣2×3×4×cos＝41，∴AC＝，
综上所述：AC＝或．
故选：AD．
一十八．点、线、面间的距离计算（共2小题）
（多选）21．（2023•梅州二模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（　　）

A．当时，EP∥平面AB1C
B．当时，|PE|取得最小值，其值为
C．|PA|+|PC|的最小值为
D．当C1∈平面CEP时，
【答案】BC
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），E（1，0，0），
所以，则点P（2λ，2λ，2﹣2λ），
对于A，，，，而，
显然，即是平面AB1C的一个法向量，
而，因此不平行于平面AB1C，即直线EP与平面AB1C不平行，A错误；
对于B，，则，
因此当时，|PE|取得最小值，B正确；
对于C，，
于是，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，取A1D1的中点F，连接EF，C1F，CE，如图，

因为E为边AD的中点，则EF∥DD1∥CC1，当C1∈平面CEP时，P∈平面CEFC1，
连接B1D1∩C1F＝Q，连接BD∩CE＝M，连接MQ，显然平面CEFC1∩平面BDD1B1＝MQ，
因此MQ∩D1B＝P，BB1∥CC1，CC1⊂平面CEFC1，BB1⊄平面CEFC1，则BB1∥平面CEFC1，
即有MQ∥BB1，而，
所以，D错误．
故选：BC．


（多选）22．（2023•广州二模）已知正四面体A﹣BCD的长为2，点M，N分别为△ABC和△ABD的重心，P为线段CN上一点，则下列结论正确的是（　　）
A．若AP+BP取得最小值，则CP＝PN
B．若CP＝3PN，则DP⊥平面ABC
C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为
D．直线MN到平面ACD的距离为
【答案】BCD
【解答】解：易得DE⊥AB，CE⊥AB，
又DE∩CE＝E，则AB⊥面CDE，
又CN⊂面CDE，则AB⊥CN，同理可得CN⊥BD，
AB∩BD＝B，则CN⊥平面ABD，
又AN，BN⊂平面ABD，
所以CN⊥BN，CN⊥AN，
则当点P与点N重合时，AP+BP取得最小值，
又AN＝BN＝DN＝DE＝×＝，则最小值为AN+BN＝，故A错误；

在正四面体ABCD中，因为DP⊥平面ABC，易得P在DM上，所以DM∩CN＝P，
又点M，N也是△ABC和△ABD的内心，则点P为正四面体ABCD内切球的球心，
CM＝CE＝，DM＝＝，设正四面体ABCD内切球的半径为r，
因为VD﹣ABC＝VP﹣ABC+VP﹣ABD+VP﹣BCD+VP﹣ACD，所以S△ABC•DM＝S△ABC•r+S△ABD•r+S△BCD•r+S△ACD•r，
解得r＝MP＝DM＝，即DP＝DM，故CP＝3PN，故B正确；

设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，半径为R，
易得球心O在直线DN上，且ON⊥NC，则R2＝OC2＝CN2+（OP﹣NP）2，解得R＝，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2＝，故C正确；
∵DM＝＝，即D到平面ABC的距离为，
则B到平面ACD的距离为，∵E是AB的中点，
∴E到平面ACD的距离为×，
∵CM＝CE，∴M到平面ACD的距离为××＝，
∴直线MN到平面ACD的距离为，故D正确．
故选：BCD．
一十九．直线与圆的位置关系（共1小题）
23．（2023•潮州二模）已知圆M：x2+y2﹣4x+3＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．点（4，0）在圆M内
B．若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则a＝9
C．直线与圆M相离
D．圆M关于4x+3y﹣2＝0对称
【答案】B
【解答】解：∵圆M：x2+y2﹣4x+3＝0可化为：（x﹣2）2+y2＝1，
∴圆心为O1（2，0），半径为r1＝1，
对于A：因为（4﹣2）2+02＞1，所以点（4，0）在圆M外，故A错误；
对于B：若圆M与圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0恰有三条公切线，则两圆外切，
圆x2+y2﹣4x﹣6y+a＝0可化为（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13﹣a，圆心为O2（2，3），
半径为，因为|O1O2|＝r1+r2，
所以，
解得a＝9，故B正确；
对于C：∵O1（2，0）到直线的距离为，
∴直线与圆M相切，故C错误；
对于D：显然圆心O1（2，0）不在直线4x+3y﹣2＝0上，
则圆M不关于4x+3y﹣2＝0对称，故D错误；
故选：B．
二十．椭圆的性质（共3小题）
24．（2023•高州市二模）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），M为椭圆C上异于顶点的任意一点，点P是△MF1F2的内心，连接MP并延长交F1F2于点Q，则＝（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接PF1，PF2，设P到x轴距离为dP，M到x轴距离为dM，
则
设△PF1F2内切圆的半径为r，
则，

＝
＝＝（c+a）r
∴
不妨设|PQ|＝cm，则|MQ|＝（c+a）m（m＞0），
∴|PM|＝|MQ|﹣|PQ|＝am（m＞0），
因为椭圆的离心率为，
∴，
故选：A．

25．（2023•韶关二模）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，AB＝44米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，则椭圆方程为，
令y＝﹣c，有一个，所以有，所以，所以＝，
所以e＝＝．
故选：D．
26．（2023•深圳二模）设椭圆C：）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得|PF1|＝|F1F2|＝2c．∴|PF2|＝2a﹣2c，
cos∠F1PF2＝＝，
∵，∴2c×2c×＝a2，
∴4c2+8ac﹣4a2＝a2，∴5a2﹣8ac﹣4c2＝0，
∴（5a+2c）（a﹣2c）＝0，∴a＝2c，
∴e＝＝．
故选：C．
二十一．抛物线的性质（共1小题）
（多选）27．（2023•深圳二模）设抛物线C：y＝x2的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（　　）
A．PQ⊥x轴 B．PF⊥AB C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|+|BF|＝2|PF|
【答案】AC
【解答】解：对于A选项：设，
y＝x2，y′＝2x，
过点A切线为：y﹣y1＝2x1（x﹣x1）①，
过点B切线为：y﹣y2＝2x2（x﹣x2）②，
①﹣②得y1﹣y2＝2x1x﹣2x2x，又y1＝x，y2＝x，
化简可得，
，
PQ⊥x轴，A选项正确；
设，
过A点的切线为y＝0，过B点的切线为y﹣1＝2（x﹣1），交点为，
AB的中点为，所以不垂直AB，B选项错误；
，所以|AF|+|BF|≠2|PF|，D选项错误；
作抛物线准线的垂线AA′，BB′，连接A′P，B′P，PF，AF，BF，

，
则，
显然kFA′⋅kPA＝﹣1，所以FA′⊥PA，
又因为由抛物线定义，得|AA′|＝|AF|，故知PA是线段FA′的中垂线，得到|PA′|＝|PF|，则∠PA′A＝∠PFA，
同理可证：|PB′|＝|PF|，∠PB′B＝∠PFB，
所以|PA′|＝|PB′|＝|PF|，即∠PA′B′＝∠PB′A′，
所以∠PA′A＝∠PA′B′+90°＝∠PB′A′+90°＝∠PB′B，即∠PFA＝∠PFB，C选项正确；
故选：AC．
二十二．直线与抛物线的综合（共1小题）
（多选）28．（2023•高州市二模）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），M是抛物线C上的动点，焦点，N（4，2），下列说法正确的是（　　）

A．C的方程为y2＝x B．C的方程为y2＝2x
C．|MF|+|MN|的最小值为 D．|MF|+|MN|的最小值为
【答案】BD
【解答】解：由题可得，即C的方程为y2＝2x，
设准线为l，过M作MA⊥l交l于点A，过N作NB⊥l交l于点B，交C于点M′，连接M′F，
将y＝2代入y2＝2x可得M′（2，2），
所以，
于是|MF|+|MN|＝|MA|，
当M与M′重合时，|MF|+|MN|取得最小值．

故选：BD．
二十三．直线与双曲线的综合（共1小题）
（多选）29．（2023•广州二模）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝a2（a＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于点B，C，与双曲线Γ的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　）
A．若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6a
B．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF1
C．△AOD面积的最小值为4a2
D．|AB|+|BF1|的取值范围为（3a，+∞）
【答案】BD
【解答】解：因为双曲线Γ的标准方程为x2﹣y2＝a2（a＞0），则c＝a，

易知点F1（﹣a，0）、F2（a，0），双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x，
对于A选项，当BC⊥x轴，直线BC的方程为x＝a，
联立，可得，此时，|BC|＝2a，
则|BF1|+|CF1|＝（|BF2|+2a）+（|CF2|+2a）＝|BC|+4a＝6a，
此时，△BCF1的周长为|BC|+|BF1|+|CF1|＝8a，故A错误；
对于B选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线Γ上，
因为若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则点B、E关于原点对称，
即BE、F1F2的中点均为原点，故四边形BF1EF2为平行四边形，
所以BF2∥EF1，即BC∥EF1，故B对；
对于C选项，易知OA的方程为y＝x，OD的方程为y＝﹣x，所以OA⊥OD，
因为直线l与双曲线Γ的右支交于点B、C，则直线l不与x轴重合，
设直线l的方程为x＝my+a，设点B（x1，y1）、C（x2，y2），
联立，可得（m2﹣1）y2+2may+a2＝0，
则，解得m≠±1，
由韦达定理可得y1+y2＝﹣，y1y2＝＜0，可得﹣1＜m＜1，
联立，可得x＝y＝，即点A（，），
联立，可得x＝，y＝﹣，即点D（，﹣），
所以|OA|＝•|xA|＝，|OD|＝•|xD|＝，
所以S△AOD＝•|OA|•|OD|＝＝≥2a2，当且仅当m＝0时，等号成立，故C错；
对于D选项，|AB|+|BF1|＝|AB|+|BF2|+2a＝|AF2|+2a＝•+2a＝a•+2a＝•+2a＝a•+2a，
当m＝0时，|AB|+|BF1|＝2a+a，
当0＜m＜1时，|AB|+|BF1|＝a•+2a＝a•+2a，
因为函数y＝m+﹣2在（0，1）上单调递减，
此时|AB|+|BF1|＝a•+2a∈（2a+a，+∞），
当﹣1＜m＜0时，因为函数y＝m+﹣2在（﹣1，0）上单调递减，
此时|AB|+|BF1|＝a•+2a∈（3a，2a+a），
综上所述，|AB|+|BF1|的取值范围是（3a，+∞），故D对．
故选：BD．
二十四．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（共1小题）
（多选）30．（2023•湛江二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量M（单位：g）服从正态分布N（165，σ2），且P（M＜162）＝0.15，P（165＜M＜167）＝0.3．下列说法正确的是（　　）
A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7
B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g～168g的概率为0.05
C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480
D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数的方差为136.5
【答案】BCD
【解答】解：∵红橙单果质量M服从正态分布N（165，σ2），且P（165＜M＜167）＝0.3，
∴P（M＜167）＝P（M≤165）+P（165＜M＜167）＝0.5+0.3＝0.8，故A错误；
P（165＜M＜168）＝P（162＜M＜165）＝0.5﹣0.15＝0.35，
则P（167＜M＜168）＝0.35﹣0.3＝0.05，故B正确；
由P（M＞163）＝P（M＜167）＝0.8，得从种植园成熟的红橙中随机选取600个，质量大于163g的个数的数学期望为600×0.8＝480，故C正确；
∵P（163＜M＜165）＝P（165＜M＜167）＝0.3，
P（162＜M＜163）＝P（M＜165）﹣P（163＜M＜165）﹣P（M＜162）＝0.5﹣0.3﹣0.15＝0.05，
∴P（167＜M＜168）＝P（162＜M＜163）＝0.05，
则P（163＜M＜168）＝P（163＜M＜165）+P（165＜M＜167）+P（167＜M＜168）＝0.3+0.3+0.05＝0.65．
∴从种植园成熟的红橙中随机选取600个，质量在163g～168g的个数的方差为600×0.65×（1﹣0.65）＝136.5，故D正确．
故选：BCD．