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广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（基础题）
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这是一份广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（基础题），共36页。试卷主要包含了＝x﹣m，m∈R，＝ax2+x，＝emx﹣1﹣x等内容，欢迎下载使用。
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（基础题）
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•韶关二模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝Sn+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
2．（2023•广东二模）已知等差数列{an}的公差d＞0，且满足a1＝1，a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前2n项的和T2n．
3．（2023•广州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
二．数列递推式（共2小题）
4．（2023•深圳二模）已知数列{an}满足，a1＝3，anan+1＝9×22n﹣1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
5．（2023•梅州二模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且数列{an+1﹣an}是公比为2的等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝，数列{bn}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
三．利用导数研究函数的单调性（共1小题）
6．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝+lnx﹣2ax，a为常数，且a＞0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜1时，如果存在两个不同的正实数m，n且f（m）+f（n）＝1﹣4a，证明：m+n＞2．
四．利用导数研究函数的极值（共1小题）
7．（2023•韶关二模）已知f（x）＝sinx，g（x）＝x﹣m，m∈R．
（1）求曲线y＝f（x）在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（2）若h（x）＝f（x）⋅g（x），，设x1，x2，x3，⋅⋅⋅，xn（其中xn＜xn+1，n∈N*）为h（x）的极值点，若h（x1）+h（x2）＝0，求m的值．
五．利用导数研究函数的最值（共2小题）
8．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝ln（1+x），g（x）＝ax2+x．
（1）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x），求实数a的取值范围；
（2）已知n∈N*，证明：sin＜ln2．
9．（2023•深圳二模）已知函数f（x）＝emx﹣1﹣x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣+x恰有两个零点．
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：．
六．解三角形（共3小题）
10．（2023•潮州二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosC的取值范围．
11．（2023•广东二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求sinA．
12．（2023•深圳二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin（A﹣B）＝2sinC．
（1）证明：a2＝b2+2c2；
（2）若，a＝3，，求AM的长度．
七．平面的基本性质及推论（共1小题）
13．（2023•佛山二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E，F是PC，AD的中点．
（1）若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
八．直线与平面所成的角（共1小题）
14．（2023•高州市二模）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC与△A1B1C1是分别以AB和A1B1为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，BC1与B1C交于点D，点E在棱AB上，且EB＝2EA．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AA1＝2，求直线BC1与平面A1B1C所成角的正弦值．
九．双曲线的性质（共1小题）
15．（2023•深圳二模）已知双曲线：x2﹣y2＝1，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
（1）若点M（2，），Q（2，0），过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求△OST的面积；
（2）若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②BM⊥EQ；③|OQ|＝2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
一十．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
16．（2023•韶关二模）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范．某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增感冒就诊人数y（位）
y1
y2
y3
y4
y5
y6
参考数据：，．
（1）已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数．
参考公式：，．
17．（2023•深圳二模）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
一十一．频率分布直方图（共1小题）
18．（2023•湛江二模）现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．
（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；
（2）若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．
一十二．线性回归方程（共2小题）
19．（2023•广州二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi（i＝1，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润＝年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
20．（2023•佛山二模）2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013～2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用xi和yi分别表示第i年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国内游客数y
3262
3611
3990
4432
5000
5542
6006
2879
3246
2530
（1）2020年～2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型；
（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，＝y﹣x，
参考数据：＝31843，．
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•韶关二模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝Sn+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）T2n＝．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵an+1＝Sn+1①，n∈N*，
∴当n＝1时，有a2＝S1+1＝a1q，
当n≥2时，an＝Sn﹣1+1②，
由①﹣②得an+1﹣an＝an，即＝2，∴q＝2，
∴a1＝1，
∴an＝2n﹣1；
（2）由（1）得an＝2n﹣1，则＝（﹣1）n（2n﹣1+n），
∴b2n＝22n﹣1+n，b2n﹣1＝﹣（22n﹣2+2n﹣1），
∴b2n+b2n﹣1＝4n﹣1+1，
∴T2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+...+（b2n﹣1+b2n）＝（1+4+⋯+4n﹣1）+n＝．
2．（2023•广东二模）已知等差数列{an}的公差d＞0，且满足a1＝1，a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前2n项的和T2n．
【答案】（1）an＝n；
（2）．
【解答】解：（1）∵a1，a2，a4成等比数列，
∴，即（1+d）2＝1×（1+3d），解得d＝0或d＝1，
∵d＞0，∴d＝1，
∴an＝1+1×（n﹣1）＝n．
（2）由（1）得
∴，
∴T2n＝b1+b2+b3+…+b2n﹣1+b2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝（21+23+...+22n﹣1）+[（﹣）+（﹣）+...+（﹣）]
＝＝，
∴数列{bn}的前2n项的和．
3．（2023•广州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）∵Sn＝2an﹣2（n∈N*）①，∴当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，
①﹣②得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
又当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
因为，∴Tn＜1．
二．数列递推式（共2小题）
4．（2023•深圳二模）已知数列{an}满足，a1＝3，anan+1＝9×22n﹣1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
【答案】（1）数列{an}的通项公式为．
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）由anan+1＝9×22n﹣1，得an+1an+2＝9×22n+1，
以上两式相比，得＝4，
由a1a2＝9×21，a1＝3，得a2＝6，
∴数列{a2n﹣1}是首项为3，公比为4的等比数列，，
数列{a2n}是首项为6，公比为4的等比数列，a2n＝6×22n﹣2，
综上，数列{an}的通项公式为．
（2）证明：假设数列{an}中存在三项am，ak，ap（m＜k＜p）能构成等差数列，
则2ak＝am+an，
由（1）得2×3×2k﹣1＝3×2m﹣1+3×2p﹣1，
即2k＝2m﹣1+2p﹣1，
两边同时除以2m﹣1，得2k﹣m+1＝1+2p﹣m（*），
∵（*）式左边为偶数，右边为奇数，∴（*）式不成立，即假设不成立，
∴数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
5．（2023•梅州二模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且数列{an+1﹣an}是公比为2的等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝，数列{bn}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）b2＝．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且数列{an+1﹣an}是公比为2的等比数列，
可得an+1﹣an＝（a2﹣a1）•2n﹣1＝2n﹣1，
则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1+1+2+...+2n﹣2＝1+＝2n﹣1；
（2）bn＝＝•（）n，
则＝•（），当n＝1时，＝＞1，即b1＜b2；
当n≥2时，≤×（1+）＜1，即b2＞b3＞b4＞...．
所以数列{bn}有最大项b2，且为×＝．
三．利用导数研究函数的单调性（共1小题）
6．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝+lnx﹣2ax，a为常数，且a＞0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜1时，如果存在两个不同的正实数m，n且f（m）+f（n）＝1﹣4a，证明：m+n＞2．
【答案】（1）当0＜a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞1时，f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）上单调递增，在（a﹣，a+）上单调递减．
（2）证明详情见解答．
【解答】解：（1）因为f（x）＝+lnx﹣2ax，
所以f′（x）＝x+﹣2a＝，x∈（0，+∞），
设g（x）＝x2﹣2ax+1，
Δ＝（﹣2a）2﹣4≤0，即0＜a≤1时，g（x）＝x2﹣2ax+1≥0恒成立，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
Δ＝（﹣2a）2﹣4＞0，即a＞1时，方程有两个不等的实数根，且x1＝＝a﹣＞0，
x2＝＝a+＞0，
所以任意x∈（0，a﹣），x2﹣2ax+1＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
任意x∈（a﹣，a+），x2﹣2ax+1＞0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
任意x∈（a+，+∞），x2﹣2ax+1＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当0＜a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞1时，f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）上单调递增，在（a﹣，a+）上单调递减．
（2）证明：因为f（1）＝﹣2a，
所以f（m）+f（n）＝1﹣4a＝2f（1），
由（1）可得0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设0＜m＜1＜n，
要证m+n＞2，即证n＞2﹣m＞1，
所以f（n）＞f（2﹣m），
所以1﹣4a﹣f（m）＞f（2﹣m），
所以f（m）+f（2﹣m）＜1﹣4a，
设F（x）＝f（x）+f（2﹣x），x∈（0，1），
F′（x）＝f′（x）﹣f′（2﹣x）＝x+﹣2a﹣（2﹣x）﹣+2a＝﹣，
所以x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
所以F（x）＜F（1）＝2f（1）＝1﹣4a，
所以m+n＞2．
四．利用导数研究函数的极值（共1小题）
7．（2023•韶关二模）已知f（x）＝sinx，g（x）＝x﹣m，m∈R．
（1）求曲线y＝f（x）在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（2）若h（x）＝f（x）⋅g（x），，设x1，x2，x3，⋅⋅⋅，xn（其中xn＜xn+1，n∈N*）为h（x）的极值点，若h（x1）+h（x2）＝0，求m的值．
【答案】（1）（﹣）2．
（2）m＝．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sinx，
所以f′（x）＝cosx，
所以k＝f′（）＝cos＝，
所以点（，）为切点的切线方程为y﹣＝（x﹣），
所以切线与坐标轴交点的坐标为（﹣，0），（0，﹣），
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝•|﹣||﹣|＝（﹣）2．
（2）因为h（x）＝f（x）•g（x）＝（x﹣m）sinx，
所以h′（x）＝sinx+（x﹣m）cosx，
当﹣＜x＜时，h′（x）＝cosx（tanx+x﹣m），
由函数y＝tanx+x在区间（﹣，）上单调递增，且值域为R，
所以存在唯一x0∈（﹣，），使得tanx0+x0＝m，
此时当﹣＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以x1＝x0，
同理，存在唯一x0′∈（﹣，），使得tanx0′+x0′＝m，
此时当＜x＜x0′时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x0′＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以x2＝x0′，
由h′（x1）＝0，x1﹣m＝﹣tanx1，h（x1）＝﹣＝cosx1﹣，
同理h（x2）＝﹣＝cosx2﹣，
由h（x1）+h（x2）＝0，整理得（cosx1+cosx2）（1﹣）＝0，
又﹣＜x1＜＜x2＜，
所以cosx1cosx2≠1，
则有cosx1＝﹣cosx2＝cos（x2﹣π），
由﹣＜x2﹣π＜，故x1＝x2﹣π或x1＝﹣（x2﹣π），
又m＝x1+tanx1＝x2+tanx2，
当x1＝x2﹣π时，不满足，舍去，
所以x1＝﹣（x2﹣π），即x1+x2＝π，即m＝＝，
综上所述，m＝．
五．利用导数研究函数的最值（共2小题）
8．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝ln（1+x），g（x）＝ax2+x．
（1）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x），求实数a的取值范围；
（2）已知n∈N*，证明：sin＜ln2．
【答案】（1）[0，+∞）．
（2）证明详情见解答．
【解答】解：（1）解法1：由f（x）≤g（x），得ln（1+x）≤ax2+x，
若x＝0，得0≤0，a∈R，
若x≠0，得≤a，
设h（x）＝，
则h′（x）＝，
设p（x）＝﹣2ln（1+x），
则p′（x）＝＞0，p（x）单调递增，
因为p（0）＝0，
当x＞0时，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＜0时，p（x）＜0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
即h′（x）＞0恒成立，
所以h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
因为x→+∞时，→0，
所以a≥0．
解法2：令h（x）＝ln（1+x）﹣x（x＞﹣1），则h′（x）＝﹣1＝﹣，
当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以当x＝0时，h（x）取得最大值，其值为h（0）＝0，
所以当x＞﹣1时，h（x）≤h（0）＝0，即ln（1+x）≤x，
所以当a≥0时，ln（1+x）≤x≤ax2+x，即f（x）≤g（x），
当a＜0时，取x0＝﹣＞0，
由于ln（1+x0）＞ln1＝0，而+x0＝a（﹣）2﹣＝0，
得ln（1+x0）＞+x0，
所以f（x0）＞g（x0），不符合题意，
综上所述，a的取值范围为[0，+∞）．
（2）证明：当a＝0时，由（1）得ln（1+x）≤x①，
由①得lnx≤x﹣1，
所以ln≤﹣1，即﹣lnx≤﹣1，
所以lnx≥1﹣②，
令＝1﹣，得x＝，
所以ln（）≥，
即lnt﹣ln（t﹣1）≥（t＞1），
所以≤ln（n+k）﹣ln（n+k﹣1），k＝1，2，3，…，n，
令g（x）＝x﹣sinx（x＞0），
则g′（x）＝1﹣cosx≥0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝0，
所以sinx＜x（x＞0），
所以sin＜≤ln（n+k）﹣ln（n+k﹣1），k＝1，2，3，…，n，
所以sin+sin+...+sin＜[ln（n+1）﹣lnn]+[ln（n+2）﹣ln（n+1）]+...+[ln2n﹣ln（2n﹣1）]＝ln2n﹣lnn＝ln2．
9．（2023•深圳二模）已知函数f（x）＝emx﹣1﹣x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣+x恰有两个零点．
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）当m≤0时，f（x）在R上单调递减，
当m＞0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）（i）f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（ii）证明详情见解答．
【解答】解：（1）因为f（x）＝emx﹣1﹣x，
所以f′（x）＝memx﹣1﹣1，
当m≤0时，f′（x）＝memx﹣1﹣1＜0，
所以f（x）在R上单调递减，
当m＞0时，设F（x）＝memx﹣1﹣1，F′（x）＝m2emx﹣1＞0，
所以f′（x）在R上单调递增，
所以当x∈（﹣∞，），f′（x）＜0，
当x∈（，+∞），f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）（i）g（x）＝emx﹣1﹣（m＞0），
g′（x）＝memx﹣1﹣＝，
设h（x）＝m2xemx﹣1﹣1，则h′（x）＝m2（mx+1）emx﹣1，
因为h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
由（1）知当m＝1时，则f（x）≥f（）＝＝＝0，即ex﹣1≥x，
所以h（+1）＝m2•（+1）•﹣1≥m2•（+1）•m（）﹣1，
所以h（0）＝﹣1，
由零点的存在性定理可知，存在x1∈（0，+1），使得h（x1）＝0，即mx1＝，（*）
所以g（x）在区间（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，
当m≥1时，由（*）可知g（x1）＝﹣＝，且mx1＝≤1，
设φ（x）＝xex﹣1，
φ′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为φ（1）＝1，
所以mx1≤1，
又由m≥1，
所以x1≤≤1，
所以1﹣mx1（lnx1+1）≥1﹣mx1≥0，
即g（x）≥g（x1）≥0，与条件矛盾，
当0＜m＜1时，g（1）＝em﹣1﹣，
设G（x）＝ex﹣1﹣，G′（x）＝ex﹣1+＞0，
所以G（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以G（x）＜G（1）＝0，即g（1）＜0，
因为ex﹣1≥x，
所以x﹣1≥lnx，即﹣1≥ln，
所以2﹣2≥lnx，
即g（x）≥mx﹣＞mx﹣，
所以g（）＞m•﹣＝0，且＞1，
当0＜m＜1时，mx1＝＞1，
所以由φ（x）的单调性可得mx1＞1，且x1＞＞1，
所以g（x）在区间（1，x1）上单调递减，在区间（x1，+∞）上单调递增，
所以由零点的存在性定理可知，g（x）在区间（1，）上存在唯一零点，
g（）＝﹣＝＞0，且＜1，
所以由零点存在性定理可知，g（x）在区间（，1）上存在唯一零点，
所以当0＜m＜1时，g（x）恰有两个零点．
（ii）证明：因为mx1＝，即2lnm+lnx1+mx1﹣1＝0，
所以g（x1）＝﹣＝+x1+﹣，
由基本不等式可得g（x1）＝+x1+﹣≥2+﹣＝，
由mx1＝，可知若x1＝，与0＜m＜1矛盾，则x1≠，
所以g（x）≥g（x1）＞，
要证g（x）＞﹣，即证g（x1）＞﹣，
设H（x）＝2lnx﹣x+，
则H′（x）＝﹣1﹣＝＝≤0，
所以H（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
所以当0＜x＜1时，H（x）＞H（1）＝0，
因为0＜m＜1，
所以0＜＜1，
所以＝2ln＞﹣，
又g（x）≥g（x1）＞，
所以g（x）＞﹣．
六．解三角形（共3小题）
10．（2023•潮州二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosC的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
又A+C＝π﹣B，所以，
由于B为三角形的内角，所以；
（2）由于，所以，
故，
由于△ABC为锐角三角形，所以且，
故，
则，故，
故cosA+cosC的取值范围为．
11．（2023•广东二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求sinA．
【答案】（1）；
（2）或1．
【解答】解：（1）由正弦定理，得，
因为B∈（0，π），则sinB≠0，所以，
因为A+B+C＝π，所以，
所以，
因为C∈（0，π），则，可得，
所以，
则，所以；
（2）因为，由正弦定理，得sinA+sinB＝，
因为，
所以，
＝，
即，
因为A∈（0，π），则，
所以或，
所以或，故或1．
12．（2023•深圳二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin（A﹣B）＝2sinC．
（1）证明：a2＝b2+2c2；
（2）若，a＝3，，求AM的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AM＝1．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，sinC＝sin（A+B），
∵sin（A﹣B）＝2sinC，即sin（A﹣B）＝2sin（A+B），
∴sinAcosB﹣cosAsinB＝2sinAcosB+2cosAsinB，即sinAcosB+3cosAsinB＝0，
由正弦定理和余弦定理得a•+3b•＝0，
∴a2＝b2+2c2；
（2）由（1）得a2＝b2+2c2，
∵，a＝3，
∴在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2+bc＝9，解得b＝c＝，
∴B＝C＝，
∵，∴BM＝，
在△ABM中，由余弦定理得AM2＝c2+（）2﹣2c••cosB＝1，
故AM＝1．
七．平面的基本性质及推论（共1小题）
13．（2023•佛山二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E，F是PC，AD的中点．
（1）若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析．
【解答】解：（1）因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD，又AB⊂平面ABE，
设平面ABE∩平面PCD＝l，则AB∥l，
设PD的中点为G，连接EG，AG，则EG∥CD，又AB∥CD，
所以AB∥EG，即EG为l，BE，EG，AG就是应画的线，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，
所以AB⊥AG，即截面ABEG为直角梯形，又PA＝AB＝2，
所以，
所以，截面周长为；
（2）以点A为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1），F（0，1，0），
所以，
设平面BEF的法向量为，
则，令x＝1，可得，
设PD∩平面BEF＝H，设，又P（0，0，2），
∴，
由，可得6λ﹣4＝0，即，
即H为PD的三等分点，连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线．
八．直线与平面所成的角（共1小题）
14．（2023•高州市二模）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC与△A1B1C1是分别以AB和A1B1为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，BC1与B1C交于点D，点E在棱AB上，且EB＝2EA．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AA1＝2，求直线BC1与平面A1B1C所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）连接AC1，如图所示，
∵△ABC与△A1B1C1是分别以AB和A1B1为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，
∴，，
由三棱台的结构特征可知，B1C1∥BC，
∴△DB1C1∽△DBC，
∴，
又∵EB＝2EA，∴＝2，
在△ABC1中，，∴DE∥AC1，
又∵DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，
∴DE∥平面ACC1A1；
解：（2）以点A为坐标原点，以为y轴正方向，以为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，2，0），C（1，1，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），，
∴＝（，﹣，2），＝（1，1，﹣2），＝（0，1，0），
设平面A1B1C的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，取z＝1，解得，
∴＝（2，0，1），
∴直线BC1与平面A1B1C所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝＝＝．
九．双曲线的性质（共1小题）
15．（2023•深圳二模）已知双曲线：x2﹣y2＝1，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
（1）若点M（2，），Q（2，0），过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求△OST的面积；
（2）若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②BM⊥EQ；③|OQ|＝2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）由已知双曲线方程：x2﹣y2＝1，可得左右顶点A（﹣1，0），B（1，0），
因为点，直线BM的斜率为，
所以直线BM的垂线l的方程为，
整理可得，，
设点S（x1，y1），T（x2，y2），
联立直线l与双曲线的方程可得，，
则，且，
所以，．
原点O到直线l的距离为d＝1，
所以，△OST的面积为．
（2）
证明：①②为条件，③为结论．
设D（0，yD），M（x0，y0）（x0＞1），且，
因为A，D，M三点共线，所以，
又，所以点E的坐标为，
所以直线BM的斜率为，
又BM⊥EQ，所以，
设点Q（xQ，0），
因为直线EQ的斜率，
所以，
所以|OQ|＝2；
①③为条件，②为结论．
设D（0，yD），M（x0，y0）（x0＞1），且，
因为A，D，M三点共线，所以，
又，所以点E的坐标为，
又|OQ|＝2，点Q在x轴正半轴上，所以Q（2，0），
所以，
又，
所以，
所以，BM⊥EQ；
②③为条件，①为结论．
设D（0，yD），M（x0，y0）（x0＞1），且，不妨设y0＞0，
因为A，D，M三点共线，
所以，且，
因为|OQ|＝2，点Q在x轴正半轴上，所以Q（2，0），
因为BM⊥EQ，所以，
，
所以，，且，所以，yE＝2yD，即．
一十．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
16．（2023•韶关二模）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范．某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增感冒就诊人数y（位）
y1
y2
y3
y4
y5
y6
参考数据：，．
（1）已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数．
参考公式：，．
【答案】（1）X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望；
（2）昼夜温差为15°C时，该校新增患感冒的学生人数35人．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以y1（y1﹣1）＝4×3×6＝9×8⇒y1＝9，
即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，
则随机变量X的可能取值为：0，1，2，
且X服从超几何分布，其中N＝9，M＝4，n＝2，
＝，
即X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望；
（2）因为，所以，所以，
由于，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，当x＝15时，，
所以可以估计，昼夜温差为15°C时，该校新增患感冒的学生人数35人．
17．（2023•深圳二模）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
【答案】（1）X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
期望为；
（2）答案见解析．
【解答】解：（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4：6，
按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望；
（2）零假设为H0：爱好飞盘运动与性别无关联．
根据列联表的数据，经计算得到，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联；
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联；
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
一十一．频率分布直方图（共1小题）
18．（2023•湛江二模）现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．
（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；
（2）若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．
【答案】（1）B旅行社240人次的消费总额更大．
（2）．
【解答】解：（1）A旅行社240人次的消费总额为20×200+40×600+60×1000+120×1200＝232000元，
B旅行社240人次的消费总额为10×200+50×600+70×1000+110×1200＝234000元，
∵234000＞232000，
∴B旅行社240人次的消费总额更大．
（2）对于A旅行社，这240人次去漓江的频率为＝，
∴甲去漓江的概率为，
对于B旅行社，这240人次去漓江的频率为，
∴乙去漓江的概率为，
∴甲、乙至少有一人去漓江的概率为P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．
一十二．线性回归方程（共2小题）
19．（2023•广州二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi（i＝1，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润＝年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
【答案】（1）y＝10+；
（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
【解答】解：（1）令，则y关于u的线性回归方程为y＝α+βu，
由题意可得＝＝＝200，
＝﹣＝70﹣200×0.3＝10，则y＝10+200u，
所以，y关于x的回归方程为．
（2）由可得，
年利润＝，
当y＝20时，年利润M取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
20．（2023•佛山二模）2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013～2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用xi和yi分别表示第i年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国内游客数y
3262
3611
3990
4432
5000
5542
6006
2879
3246
2530
（1）2020年～2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型；
（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，＝y﹣x，
参考数据：＝31843，．
【答案】（1）；
（2）预测2027年国内游客人数为7825百万人次．
【解答】解：（1），，
02+12+22+32＝28，
∴＝，＝＝4549﹣468×4＝2677，
∴国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型为；
（2）在中，取x＝11，可得．
即预测2027年国内游客人数为7825百万人次．
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（基础题）
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•韶关二模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝Sn+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
2．（2023•广东二模）已知等差数列{an}的公差d＞0，且满足a1＝1，a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前2n项的和T2n．
3．（2023•广州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
二．数列递推式（共2小题）
4．（2023•深圳二模）已知数列{an}满足，a1＝3，anan+1＝9×22n﹣1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
5．（2023•梅州二模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且数列{an+1﹣an}是公比为2的等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝，数列{bn}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
三．利用导数研究函数的单调性（共1小题）
6．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝+lnx﹣2ax，a为常数，且a＞0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜1时，如果存在两个不同的正实数m，n且f（m）+f（n）＝1﹣4a，证明：m+n＞2．
四．利用导数研究函数的极值（共1小题）
7．（2023•韶关二模）已知f（x）＝sinx，g（x）＝x﹣m，m∈R．
（1）求曲线y＝f（x）在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（2）若h（x）＝f（x）⋅g（x），，设x1，x2，x3，⋅⋅⋅，xn（其中xn＜xn+1，n∈N*）为h（x）的极值点，若h（x1）+h（x2）＝0，求m的值．
五．利用导数研究函数的最值（共2小题）
8．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝ln（1+x），g（x）＝ax2+x．
（1）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x），求实数a的取值范围；
（2）已知n∈N*，证明：sin＜ln2．
9．（2023•深圳二模）已知函数f（x）＝emx﹣1﹣x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣+x恰有两个零点．
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：．
六．解三角形（共3小题）
10．（2023•潮州二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosC的取值范围．
11．（2023•广东二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求sinA．
12．（2023•深圳二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin（A﹣B）＝2sinC．
（1）证明：a2＝b2+2c2；
（2）若，a＝3，，求AM的长度．
七．平面的基本性质及推论（共1小题）
13．（2023•佛山二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E，F是PC，AD的中点．
（1）若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
八．直线与平面所成的角（共1小题）
14．（2023•高州市二模）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC与△A1B1C1是分别以AB和A1B1为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，BC1与B1C交于点D，点E在棱AB上，且EB＝2EA．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AA1＝2，求直线BC1与平面A1B1C所成角的正弦值．
九．双曲线的性质（共1小题）
15．（2023•深圳二模）已知双曲线：x2﹣y2＝1，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
（1）若点M（2，），Q（2，0），过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求△OST的面积；
（2）若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②BM⊥EQ；③|OQ|＝2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
一十．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
16．（2023•韶关二模）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范．某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增感冒就诊人数y（位）
y1
y2
y3
y4
y5
y6
参考数据：，．
（1）已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数．
参考公式：，．
17．（2023•深圳二模）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
一十一．频率分布直方图（共1小题）
18．（2023•湛江二模）现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．
（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；
（2）若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．
一十二．线性回归方程（共2小题）
19．（2023•广州二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi（i＝1，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润＝年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
20．（2023•佛山二模）2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013～2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用xi和yi分别表示第i年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国内游客数y
3262
3611
3990
4432
5000
5542
6006
2879
3246
2530
（1）2020年～2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型；
（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，＝y﹣x，
参考数据：＝31843，．
广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•韶关二模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1＝Sn+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前2n项和T2n．
【答案】（1）an＝2n﹣1；
（2）T2n＝．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵an+1＝Sn+1①，n∈N*，
∴当n＝1时，有a2＝S1+1＝a1q，
当n≥2时，an＝Sn﹣1+1②，
由①﹣②得an+1﹣an＝an，即＝2，∴q＝2，
∴a1＝1，
∴an＝2n﹣1；
（2）由（1）得an＝2n﹣1，则＝（﹣1）n（2n﹣1+n），
∴b2n＝22n﹣1+n，b2n﹣1＝﹣（22n﹣2+2n﹣1），
∴b2n+b2n﹣1＝4n﹣1+1，
∴T2n＝（b1+b2）+（b3+b4）+...+（b2n﹣1+b2n）＝（1+4+⋯+4n﹣1）+n＝．
2．（2023•广东二模）已知等差数列{an}的公差d＞0，且满足a1＝1，a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前2n项的和T2n．
【答案】（1）an＝n；
（2）．
【解答】解：（1）∵a1，a2，a4成等比数列，
∴，即（1+d）2＝1×（1+3d），解得d＝0或d＝1，
∵d＞0，∴d＝1，
∴an＝1+1×（n﹣1）＝n．
（2）由（1）得
∴，
∴T2n＝b1+b2+b3+…+b2n﹣1+b2n＝（b1+b3+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
＝（21+23+...+22n﹣1）+[（﹣）+（﹣）+...+（﹣）]
＝＝，
∴数列{bn}的前2n项的和．
3．（2023•广州二模）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2（n∈N*）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）∵Sn＝2an﹣2（n∈N*）①，∴当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，
①﹣②得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
又当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
因为，∴Tn＜1．
二．数列递推式（共2小题）
4．（2023•深圳二模）已知数列{an}满足，a1＝3，anan+1＝9×22n﹣1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
【答案】（1）数列{an}的通项公式为．
（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）由anan+1＝9×22n﹣1，得an+1an+2＝9×22n+1，
以上两式相比，得＝4，
由a1a2＝9×21，a1＝3，得a2＝6，
∴数列{a2n﹣1}是首项为3，公比为4的等比数列，，
数列{a2n}是首项为6，公比为4的等比数列，a2n＝6×22n﹣2，
综上，数列{an}的通项公式为．
（2）证明：假设数列{an}中存在三项am，ak，ap（m＜k＜p）能构成等差数列，
则2ak＝am+an，
由（1）得2×3×2k﹣1＝3×2m﹣1+3×2p﹣1，
即2k＝2m﹣1+2p﹣1，
两边同时除以2m﹣1，得2k﹣m+1＝1+2p﹣m（*），
∵（*）式左边为偶数，右边为奇数，∴（*）式不成立，即假设不成立，
∴数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列．
5．（2023•梅州二模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且数列{an+1﹣an}是公比为2的等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝，数列{bn}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）b2＝．
【解答】解：（1）数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且数列{an+1﹣an}是公比为2的等比数列，
可得an+1﹣an＝（a2﹣a1）•2n﹣1＝2n﹣1，
则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an﹣1）＝1+1+2+...+2n﹣2＝1+＝2n﹣1；
（2）bn＝＝•（）n，
则＝•（），当n＝1时，＝＞1，即b1＜b2；
当n≥2时，≤×（1+）＜1，即b2＞b3＞b4＞...．
所以数列{bn}有最大项b2，且为×＝．
三．利用导数研究函数的单调性（共1小题）
6．（2023•茂名二模）已知函数f（x）＝+lnx﹣2ax，a为常数，且a＞0．
（1）判断f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜1时，如果存在两个不同的正实数m，n且f（m）+f（n）＝1﹣4a，证明：m+n＞2．
【答案】（1）当0＜a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞1时，f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）上单调递增，在（a﹣，a+）上单调递减．
（2）证明详情见解答．
【解答】解：（1）因为f（x）＝+lnx﹣2ax，
所以f′（x）＝x+﹣2a＝，x∈（0，+∞），
设g（x）＝x2﹣2ax+1，
Δ＝（﹣2a）2﹣4≤0，即0＜a≤1时，g（x）＝x2﹣2ax+1≥0恒成立，
所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
Δ＝（﹣2a）2﹣4＞0，即a＞1时，方程有两个不等的实数根，且x1＝＝a﹣＞0，
x2＝＝a+＞0，
所以任意x∈（0，a﹣），x2﹣2ax+1＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
任意x∈（a﹣，a+），x2﹣2ax+1＞0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
任意x∈（a+，+∞），x2﹣2ax+1＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当0＜a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞1时，f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）上单调递增，在（a﹣，a+）上单调递减．
（2）证明：因为f（1）＝﹣2a，
所以f（m）+f（n）＝1﹣4a＝2f（1），
由（1）可得0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设0＜m＜1＜n，
要证m+n＞2，即证n＞2﹣m＞1，
所以f（n）＞f（2﹣m），
所以1﹣4a﹣f（m）＞f（2﹣m），
所以f（m）+f（2﹣m）＜1﹣4a，
设F（x）＝f（x）+f（2﹣x），x∈（0，1），
F′（x）＝f′（x）﹣f′（2﹣x）＝x+﹣2a﹣（2﹣x）﹣+2a＝﹣，
所以x∈（0，1）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
所以F（x）＜F（1）＝2f（1）＝1﹣4a，
所以m+n＞2．
四．利用导数研究函数的极值（共1小题）
7．（2023•韶关二模）已知f（x）＝sinx，g（x）＝x﹣m，m∈R．
（1）求曲线y＝f（x）在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；
（2）若h（x）＝f（x）⋅g（x），，设x1，x2，x3，⋅⋅⋅，xn（其中xn＜xn+1，n∈N*）为h（x）的极值点，若h（x1）+h（x2）＝0，求m的值．
【答案】（1）（﹣）2．
（2）m＝．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sinx，
所以f′（x）＝cosx，
所以k＝f′（）＝cos＝，
所以点（，）为切点的切线方程为y﹣＝（x﹣），
所以切线与坐标轴交点的坐标为（﹣，0），（0，﹣），
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝•|﹣||﹣|＝（﹣）2．
（2）因为h（x）＝f（x）•g（x）＝（x﹣m）sinx，
所以h′（x）＝sinx+（x﹣m）cosx，
当﹣＜x＜时，h′（x）＝cosx（tanx+x﹣m），
由函数y＝tanx+x在区间（﹣，）上单调递增，且值域为R，
所以存在唯一x0∈（﹣，），使得tanx0+x0＝m，
此时当﹣＜x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以x1＝x0，
同理，存在唯一x0′∈（﹣，），使得tanx0′+x0′＝m，
此时当＜x＜x0′时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x0′＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以x2＝x0′，
由h′（x1）＝0，x1﹣m＝﹣tanx1，h（x1）＝﹣＝cosx1﹣，
同理h（x2）＝﹣＝cosx2﹣，
由h（x1）+h（x2）＝0，整理得（cosx1+cosx2）（1﹣）＝0，
又﹣＜x1＜＜x2＜，
所以cosx1cosx2≠1，
则有cosx1＝﹣cosx2＝cos（x2﹣π），
由﹣＜x2﹣π＜，故x1＝x2﹣π或x1＝﹣（x2﹣π），
又m＝x1+tanx1＝x2+tanx2，
当x1＝x2﹣π时，不满足，舍去，
所以x1＝﹣（x2﹣π），即x1+x2＝π，即m＝＝，
综上所述，m＝．
五．利用导数研究函数的最值（共2小题）
8．（2023•广州二模）已知函数f（x）＝ln（1+x），g（x）＝ax2+x．
（1）当x＞﹣1时，f（x）≤g（x），求实数a的取值范围；
（2）已知n∈N*，证明：sin＜ln2．
【答案】（1）[0，+∞）．
（2）证明详情见解答．
【解答】解：（1）解法1：由f（x）≤g（x），得ln（1+x）≤ax2+x，
若x＝0，得0≤0，a∈R，
若x≠0，得≤a，
设h（x）＝，
则h′（x）＝，
设p（x）＝﹣2ln（1+x），
则p′（x）＝＞0，p（x）单调递增，
因为p（0）＝0，
当x＞0时，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＜0时，p（x）＜0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
即h′（x）＞0恒成立，
所以h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，
因为x→+∞时，→0，
所以a≥0．
解法2：令h（x）＝ln（1+x）﹣x（x＞﹣1），则h′（x）＝﹣1＝﹣，
当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以当x＝0时，h（x）取得最大值，其值为h（0）＝0，
所以当x＞﹣1时，h（x）≤h（0）＝0，即ln（1+x）≤x，
所以当a≥0时，ln（1+x）≤x≤ax2+x，即f（x）≤g（x），
当a＜0时，取x0＝﹣＞0，
由于ln（1+x0）＞ln1＝0，而+x0＝a（﹣）2﹣＝0，
得ln（1+x0）＞+x0，
所以f（x0）＞g（x0），不符合题意，
综上所述，a的取值范围为[0，+∞）．
（2）证明：当a＝0时，由（1）得ln（1+x）≤x①，
由①得lnx≤x﹣1，
所以ln≤﹣1，即﹣lnx≤﹣1，
所以lnx≥1﹣②，
令＝1﹣，得x＝，
所以ln（）≥，
即lnt﹣ln（t﹣1）≥（t＞1），
所以≤ln（n+k）﹣ln（n+k﹣1），k＝1，2，3，…，n，
令g（x）＝x﹣sinx（x＞0），
则g′（x）＝1﹣cosx≥0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝0，
所以sinx＜x（x＞0），
所以sin＜≤ln（n+k）﹣ln（n+k﹣1），k＝1，2，3，…，n，
所以sin+sin+...+sin＜[ln（n+1）﹣lnn]+[ln（n+2）﹣ln（n+1）]+...+[ln2n﹣ln（2n﹣1）]＝ln2n﹣lnn＝ln2．
9．（2023•深圳二模）已知函数f（x）＝emx﹣1﹣x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当m＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣+x恰有两个零点．
（i）求m的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）当m≤0时，f（x）在R上单调递减，
当m＞0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）（i）f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（ii）证明详情见解答．
【解答】解：（1）因为f（x）＝emx﹣1﹣x，
所以f′（x）＝memx﹣1﹣1，
当m≤0时，f′（x）＝memx﹣1﹣1＜0，
所以f（x）在R上单调递减，
当m＞0时，设F（x）＝memx﹣1﹣1，F′（x）＝m2emx﹣1＞0，
所以f′（x）在R上单调递增，
所以当x∈（﹣∞，），f′（x）＜0，
当x∈（，+∞），f′（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）（i）g（x）＝emx﹣1﹣（m＞0），
g′（x）＝memx﹣1﹣＝，
设h（x）＝m2xemx﹣1﹣1，则h′（x）＝m2（mx+1）emx﹣1，
因为h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
由（1）知当m＝1时，则f（x）≥f（）＝＝＝0，即ex﹣1≥x，
所以h（+1）＝m2•（+1）•﹣1≥m2•（+1）•m（）﹣1，
所以h（0）＝﹣1，
由零点的存在性定理可知，存在x1∈（0，+1），使得h（x1）＝0，即mx1＝，（*）
所以g（x）在区间（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，
当m≥1时，由（*）可知g（x1）＝﹣＝，且mx1＝≤1，
设φ（x）＝xex﹣1，
φ′（x）＝（x+1）ex﹣1＞0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为φ（1）＝1，
所以mx1≤1，
又由m≥1，
所以x1≤≤1，
所以1﹣mx1（lnx1+1）≥1﹣mx1≥0，
即g（x）≥g（x1）≥0，与条件矛盾，
当0＜m＜1时，g（1）＝em﹣1﹣，
设G（x）＝ex﹣1﹣，G′（x）＝ex﹣1+＞0，
所以G（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以G（x）＜G（1）＝0，即g（1）＜0，
因为ex﹣1≥x，
所以x﹣1≥lnx，即﹣1≥ln，
所以2﹣2≥lnx，
即g（x）≥mx﹣＞mx﹣，
所以g（）＞m•﹣＝0，且＞1，
当0＜m＜1时，mx1＝＞1，
所以由φ（x）的单调性可得mx1＞1，且x1＞＞1，
所以g（x）在区间（1，x1）上单调递减，在区间（x1，+∞）上单调递增，
所以由零点的存在性定理可知，g（x）在区间（1，）上存在唯一零点，
g（）＝﹣＝＞0，且＜1，
所以由零点存在性定理可知，g（x）在区间（，1）上存在唯一零点，
所以当0＜m＜1时，g（x）恰有两个零点．
（ii）证明：因为mx1＝，即2lnm+lnx1+mx1﹣1＝0，
所以g（x1）＝﹣＝+x1+﹣，
由基本不等式可得g（x1）＝+x1+﹣≥2+﹣＝，
由mx1＝，可知若x1＝，与0＜m＜1矛盾，则x1≠，
所以g（x）≥g（x1）＞，
要证g（x）＞﹣，即证g（x1）＞﹣，
设H（x）＝2lnx﹣x+，
则H′（x）＝﹣1﹣＝＝≤0，
所以H（x）在区间（0，+∞）上单调递减，
所以当0＜x＜1时，H（x）＞H（1）＝0，
因为0＜m＜1，
所以0＜＜1，
所以＝2ln＞﹣，
又g（x）≥g（x1）＞，
所以g（x）＞﹣．
六．解三角形（共3小题）
10．（2023•潮州二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosC的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
又A+C＝π﹣B，所以，
由于B为三角形的内角，所以；
（2）由于，所以，
故，
由于△ABC为锐角三角形，所以且，
故，
则，故，
故cosA+cosC的取值范围为．
11．（2023•广东二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，求sinA．
【答案】（1）；
（2）或1．
【解答】解：（1）由正弦定理，得，
因为B∈（0，π），则sinB≠0，所以，
因为A+B+C＝π，所以，
所以，
因为C∈（0，π），则，可得，
所以，
则，所以；
（2）因为，由正弦定理，得sinA+sinB＝，
因为，
所以，
＝，
即，
因为A∈（0，π），则，
所以或，
所以或，故或1．
12．（2023•深圳二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin（A﹣B）＝2sinC．
（1）证明：a2＝b2+2c2；
（2）若，a＝3，，求AM的长度．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AM＝1．
【解答】解：（1）证明：在△ABC中，sinC＝sin（A+B），
∵sin（A﹣B）＝2sinC，即sin（A﹣B）＝2sin（A+B），
∴sinAcosB﹣cosAsinB＝2sinAcosB+2cosAsinB，即sinAcosB+3cosAsinB＝0，
由正弦定理和余弦定理得a•+3b•＝0，
∴a2＝b2+2c2；
（2）由（1）得a2＝b2+2c2，
∵，a＝3，
∴在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2+bc＝9，解得b＝c＝，
∴B＝C＝，
∵，∴BM＝，
在△ABM中，由余弦定理得AM2＝c2+（）2﹣2c••cosB＝1，
故AM＝1．
七．平面的基本性质及推论（共1小题）
13．（2023•佛山二模）中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，点E，F是PC，AD的中点．
（1）若要经过点E和棱AB将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
（2）若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；
（2）详见解析．
【解答】解：（1）因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB∥平面PCD，又AB⊂平面ABE，
设平面ABE∩平面PCD＝l，则AB∥l，
设PD的中点为G，连接EG，AG，则EG∥CD，又AB∥CD，
所以AB∥EG，即EG为l，BE，EG，AG就是应画的线，
因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，
所以AB⊥AG，即截面ABEG为直角梯形，又PA＝AB＝2，
所以，
所以，截面周长为；
（2）以点A为坐标原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1），F（0，1，0），
所以，
设平面BEF的法向量为，
则，令x＝1，可得，
设PD∩平面BEF＝H，设，又P（0，0，2），
∴，
由，可得6λ﹣4＝0，即，
即H为PD的三等分点，连接EH，FH，即EH，FH就是应画的线．
八．直线与平面所成的角（共1小题）
14．（2023•高州市二模）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，△ABC与△A1B1C1是分别以AB和A1B1为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，BC1与B1C交于点D，点E在棱AB上，且EB＝2EA．
（1）求证：DE∥平面ACC1A1；
（2）若AA1＝2，求直线BC1与平面A1B1C所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）连接AC1，如图所示，
∵△ABC与△A1B1C1是分别以AB和A1B1为斜边的等腰直角三角形，AB＝2，A1B1＝1，
∴，，
由三棱台的结构特征可知，B1C1∥BC，
∴△DB1C1∽△DBC，
∴，
又∵EB＝2EA，∴＝2，
在△ABC1中，，∴DE∥AC1，
又∵DE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1，
∴DE∥平面ACC1A1；
解：（2）以点A为坐标原点，以为y轴正方向，以为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，2，0），C（1，1，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），，
∴＝（，﹣，2），＝（1，1，﹣2），＝（0，1，0），
设平面A1B1C的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，取z＝1，解得，
∴＝（2，0，1），
∴直线BC1与平面A1B1C所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝＝＝．
九．双曲线的性质（共1小题）
15．（2023•深圳二模）已知双曲线：x2﹣y2＝1，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
（1）若点M（2，），Q（2，0），过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求△OST的面积；
（2）若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；②BM⊥EQ；③|OQ|＝2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）由已知双曲线方程：x2﹣y2＝1，可得左右顶点A（﹣1，0），B（1，0），
因为点，直线BM的斜率为，
所以直线BM的垂线l的方程为，
整理可得，，
设点S（x1，y1），T（x2，y2），
联立直线l与双曲线的方程可得，，
则，且，
所以，．
原点O到直线l的距离为d＝1，
所以，△OST的面积为．
（2）
证明：①②为条件，③为结论．
设D（0，yD），M（x0，y0）（x0＞1），且，
因为A，D，M三点共线，所以，
又，所以点E的坐标为，
所以直线BM的斜率为，
又BM⊥EQ，所以，
设点Q（xQ，0），
因为直线EQ的斜率，
所以，
所以|OQ|＝2；
①③为条件，②为结论．
设D（0，yD），M（x0，y0）（x0＞1），且，
因为A，D，M三点共线，所以，
又，所以点E的坐标为，
又|OQ|＝2，点Q在x轴正半轴上，所以Q（2，0），
所以，
又，
所以，
所以，BM⊥EQ；
②③为条件，①为结论．
设D（0，yD），M（x0，y0）（x0＞1），且，不妨设y0＞0，
因为A，D，M三点共线，
所以，且，
因为|OQ|＝2，点Q在x轴正半轴上，所以Q（2，0），
因为BM⊥EQ，所以，
，
所以，，且，所以，yE＝2yD，即．
一十．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
16．（2023•韶关二模）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范．某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增感冒就诊人数y（位）
y1
y2
y3
y4
y5
y6
参考数据：，．
（1）已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取2位，其中男生人数记为X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数．
参考公式：，．
【答案】（1）X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望；
（2）昼夜温差为15°C时，该校新增患感冒的学生人数35人．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以y1（y1﹣1）＝4×3×6＝9×8⇒y1＝9，
即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位，
则随机变量X的可能取值为：0，1，2，
且X服从超几何分布，其中N＝9，M＝4，n＝2，
＝，
即X的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望；
（2）因为，所以，所以，
由于，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，当x＝15时，，
所以可以估计，昼夜温差为15°C时，该校新增患感冒的学生人数35人．
17．（2023•深圳二模）飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流．某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表：
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
【答案】（1）X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
期望为；
（2）答案见解析．
【解答】解：（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16人，女性24人，比例为4：6，
按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，则抽取男性4人，女性6人，
随机变量X的取值为：0，1，2，3，
，
，
，
，
随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望；
（2）零假设为H0：爱好飞盘运动与性别无关联．
根据列联表的数据，经计算得到，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联；
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
，
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联；
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
一十一．频率分布直方图（共1小题）
18．（2023•湛江二模）现有A，B两个广西旅行社，统计了这两个旅行社的游客去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田四个景点旅游的各240人次的数据，并分别绘制出这两个旅行社240人次分布的柱形图，如图所示．假设去漓江、乐满地主题乐园、西街、龙脊梯田旅游每人次的平均消费分别为1200元、1000元、600元、200元．
（1）通过计算，比较这两个旅行社240人次的消费总额哪个更大；
（2）若甲和乙分别去A旅行社、B旅行社，并都从这四个景点中选择一个去旅游，以这240人次去漓江的频率为概率，求甲、乙至少有一人去漓江的概率．
【答案】（1）B旅行社240人次的消费总额更大．
（2）．
【解答】解：（1）A旅行社240人次的消费总额为20×200+40×600+60×1000+120×1200＝232000元，
B旅行社240人次的消费总额为10×200+50×600+70×1000+110×1200＝234000元，
∵234000＞232000，
∴B旅行社240人次的消费总额更大．
（2）对于A旅行社，这240人次去漓江的频率为＝，
∴甲去漓江的概率为，
对于B旅行社，这240人次去漓江的频率为，
∴乙去漓江的概率为，
∴甲、乙至少有一人去漓江的概率为P＝1﹣（1﹣）（1﹣）＝．
一十二．线性回归方程（共2小题）
19．（2023•广州二模）一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入xi和每件产品成本yi（i＝1，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，．
（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；
（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润＝年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α+βu的斜率和截距的最小乘估计分别为：，．
【答案】（1）y＝10+；
（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
【解答】解：（1）令，则y关于u的线性回归方程为y＝α+βu，
由题意可得＝＝＝200，
＝﹣＝70﹣200×0.3＝10，则y＝10+200u，
所以，y关于x的回归方程为．
（2）由可得，
年利润＝，
当y＝20时，年利润M取得最大值，此时，
所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．
20．（2023•佛山二模）2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资．面对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复．帮扶旅游业发展．围绕补短板、调结构、增后劲扩大有效投资．”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013～2022这十年的国内旅客人数作了初步处理，用xi和yi分别表示第i年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人次），得到下面的表格与散点图．
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
国内游客数y
3262
3611
3990
4432
5000
5542
6006
2879
3246
2530
（1）2020年～2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型；
（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假若2024年∼2027年能延续2013年∼2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内游客人数．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，＝y﹣x，
参考数据：＝31843，．
【答案】（1）；
（2）预测2027年国内游客人数为7825百万人次．
【解答】解：（1），，
02+12+22+32＝28，
∴＝，＝＝4549﹣468×4＝2677，
∴国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回归模型为；
（2）在中，取x＝11，可得．
即预测2027年国内游客人数为7825百万人次．
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