广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2

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广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2
目录
一．数列的求和（共1小题） 1
二．利用导数研究函数的最值（共1小题） 1
三．解三角形（共4小题） 1
四．直线与平面所成的角（共2小题） 2
五．二面角的平面角及求法（共1小题） 3
六．点、线、面间的距离计算（共1小题） 3
七．直线与抛物线的综合（共1小题） 4
八．直线与双曲线的综合（共2小题） 4
九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题） 4


一．数列的求和（共1小题）
1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an+2﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bm为数列{Sn}在区间（am，am+2）中最大的项，求数列{bn}的前n项和Tn．
二．利用导数研究函数的最值（共1小题）
2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．
（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；
（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
三．解三角形（共4小题）
3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA﹣acosB＝b﹣c．
（1）求A；
（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cosB＝，求tan∠BAD．
4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC＝2，设∠CAD＝θ．
（1）当θ＝45°时，求BD的长；
（2）求BD的最大值．

5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝（sinA+cosB）．
（1）若C＝，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．
四．直线与平面所成的角（共2小题）
7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．
（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；
（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．

8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：PB∥平面EAC．
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．

五．二面角的平面角及求法（共1小题）
9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．
（1）证明：A1A＝A1C；
（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．

六．点、线、面间的距离计算（共1小题）
10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝＝2，点M为A1B1的中点．
（1）在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）求点C到平面BC1M的距离．

七．直线与抛物线的综合（共1小题）
11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M（a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N在l1上．
（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；
（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
八．直线与双曲线的综合（共2小题）
12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．
13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．
（1）求双曲线C的方程；
（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．
九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

一般
激动
总计
男性

90
120
女性
25


总计


200
（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20
（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列
（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）
（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）
＝，＝x，＝240，＝365000，xiyi＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，ziyi≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．


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参考答案与试题解析
一．数列的求和（共1小题）
1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn，满足2Sn＝an+2﹣6．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bm为数列{Sn}在区间（am，am+2）中最大的项，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）an＝3•2n﹣1；（2）Tn＝3•2n+2﹣12﹣3n．
【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，则q＞0，
当n＝1时，有2S1＝a3﹣6，
当n＝2时，有2S2＝a4﹣6，
两式相减得，2a2＝a4﹣a3，即2＝q2﹣q，解得q＝2或﹣1（舍负），
又2S1＝a3﹣6，所以2a1＝4a1﹣6，即a1＝3，
所以an＝3•2n﹣1．
（2）由（1）知，Sn＝＝3•（2n﹣1），
所以Sn﹣an＝3•（2n﹣1）﹣3•2n﹣1＝3•（2n﹣1﹣1）≥0，即Sn≥an，当且仅当n＝1时，等号成立，
Sn﹣an+1＝3•（2n﹣1）﹣3•2n＝﹣3＜0，即Sn＜an+1，
所以an≤Sn＜Sn+1＜an+2＜Sn+2，即am≤Sm＜Sm+1＜am+2＜Sm+2，
记bm为数列{Sn}在区间（am，am+2）中最大的项，则bm＝Sm+1＝3•（2m+1﹣1），
所以bn＝3•（2n+1﹣1）＝3•2n+1﹣3，
所以Tn＝3•（22+23+…+2n+1）﹣3n＝3•﹣3n＝3•2n+2﹣12﹣3n．
二．利用导数研究函数的最值（共1小题）
2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．
（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；
（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；
（2）．
【解答】解：（1）函数，x＞0，
求导得：，
当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，则f（x）在上递增，在上递减，
所以当a≥0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的递增区间是，递减区间是．
（2）因为a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，
当0＜x≤1时，∀a＞0，恒成立，因此a＞0，
当x＞1时，⇔2alneax+ln（lneax）≥2alnx+ln（lnx），
令g（x）＝2ax+lnx，原不等式等价于g（lneax）≥g（lnx）恒成立，
而，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此∀x＞1，lneax≥lnx，
即，令，，
当1＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
，因此，
综上得，
所以实数a的取值范围是．
三．解三角形（共4小题）
3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA﹣acosB＝b﹣c．
（1）求A；
（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cosB＝，求tan∠BAD．
【答案】（1）A＝；（2）．
【解答】解：（1）∵bcosA﹣acosB＝b﹣c，
∴根据正弦定理可得sinBcosA﹣sinAcosB＝sinB﹣sinC，
∴sinB（cosA﹣1）＝sinAcosB﹣sin（A+B），
∴sinB（cosA﹣1）＝﹣cosAsinB，又sinB＞0，
∴cosA﹣1＝﹣cosA，∴2cosA＝1，又A∈（0，π），
∴A＝；
（2）设∠BAD＝θ，又A＝，则∠CAD＝﹣θ，
∵D在BC边上，且CD＝2BD，
∴S△ACD＝2S△ABD，设|AD|＝t，
则，
∴＝＝，
又A＝，cosB＝，∴sinB＝，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
即tan∠BAD＝．
4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC＝2，设∠CAD＝θ．
（1）当θ＝45°时，求BD的长；
（2）求BD的最大值．

【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，．
在△ABD中，因为，
由余弦定理得，
因此；
（2）在Rt△ACD中，AD＝ACcosθ＝2cosθ，
在△ABD中，因为，由余弦定理得：

＝
＝，所以，
所以当，即θ＝时，BD最长，BD的最大值为．
5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝（sinA+cosB）．
（1）若C＝，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
【答案】（1）A＝；（2）（1，2）．
【解答】解：（1）∵C＝，又cosA+sinB＝（sinA+cosB），
∴cosA+sin（﹣A）＝sinA+cos（﹣A），
∴cosA+cosA+sinA＝sinA+（cosA+sinA），
∴，
∴tanA＝1，又A∈（0，π），∴A＝；
（2）∵cosA+sinB＝（sinA+cosB），
∴sinA﹣cosA＝sinB﹣cosB，
∴2sin（A﹣）＝2sin（B﹣），
∴A﹣＝B﹣或A﹣+B﹣＝π，
∴A＝B﹣或A+B＝（舍），
又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝，
在△BCD中，由正弦定理可得，
∴，∴|CD|＝，
又sinC＝sin（﹣2B），又△ABC为锐角三角形，
'∴，∴B∈（，），
∴∈（，），
∴sinC＝sin（﹣2B）∈（，1），
∴|CD|＝∈（1，2）．
6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1），即，即，
由正弦定理得，
B∈（0，π），sinB≠0，
故，
，
，
故，
又，
故，
故；
（2），
设，，
根据向量的平行四边形法则：，即，，
又a2＝b2+c2﹣bc＝b2（1﹣x+x2），
故，当且仅当x＝1时等号成立，
故a的最小值为．
四．直线与平面所成的角（共2小题）
7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．
（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；
（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：可取CC1的中点M，连接DM，AM，
又D为BC的中点，可得DM∥BC1，
DM⊄平面BC1E，可得DM∥平面BC1E，
又AD∥平面BC1E，AD∩DM＝D，可得平面ADM∥平面BC1E，
所以AM∥平面BC1E，
又平面BC1E∩平面A1ACC1＝C1E，可得AM∥C1E，即有E为AA1的中点，
因为AB＝AC，D为BC的中点，可得AD⊥BC，
由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，可得B1B⊥AD，
由BC∩B1B＝B，可得AD⊥平面BB1C1C，
取BC1的中点H，连接EH，可得EH∥AD，即有EH⊥平面BB1C1C，
而EH⊂平面BC1E，可得平面BC1E⊥平面BB1C1C；
（2）设BC＝2a，可得AD＝，
三棱锥B1﹣BC1E的体积V＝EH•＝•×3×2a＝a≤（a2+9﹣a2）＝（当且仅当a＝取得等号），
可得当AB⊥AC时，三棱锥B1﹣BC1E的体积取得最大值．
由于A1C1∥AC，可得直线AC与平面BC1E所成角即为直线A1C1与平面BC1E所成角．
设A1到平面BC1E的距离为h，由BE＝C1E＝＝，BC1＝＝3，可得＝×3×＝，
所以＝h•＝h，又＝×3××3×＝，
又＝，解得h＝，
又A1C1＝3，可得直线A1C1与平面BC1E所成角的正弦值为＝，
即有直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为．

8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：PB∥平面EAC．
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．

【答案】（1）证明详见解析，
（2）．
【解答】解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，
因为四边形ABCD是菱形，所以F是BD的中点，
又E是PD的中点，所以EF∥PB，
因为EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，
所以PB∥平面EAC．

（2）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
设PD＝a，则，解得a＝3．
因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以OC⊥AD，且．
以O为坐标原点，以OC，OD，OP所在直线分别为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
则，
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为．

五．二面角的平面角及求法（共1小题）
9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．
（1）证明：A1A＝A1C；
（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．

【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．
【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，

因为AB＝BC，所以OB⊥AC，
因为A1C1⊥A1B，A1C1∥AC，
所以AC⊥A1B，
又OB∩A1B＝B，OB、A1B⊂平面A1BO，
所以AC⊥平面A1BO，
因为A1O⊂平面A1BO，所以AC⊥A1O，
因为O为AC的中点，所以A1A＝A1C．
（2）解：因为AB＝BC＝2，∠ABC＝，所以AC＝A1C1＝2，
又A1C1⊥A1B，BC1＝，所以A1B＝＝，
而OA1＝OB＝1，所以，即OA1⊥OB，
所以OA1，OB，OC两两垂直，
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1（0，0，1），B1（1，，1），C（0，，0），B（1，0，0），
所以＝（1，，0），＝（1，0，1），＝（0，，1），
设平面A1CB1的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝﹣，z＝，所以＝（﹣，1，），
同理可得，平面BCC1B1的法向量＝（，1，﹣），
设平面A1CB1与平面BCC1B1夹角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，
故平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值为．
六．点、线、面间的距离计算（共1小题）
10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝＝2，点M为A1B1的中点．
（1）在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（2）求点C到平面BC1M的距离．

【答案】（1）＝7；
（2）．
【解答】解：（1）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵点M为A1B1的中点．
∴C1M⊥A1B1，又∵A1A⊥平面A1B1C1，∴A1A⊥C1M，
面A1A∩A1B1＝A1，∴C1M⊥平面AA1B1B，
过点A作AQ⊥BM，AQ⊥C1M，且BM∩C1M＝M，
∴AQ⊥平面BC1M，
即点Q为所要找的点，易得：△ABQ∽△BB1M，
∴＝，即有＝，
于是BQ＝，∴B1Q＝B1B﹣BQ＝4﹣＝，∴＝7；
（2）连接C与AB的中点N，易知CN∥平面BC1M，
点C到平面BC1M的距离hC等于点N到平面BC1M的距离hN，
又N为AB的中点，点N到平面BC1M的距离hN等于点A到平面BC1M的距离hA的一半，
而由（1）知，当BQ＝时，AQ⊥平面BC1M，
设AQ∩BM＝H，则hA＝AH＝ABcos∠BAQ＝2×＝，
∴hC＝hN＝hA＝．

七．直线与抛物线的综合（共1小题）
11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M（a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N在l1上．
（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；
（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）λ＝2．
【解答】（1）证明：如图所示：

当a＝1时，M（1，0）恰为抛物线C：y2＝4x的焦点．
由抛物线的定义可得：|AM|＝|AA1|，|BM|＝|BB1|．
取AB的中点D，连接DN，则DN为梯形ABB1A1的中位线，所以．
因为D为AB的中点，所以，所以|DA|＝|DN|．
在△ADN中，由|DA|＝|DN|可得：∠AND＝∠NAD．
因为DN为梯形ABB1A1的中位线，所以DN∥AA1，所以∠AND＝∠A1AN，
所以∠NAD＝∠A1AN，
同理可证：∠NBD＝∠B1BN．
在梯形ABB1A1中，∠A1AB+∠B1BA＝180°，
所以∠A1AN+∠NAD+∠DBN+∠NBB1＝180°，所以，
所以∠ANB＝90°，即AN⊥BN．
（2）解：假设存在实数λ，使得k1+k2＝λk3．
由直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，可设l：x＝my+a．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，消去x可得：y2﹣4my﹣4a＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4a．
则
＝．
而，
所以，
解得：λ＝2．
八．直线与双曲线的综合（共2小题）
12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．
【答案】（1）；
（2）证明详见解析．
【解答】解：（1）|F1F2|＝2，
则c＝，
，
2a＝|AF1|﹣|AF2|＝，解得a＝1，
b2＝c2﹣a2＝2，
故双曲线E的方程为；
（2）证明：设H（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，即①，，
设＝λ，
则（λ≠1），即，
故，④，
将①②代入④，则⑤，
将③代入⑤，则2[（1﹣λ2）2x﹣（1﹣λ2）]＝（1﹣λ2）y，即4x﹣2＝y，
故点H恒在定直线4x﹣y﹣2＝0．
13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．
（1）求双曲线C的方程；
（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．
【答案】（1）；（2）（，6]．
【解答】解：（1）根据题意可得∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由AF＝BF，可得a+c＝，
∴a2+2a＝22﹣a2，解得a＝1，
∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，
∴双曲线C的方程的方程为；
（2）显然直线MN不可能与坐标轴平行，
∴设直线MN的方程为x＝my+n，
联立，可得（3m2﹣1）y2+6mny+3（n2﹣1）＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则根据题意可得：
，且，①，
由k1k2＝﹣2，可得y1y2+2（x1+1）（x2+1）＝0，
即y1y2+2（my1+n+1）（my2+n+1）＝0，
整理得②，
将①代入②中可得3（n2﹣1）（2m2+1）﹣12m2n（n+1）+2（n+1）2（3m2﹣1）＝0，
化简可消去所有的含m的项，从而解得n＝5或n＝﹣1（舍去），
∴直线MN的方程为x﹣my﹣5＝0，∴d＝，
又MN都在双曲线的右支上，∴3m2﹣1＜0，∴，
∴，∴d＝∈（，6]，
∴点A到直线MN的距离d的取值范围为（，6]．
九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：

一般
激动
总计
男性

90
120
女性
25


总计


200
（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关；
（2）分布列见解析，E（X）＝100．
【解答】解：（1）补全的2×2列联表如下：

一般
激动
总计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
总计
55
145
200
零假设为H0：性别与对活动的观感程度相互独立．
根据表中数据，计算得到χ2＝＝＜1＜2.706，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们可以认为H0成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关．
（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，
则P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，
由题意，X可取200，150，100，50，0，
P（X＝200）＝×＝，P（X＝150）＝2××＝，
P（X＝100）＝×+2××＝，P（X＝50）＝2××＝，
P（X＝0）＝×＝，
所以X的分布列为：
X
200
150
100
50
0
P





所以E（X）＝200×+150×+100×+50×+0×＝100．
15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20
（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列
（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）
（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）
＝，＝x，＝240，＝365000，xiyi＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，ziyi≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2
则P（ξ＝0）＝
∴ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P



（2）由散点图可知＝z+a更适合于此模型
依题意，
则＝＝≈﹣0.47≈﹣0.5，
＝＝0.5+0.47×5.35≈3.0，
∴所求的回归方程为＝＝﹣0.5lnx+3.0．
（3）依题意，L（x）＝100（﹣0.5lnx+3.0）x＝﹣50xlnx+300x，
则L′（x）＝﹣50lnx+250
由L′（x）＞0．得lnx＜5，x＜e5，由L′（x）＜0，得lnx＞5，x＞e5
∴L（x）在（0，e5）上递增：在（e5，+∞）上递减
当x＝e5≈150时，L（x）取到最大值
∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大．