广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（基础题）

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广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（基础题）
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•湛江一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2an﹣4n+2．
（1）证明：数列{an+4}为等比数列；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：．
2．（2023•高州市一模）已知公差d≠0的等差数列{an}满足a2+a4＝10，公比为﹣1的等比数列{bn}满足a1+b1＝0，当n为偶数时an+bn＝an+1+bn+1．
（1）求an，bn；
（2）设Sn＝a1b1+a2b2+…+anbn，求使Sn＞100的最小的n的值．
3．（2023•茂名一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，an＞0，+2an＝4Sn．
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．求Tn，并证明：．
二．数列递推式（共1小题）
4．（2023•广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求a1，并证明数列是等差数列；
（2）若，求正整数k的所有取值．
三．利用导数研究函数的极值（共1小题）
5．（2023•广州一模）已知a＞0，函数f（x）＝（1﹣ax）（ex﹣1）．
（1）若a＝1，证明：当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）；
（2）若函数h（x）＝ln（x+1）﹣f（x）存在极小值点x0，证明：f（x0）≥0．
四．解三角形（共4小题）
6．（2023•广东一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B﹣cos2C＝1﹣2sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB+sinC的取值范围．
7．（2023•江门一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，依次组成等差数列．
（1）求的值；
（2）若b＞c，求的取值范围．
8．（2023•广州一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．
（1）证明：sinA+sinC＝2sinB；
（2）若，求△ABC的面积．
9．（2023•高州市一模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝2，∠BAD＝，AC平分∠BAD且AC与BD相交于点E．
（1）若△BCD的面积为2，求BC；
（2）若cos∠BDC＝，求△ABD与△BCD的面积之比．

五．二面角的平面角及求法（共1小题）
10．（2023•深圳一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AB，且PD＝PB，底面ABCD是边长为2的菱形，．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若PA⊥PC，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

六．直线与椭圆的综合（共1小题）
11．（2023•佛山一模）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A、B、C，且＝1．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设过F的直线PQ交椭圆Γ于P、Q两点，若直线PA、QA与直线l：x+4＝0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则|MK|•|KN|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
七．直线与圆锥曲线的综合（共1小题）
12．（2023•江门一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第一象限，直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形OAMB（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）已知T（5，3）是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线TP，TQ的斜率之和为1，tan∠PTQ＝1，求△TPQ的面积．
八．离散型随机变量的期望与方差（共4小题）
13．（2023•湛江一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：

（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2．（用每组的中点代表该组的均值）
（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N（μ，σ2），用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ估计值．
（ⅰ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件个数，求P（X≥1）及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中xi为各区间的中点，pi为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，，，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733．
14．（2023•广州一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响．
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为E（xi）．
①写出E（Xi﹣1）与E（xi）满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若E（xi）＞100，求i的最小值．
15．（2023•梅州一模）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考．
队伍
近10场胜场比
队伍
甲
7：3
乙
甲
5：5
丙
甲
4：6
丁
乙
4：6
丙
乙
5：5
丁
丙
3：7
丁
（1）三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P（X＝3）；
（2）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3、3、0、6，求甲队能小组出线的概率．
16．（2023•深圳一模）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“〇”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“〇”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画〇，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中，满意度＝．
（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“〇”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
九．独立性检验（共1小题）
17．（2023•汕头一模）2023年1月14日，翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦！近年来，汕头多措并举，提升汕头美食品牌，推动潮汕菜产业做大做强，镇邦美食街的建成开街，是汕头美食产业的又一里程碑，同时“舌尖汕头”——汕头美食地图同步上线，以微信小程序的形式面向游客，并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷．
（1）现将游客按年龄段分为老中青三个群体，通过问卷数据分析显示，老年群体中有56%的游客给予好评，中年群体有65%的游客给予好评，青年群体中有70%的游客给予好评，且老中青三个群体游客人数之比为5：6：9，从这三个群体中随机抽取1名游客，求该游客给予好评的概率．
（2）镇邦美食街共有20多家餐饮单位进驻，为维护市场价格秩序，营造公平竞争良好环境，汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会，现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查，统计了100名游客的数据，列出如下2×2列联表：
对镇邦美食街餐饮价格是否满意
明码标价指导会前
明码标价指导会后
合计
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
请根据小概率值α＝0.001的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联．
▲参考公式：，n＝a+b+c+d
P（K2≥xα）＝α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

广东省2023年各地区高考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（11套）-03解答题（基础题）
参考答案与试题解析
一．数列的求和（共3小题）
1．（2023•湛江一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2an﹣4n+2．
（1）证明：数列{an+4}为等比数列；
（2）设数列的前n项和为Tn，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）a1＝S1＝2a1﹣4×1+2，a1＝2，a1+4＝6，
由Sn＝2an﹣4n+2，得Sn﹣1＝2an﹣1﹣4（n﹣1）+2，n≥2，
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2an﹣4n+2）﹣[2an﹣1﹣4（n﹣1）+2]
＝2an﹣2an﹣1﹣4，n≥2，
∴an＝2an﹣1+4，n≥2，
∴，
∴数列{an+4}是以6为首项，2为公比的等比数列；
（2）由（1）可得＝3×2n，∴，
∴，
∴
＝．
2．（2023•高州市一模）已知公差d≠0的等差数列{an}满足a2+a4＝10，公比为﹣1的等比数列{bn}满足a1+b1＝0，当n为偶数时an+bn＝an+1+bn+1．
（1）求an，bn；
（2）设Sn＝a1b1+a2b2+…+anbn，求使Sn＞100的最小的n的值．
【答案】（1）an＝2n﹣1，；
（2）102．
【解答】解：（1）已知公差d≠0的等差数列{an}满足a2+a4＝10，
则2a1+4d＝10，
即a1+2d＝5，①
又公比为﹣1的等比数列{bn}满足a1+b1＝0，a2+b2＝a3+b3，
则a1+d+a1＝a1+2d﹣a1，
即d＝2a1，②
由①②可得a1＝1，d＝2，
即b1＝﹣1，
即an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，；
（2）由（1）可得，
则a2k﹣1b2k﹣1+a2kb2k＝﹣（2k﹣3）+（2k﹣1）＝2，
即当n为偶数时，Sn＝（a1b1+a2b2）+...+（an﹣1bn﹣1+anbn）＝，
当n为奇数时，Sn＝Sn﹣1+anbn＝n﹣1﹣（2n﹣1）＝﹣n，（n≥3），
又当n＝1时，S1＝﹣1满足上式，
即当n为奇数时，Sn＝﹣n，
即，
又Sn＞100，
则n≥102且n为偶数，
即使Sn＞100的最小的n的值为102．
3．（2023•茂名一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，an＞0，+2an＝4Sn．
（1）求数列{an}的通项公式：
（2）若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和．求Tn，并证明：．
【答案】（1）an＝2n；
（2），证明见解析．
【解答】解：（1）∵+2an＝4Sn，
∴当n＝1时，，则，an＞0，则a1＝2，
当n≥2时，，则，
∴，即，
∴（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）＝2（an+an﹣1），
∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝2，
∴数列{an}是2为首项，公差为2的等差数列，
∴an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）证明：由（1）得an＝2n，则，
∴，
∵，∴，∴，
又∵n∈N*，∴随着n的增大而减少，从而Tn随着n的增大而增大，
∴，
综上所述，．
二．数列递推式（共1小题）
4．（2023•广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求a1，并证明数列是等差数列；
（2）若，求正整数k的所有取值．
【答案】（1）a1＝1，证明见解析；
（2）正整数k的所有取值为1，2，3．
【解答】解：（1）证明：∵①，
∴当n＝1时，S1+2＝2a1+1，解得a1＝1，
当n≥2时，Sn﹣1+2n﹣1＝2an﹣1+1②，
由①﹣②得an+2n﹣1＝2an﹣2an﹣1，即an﹣2an﹣1＝2n﹣1，
∴﹣＝，
又，
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）得＝+（n﹣1）＝n，即an＝n•2n﹣1，
∴Sn＝1+2×2+3×22+...+n•2n﹣1③，
2Sn＝2+2×22+3×23+...+n•2n④，
由③﹣④得﹣Sn＝1+2+22+...+2n﹣1﹣n•2n＝﹣n•2n＝（1﹣n）2n﹣1，
∴Sn＝（n﹣1）•2n+1，则S2k＝（2k﹣1）•22k+1，2＝k2•22k﹣1，
∵，∴k2•22k﹣1＜（2k﹣1）•22k+1，即k2﹣4k+2﹣＜0，
令f（x）＝x2﹣4x+2﹣，
∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2在（2，+∞）上单调递增，y＝﹣在（2，+∞）上单调递增，
∴f（x）＝x2﹣4x+2﹣在（2，+∞）上单调递增，
又f（1）＝1﹣4+2﹣＝﹣＜0，f（2）＝4﹣8+2﹣＝﹣＜0，f（3）＝9﹣12+2﹣＝﹣＜0，f（4）＝2﹣＞0，
要使，即f（x）＜0，
故正整数k的所有取值为1，2，3．
三．利用导数研究函数的极值（共1小题）
5．（2023•广州一模）已知a＞0，函数f（x）＝（1﹣ax）（ex﹣1）．
（1）若a＝1，证明：当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）；
（2）若函数h（x）＝ln（x+1）﹣f（x）存在极小值点x0，证明：f（x0）≥0．
【答案】（1）证明详情见解答．
（2）证明详情见解答．
【解答】解：（1）证明：若a＝1，则f（x）＝（1﹣x）（ex﹣1），
设g（x）＝ln（x+1）﹣（1﹣x）（ex﹣1），x＞0，
g′（x）＝﹣[﹣（ex﹣1）+（1﹣x）ex]＝，
设φ（x）＝（x+1）ex﹣1，x＞0，
φ′（x）＝（x+2）ex＞0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
φ（x）＞φ（0）＝0，则g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝0，即f（x）＜ln（x+1），
所以当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）．
（2）证明：函数h（x）＝ln（x+1）﹣（1﹣ax）（ex﹣1），a＞0，定义域为（﹣1，+∞），h（0）＝0，
h′（x）＝+（ax+a﹣1）ex﹣a＝＝，
由（1）知φ（x）＝（x+1）ex﹣1在（﹣1，+∞）上单调递增，φ（0）＝0，
当x∈（﹣1，0）时，φ（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，φ（x）＞0，
则由h′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣1，其中﹣1＞﹣1且﹣1≠0，即a＞0且a≠1，
否则恒有h′（x）≥0，则h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，函数h（x）无极值点，不符合题意，
若﹣1＜﹣1＜0，即a＞1，当x∈（﹣1，﹣1）∪（0，+∞）时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，
当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，则h（x）单调递减，
在（﹣1，0）上单调递减，
所以x＝0是h（x）的极小值点，f（0）＝0，
若﹣1＞0，即0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（0，﹣1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x∈（﹣1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以x＝﹣1是函数h（x）的极小值点，
f（﹣1）＝a（e），
又0＜a＜1，﹣1＞0，
所以f（﹣1）＞0，
综上所述，函数h（x）＝ln（x+1）﹣f（x）存在极小值点x0，f（x0）≥0．
四．解三角形（共4小题）
6．（2023•广东一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A+cos2B﹣cos2C＝1﹣2sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB+sinC的取值范围．
【答案】（1）C＝；（2）．
【解答】解：（1）因为cos2A+cos2B﹣cos2C＝1﹣2sinAsinB，
所以1﹣2sin2A+1﹣2sin2B﹣（1﹣2sin2C）＝1﹣2sinAsinB，
整理得sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，
由正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得，
因为C∈（0，π），所以C＝．
（2）sinA+sinB+sinC＝
＝sinA+sincosA﹣cossinA+
＝
＝，
在△ABC中，因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以sinA+sinB+sinC的取值范围为．
7．（2023•江门一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，依次组成等差数列．
（1）求的值；
（2）若b＞c，求的取值范围．
【答案】（1）2；
（2）．
【解答】解：（1）由条件得：＝＝＝＝，
所以sin2A＝2sinBsinC，
由正弦定理得：a2＝2bc，所以．
（2）b＞c及a2＝2bc，则B＞C，角C一定为锐角，又△ABC为锐角三角形，所以，
由余弦定理得：，所以2bc+c2﹣b2＞0，
即，解得：，
又，所以，
又，
令，则，，
所以f（x）在上递增，又f（1）＝1，，
所以的取值范围是．
8．（2023•广州一模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a．
（1）证明：sinA+sinC＝2sinB；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）∵a，
∴，
∴a（1+cosC）+c（1+cosA）＝3b，
∴由正弦定理可得，sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）＝3sinB，
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA＝3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）＝3sinB，
∵A+B+C＝π，
∴sinA+sinC+sinB＝3sinB，
∴sinA+sinC＝2sinB；
（2）∵sinA+sinC＝2sinB，
∴a+c＝2b，
∵b＝2，
∴a+c＝4①，
∵，
∴bccosA＝3，
∴a2＝b2+c2﹣2bc•cosA，即a2＝4+c2﹣6，
∴c2﹣a2＝2，即（c﹣a）（c+a）＝2，
∴c﹣a＝②，
联立①②解得，a＝，c＝，
∴，
∴sinA＝，
∴S△ABC＝＝＝．
9．（2023•高州市一模）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BD，AB＝2，∠BAD＝，AC平分∠BAD且AC与BD相交于点E．
（1）若△BCD的面积为2，求BC；
（2）若cos∠BDC＝，求△ABD与△BCD的面积之比．

【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）在△ABC中，由，
可得面积为，
因为△BCD的面积为，
所以四边形ABCD的面积为，
因为AC平分∠BAD，
所以四边形ABCD的面积为．
所以，
在△ABC中，由余弦定理得＝；
（2）若，则，
因为AC平分．
所以，
由正弦定理以及诱导公式可得，＝＝，
由，可得AE＝ED，
因为ABD与△BCD有公共边BD，
所以△ABD与△BCD的面积之比为．
五．二面角的平面角及求法（共1小题）
10．（2023•深圳一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AB，且PD＝PB，底面ABCD是边长为2的菱形，．
（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若PA⊥PC，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．

【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：连接DB，交AC于点O，连接PO，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，且O为BD的中点，
∵PB＝PD，∴PO⊥BD，
∵AC，PO⊂平面APC，且AC∩PO＝O，∴BD⊥平面APC，
∵BD⊂平面ABCD，∴平面APC⊥平面ABCD．
（2）取AB中点M，连接DM交AC于点H，连接PH，
∵∠BAD＝，∴△ABD是等边三角形，∴DM⊥AB，
∵PD⊥AB，PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，
∴AB⊥平面PDM，∴AB⊥PH，
由（1）知BD⊥PH，且AB∩BD＝B，∴PH⊥平面ABCD，
∵ABCD是边长为2的菱形，在△ABC中，AH＝＝，AO＝ABcos30°＝，
由AP⊥PC，在△APC中，
PH2＝AH•HC＝＝，∴PH＝，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所成直线为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），H（0，﹣，0），P（0，﹣，），
∴＝（1，，0），＝（1，﹣，0），＝（﹣1，﹣，），
设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），
则，令y＝1，得＝（﹣），
设平面PBC的法向量为＝（a，b，c），
则，取b＝1，得＝（），
设平面PAB与平面PBC的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为．
六．直线与椭圆的综合（共1小题）
11．（2023•佛山一模）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），左、右顶点及上顶点分别记为A、B、C，且＝1．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设过F的直线PQ交椭圆Γ于P、Q两点，若直线PA、QA与直线l：x+4＝0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为K，则|MK|•|KN|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】（1）+＝1；
（2）|MK|•|KN|为定值9．
【解答】解：（1）由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），C（0，b），F（﹣1，0），
所以＝（﹣1，﹣b），＝（a，﹣b），
所以•＝﹣a+b2，
由题意可得﹣a+b2＝1，①
又a2﹣b2＝c2＝1，②
由①②可得a＝2，b2＝3，
所以椭圆的方程为：+＝1；
（2）由（1）可得A（﹣2，0），
当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为：x＝my﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，整理可得：（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0，
可得y1+y2＝，y1y2＝﹣，
由题意K（﹣4，0），
设直线PA的方程为：y＝（x+2），令x＝﹣4，可得y＝，即M（﹣4，），
同理可得N（﹣4，），
所以|MK|•|NK|＝||•||＝＝＝＝＝9为定值；
即|MK|•|KN|为定值9．
当直线PQ的斜率为0时，则由题意可得直线PQ为x轴，则P，Q中有一个点与A重合，所以直线PQ的斜率不为0，
综上所述：|MK|•|KN|为定值9．
七．直线与圆锥曲线的综合（共1小题）
12．（2023•江门一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第一象限，直线MB与直线y＝﹣x垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形OAMB（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）已知T（5，3）是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线TP，TQ的斜率之和为1，tan∠PTQ＝1，求△TPQ的面积．
【答案】（1）x2﹣y2＝16（x≥4）；
（2）．
【解答】解：（1）设动点M（x0，y0），由题意知M只能在直线y＝x与直线y＝﹣x所夹的范围内活动.，，
动点M（x0，y0）在y＝x右侧，有x0﹣y0＞0，同理有x0+y0＞0，
∵四边形OAMB的面积为8，∴，即，
所以所求轨迹C方程为x2﹣y2＝16（x≥4）；
（2）如图，设直线TP的倾斜角为α，斜率为k，直线TQ倾斜角为β，则TQ斜率为1﹣k，

则tanα＝k，tanβ＝1﹣k，T（5，3）在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则k＞1或k＜﹣1，同时1﹣k＞1或1﹣k＜﹣1，解得k＞2或k＜﹣1，
，解得k＝3或k＝0（舍去），
k＝3时，直线TP的方程为y＝3x﹣12，
联立，消y得：x2﹣9x+20＝0，则x＝4或x＝5，得P（4，0），
直线TQ的方程为y＝﹣2x+13，
联立，消y得：3x2﹣52x+185＝0，则或x＝5，
得，，
点Q到直线TP的距离，．
八．离散型随机变量的期望与方差（共4小题）
13．（2023•湛江一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：

（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差s2．（用每组的中点代表该组的均值）
（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布N（μ，σ2），用直方图的平均数估计值作为μ的估计值，用直方图的标准差估计值s作为σ估计值．
（ⅰ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：
0.8
1.2
0.95
1.01
1.23
1.12
1.33
0.97
1.21
0.83
利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．
（ⅱ）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件个数，求P（X≥1）及X的数学期望．
参考公式：直方图的方差，其中xi为各区间的中点，pi为各组的频率．
参考数据：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973，，，0.99739≈0.9760，0.997310≈0.9733．
【答案】（1）1；0.011；
（2）（i）需停止生产并检查设备；（ii）P（X≥1）≈0.0267，0.027．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得．s2＝（0.8﹣1）2×0.1+（0.9﹣1）2×0.2+（1﹣1）2×0.35+（1.1﹣1）2×0.3+（1.2﹣1）2×0.05＝0.011；
（2）（i）由（1）可知，，
所以，，
显然抽查中的零件指标1.33＞1.315，故需停止生产并检查设备；
（ii）抽测一个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9973，
所以抽测一个零件关键指标在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9973＝0.0027，
故X～B（10，0.0027），所以P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣0.997310≈1﹣0.9733＝0.0267，
X的数学期望E（X）＝10×0.0027＝0.027．
14．（2023•广州一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响．
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为E（xi）．
①写出E（Xi﹣1）与E（xi）满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若E（xi）＞100，求i的最小值．
【答案】（1）；
（2）①，且；②5．
【解答】解：（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件A是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率．
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，i∈N*，i≥2，
甲第i﹣1次答题所得分数Xi﹣1的数学期望为E（xi﹣1），
因此第i次答对题所得分数为2E（xi﹣1），答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数Xi的数学期望为+，
所以E（Xi﹣1）与E（xi）满足的等量关系式是：；
②由①知，，当i∈N*，i≥2时，，而，
因此数列{E（xi）+5}以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数imin＝5，
所以i的最小值是5．
15．（2023•梅州一模）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分．三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线．假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考．
队伍
近10场胜场比
队伍
甲
7：3
乙
甲
5：5
丙
甲
4：6
丁
乙
4：6
丙
乙
5：5
丁
丙
3：7
丁
（1）三轮比赛结束后甲的积分记为X，求P（X＝3）；
（2）若前二轮比赛结束后，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3、3、0、6，求甲队能小组出线的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设甲的第i场比赛获胜记为Ai（i＝1，2，3），
根据表格可知甲对乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为，
则有＝＝；
（2）分以下三种情况：
（i）若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙胜丙，
则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、6、0、6，
此时甲、乙、丁三支球队积分相同，要抽签决定排名，甲抽中前两名的概率为，
所以这种情况下，甲出线的概率为；
（ii）若第三轮甲胜丁，另一场比赛乙输丙，
则甲、乙、丙、丁积分变为6、3、3、6，
此时甲一定出线，甲出线的概率为；
（iii）若第三轮甲输丁，另一场比赛乙输丙．
则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9，
此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名，甲抽到第二名的概率为，
所以这种情况下，甲出线的概率为．
综上，甲出线的概率为．
16．（2023•深圳一模）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“〇”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“〇”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画〇，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中，满意度＝．
（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
（2）若该企业的所有调查问卷中，画“〇”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
【答案】（1）4；
（2）40%．
【解答】解：（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，
由题意可得：该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数X～，
所以X的数学期望；
（2）记事件A为“按方式I回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画〇”．
由（1）知．
∵，
由全概率公式P（C）＝P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B），则，解得，
故根据调査问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．
九．独立性检验（共1小题）
17．（2023•汕头一模）2023年1月14日，翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦！近年来，汕头多措并举，提升汕头美食品牌，推动潮汕菜产业做大做强，镇邦美食街的建成开街，是汕头美食产业的又一里程碑，同时“舌尖汕头”——汕头美食地图同步上线，以微信小程序的形式面向游客，并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷．
（1）现将游客按年龄段分为老中青三个群体，通过问卷数据分析显示，老年群体中有56%的游客给予好评，中年群体有65%的游客给予好评，青年群体中有70%的游客给予好评，且老中青三个群体游客人数之比为5：6：9，从这三个群体中随机抽取1名游客，求该游客给予好评的概率．
（2）镇邦美食街共有20多家餐饮单位进驻，为维护市场价格秩序，营造公平竞争良好环境，汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会，现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查，统计了100名游客的数据，列出如下2×2列联表：
对镇邦美食街餐饮价格是否满意
明码标价指导会前
明码标价指导会后
合计
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
请根据小概率值α＝0.001的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联．
▲参考公式：，n＝a+b+c+d
P（K2≥xα）＝α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】（1）0.65；
（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会有关联．
【解答】解：（1）由题意可知，该游客给予好评的概率为＝0.65；
（2）∵K2＝11.765＞10.828，
∴根据小概率值α＝0.001的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会有关联．