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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）精练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）精练，共12页。试卷主要包含了某市出租车收费标准如下等内容，欢迎下载使用。
§3.4 函数的应用(一)
学习目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识点 常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为__________________．
答案 y＝20－x,0
所以y＝20－x,0
答案 9
解析 设矩形的一边长为x m，
则与这条边垂直的边长为 m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案 60
解析 设涨价x元(0≤x≤25)，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
一、一次函数模型的应用
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
解 (1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；
当x>90时，y1
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，
则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数的k＝1.6>0，
所以y是一个单调递增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元．
二、二次函数与幂函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，
得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600
＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解 (1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，
将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，
解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
三、分段函数模型的应用
例3 经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝
(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；
(2)求该商场日收益的最小值(千元)．
解 (1)由题意w(t)＝f(t)·g(t)
＝
＝
(2)当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500；
当7
所以，该商场日收益的最小值为千元．
(学生)
反思感悟 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求当t＝5小时时汽车离A地的距离．
解 (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；
当2.5
所求函数的解析式为x＝
(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即当t＝5小时时汽车离A地75千米．
1．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( )
A．15元 B．13元
C．11元 D．10元
答案 B
解析 设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，
由x>0，Q＝100－5x≥0，得0
2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
答案 C
解析 设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B．4 cm2 C．3cm2 D．2cm2
答案 D
解析 设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2，0
答案 1 200 1 650
解析 当x∈[0,400]时，设y＝k1x，函数图象过点(400,1 500)，代入得1 500＝400k1，解得k1＝；
当x∈[400,600]时，设y＝k2x＋b，函数图象过点(400，1 500)，(600,1 750)，
代入得解得
所以解析式为y＝
将x＝320,520分别代入，得到y＝1 200,1 650.
5．李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为________元．
答案 33 000
解析 依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这家销售了(110－x)辆电动车，总利润S＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋
33 000(0≤x≤110)，
所以当x＝60时，S取得最大值，且Smax＝33 000.
1．知识清单：
实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．
2．方法归纳：配方法、判别式法、换元法．
3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．
1．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的有( )
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
答案 C
解析 由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确．“生活费收入指数”在2010～2011年最陡．故②正确，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．
2．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，绿灯时长超过5 s，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
答案 D
解析 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，
则s＝t2，
车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25
＝(t－6)2＋7，
当t＝6时，d取得最小值7.
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
答案 C
解析 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
答案 B
解析 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
又m≥0，所以0
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－
＝x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
7．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5 v2－0.175 v＋4.27，则车速为________ km/h时，汽车的耗油量最少．
答案 35
解析 Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27
＝0.002 5(v2－70v)＋4.27
＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27
＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.
故v＝35 km/h时，耗油量最少．
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
答案 14.59 9
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
则y＝
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
9．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
解 设工厂生产x件产品时，
依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，
则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
因为y1
因为y1>y2，故应选择第1个方案处理污水．
10．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解 (1)设购买人数为n，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，
∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])，
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是( )
A．① B．①② C．①③ D．①②③
答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确．
12．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
答案 C
解析 根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．
答案 15,12
解析 由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
14．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元．
答案 11.5
解析 根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0
15．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15 C．25 D．50
答案 B
解析 设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，
当x＝30时，S取最大值12 000.
又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x＝60，
当x＝60时，S取最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
§3.4 函数的应用(一)
学习目标 初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题．
知识点 常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)
1．一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为__________________．
答案 y＝20－x,0
所以y＝20－x,0
答案 9
解析 设矩形的一边长为x m，
则与这条边垂直的边长为 m，
所以矩形面积S＝x·＝－x2＋6x(0
3．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元．
答案 60
解析 设涨价x元(0≤x≤25)，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．
一、一次函数模型的应用
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
解 (1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；
当x>90时，y1
反思感悟 一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．
跟踪训练1 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．
解 设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；
每月所获利润是y元，
则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；
每月退回报社报纸共10×(x－250)份．
依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．
即y＝0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500)，
化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，
因为此一次函数的k＝1.6>0，
所以y是一个单调递增函数，再由250≤x≤400知，
当x＝400时，y取得最大值，
此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元)．
所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元．
二、二次函数与幂函数模型的应用
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解 (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，
得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9 600
＝－3(x－60)2＋1 200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元．
反思感悟 利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
跟踪训练2 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．
(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？
解 (1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，
将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，
解得a＝.所以y＝(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．
(2)设最大利润为Q(x)，
则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－
＝－(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．
所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
三、分段函数模型的应用
例3 经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝
(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；
(2)求该商场日收益的最小值(千元)．
解 (1)由题意w(t)＝f(t)·g(t)
＝
＝
(2)当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t＝1处取到，w(1)＝500；
当7
所以，该商场日收益的最小值为千元．
(学生)
反思感悟 应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
跟踪训练3 已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地．
(1)把汽车离A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数；
(2)求当t＝5小时时汽车离A地的距离．
解 (1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x＝60t；
当2.5
所求函数的解析式为x＝
(2)当t＝5时，x＝－50×5＋325＝75，
即当t＝5小时时汽车离A地75千米．
1．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为( )
A．15元 B．13元
C．11元 D．10元
答案 B
解析 设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，
由x>0，Q＝100－5x≥0，得0
2．一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000 吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
答案 C
解析 设y＝kx＋b，则1 000＝800k＋b，且2 000＝700k＋b，解得k＝－10，b＝9 000，则y＝－10x＋9 000.解400＝－10x＋9 000，得x＝860(元)．
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A.cm2 B．4 cm2 C．3cm2 D．2cm2
答案 D
解析 设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2，0
答案 1 200 1 650
解析 当x∈[0,400]时，设y＝k1x，函数图象过点(400,1 500)，代入得1 500＝400k1，解得k1＝；
当x∈[400,600]时，设y＝k2x＋b，函数图象过点(400，1 500)，(600,1 750)，
代入得解得
所以解析式为y＝
将x＝320,520分别代入，得到y＝1 200,1 650.
5．李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000 (其中x为销售辆数)，若某月两家连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为________元．
答案 33 000
解析 依题意，可设甲这一家销售了x辆电动车，则乙这家销售了(110－x)辆电动车，总利润S＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋
33 000(0≤x≤110)，
所以当x＝60时，S取得最大值，且Smax＝33 000.
1．知识清单：
实际问题中四种函数模型：一次函数模型，二次函数模型，幂函数模型，分段函数模型．
2．方法归纳：配方法、判别式法、换元法．
3．常见误区：函数的实际应用问题易忽视函数的定义域．
1．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的有( )
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
答案 C
解析 由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确．“生活费收入指数”在2010～2011年最陡．故②正确，“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．
2．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，绿灯时长超过5 s，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么( )
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
答案 D
解析 设汽车经过t秒行驶的路程为s米，
则s＝t2，
车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25
＝(t－6)2＋7，
当t＝6时，d取得最小值7.
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40 C．25 D．130
答案 C
解析 令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意，
故拟录用人数为25.
4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )
A．30元 B．42元
C．54元 D．越高越好
答案 B
解析 设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．
又m≥0，所以0
上式配方得y＝－3(x－42)2＋432.所以当x＝42时，利润最大．
5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
答案 A
解析 设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－
＝x2＋(a－5)x－1 000(x>0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
答案 125
解析 由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
7．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5 v2－0.175 v＋4.27，则车速为________ km/h时，汽车的耗油量最少．
答案 35
解析 Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27
＝0.002 5(v2－70v)＋4.27
＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27
＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.
故v＝35 km/h时，耗油量最少．
8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．
答案 14.59 9
解析 设出租车行驶x千米时，付费y元，
则y＝
当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．
由y＝22.6，知x>8，
由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，
解得x＝9.
9．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．
方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；
方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．
(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；
(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？
解 设工厂生产x件产品时，
依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，
则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000，
y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.
(1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000.
因为y1
因为y1>y2，故应选择第1个方案处理污水．
10．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：
(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
解 (1)设购买人数为n，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，
∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)．
∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])，
∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
(2)由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，
x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．
11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
则一定正确的是( )
A．① B．①② C．①③ D．①②③
答案 A
解析 由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确．
12．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( )
答案 C
解析 根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．
13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．
答案 15,12
解析 由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180(8≤y<24)．
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
14．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元．
答案 11.5
解析 根据表中数据，销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，
日均销售量为480－40(x－1)＝520－40x(0
15．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A．12 B．15 C．25 D．50
答案 B
解析 设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.
16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解 (1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，
则y＝
即y＝
(2)设旅行社获利S元，
则S＝
即S＝
因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上单调递增，
当x＝30时，S取最大值12 000.
又S＝－10(x－60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x＝60，
当x＝60时，S取最大值21 000.
故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．
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