重庆市巴蜀中学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

高2024届高二（下）期末考试

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。

3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存。满分150分，考试时间120分钟

一、单选题：本题共8小题，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（        ）

A．    B．    C．    D．

2．函数在点处的切线方程为（        ）

A．   B．   C．   D．

3．为等差数列的前n项和，，，则该等差数列的公差（        ）

A．1     B．2     C．3     D．4

4．已知函数，则的解析式为（        ）

A．  B．  C．  D．

5．已知a，且，命题p：，命题q：，则命题p是命题q成立的（        ）条件

A．充分不必要   B．必要不充分   C．充分必要    D．既不充分也不必要

6．函数的定义域为R，且，对任意的，有，则不等式的解集为（        ）

A．    B．    C．    D．

7．已知有甲乙两个盒子．盒中装有大小．形状完全相同的小球。甲盒中装有3个红球和2个白球，乙盒中装有2个红球、1个白球。现在从甲盒中摸出2个小球放入乙盒中，再从乙盒中摸出2个小球，则这2个小球为红球的概率为（        ）

A．     B．     C．     D．

8．若时，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（        ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）

9．已知二项式（）的展开式中，的系数为28，下列说法正确的有（        ）

A．          B．的系数为70

C．展开式中没有常数项       D．展开式中二项式系数最大的项为第4项

10．近年来，随着人工智能技术的不断发展，各种AI应用也不断普及，ChatGPT就是一款具有人类沟通能力的智能AI工具。随着人工智能的加入，各类传媒、影视、游戏行业迎来了高速的发展，AI技术降低了这些行业的人力成本，提高了效率。下图是某公司近年来在人力成本上的投入资金变化情况的散点图，其中x为年份代号（第1年-第7年），y（单位：万元）为人力成本的投入资金，小明选用2个模型来拟合，模型一：，已知，其中决定系数，模型二：，其中决定系数

则下列说法正确的有（        ）

A．

B．模型一中解释变量增加1个单位，响应变量则大致减少5个单位

C．模型一中第7年的残差为5

D．模型一的拟合效果更好

11．已知过点的直线l交抛物线C：于A，B两点，设，，P点是线段AB的中点，则下列说法正确的有（        ）

A．为定值－8        B．的最小值为4

C．的最小值为     D．P点的轨迹方程为

12．“紫藤挂穗，蓝楹花开，黄桷新绿，菩提葱蔚”，巴蜀中学即将迎来90周年校庆，学校设计了3个吉样物“诚诚”“盈盈”“嘉嘉”。现在袋中有6个形状．大小完全相同的小球，每一个小球上写有一个字（其中有2个小球写着“诚”，2个小球写着“盈”，2个小球写着“嘉”），现在有四位同学，平均分成甲、乙两队，进行比赛活动，规则如下：每轮参与活动的队伍每位同学抽取1次小球，每次抽取后小球放回袋中，若两次抽取的球上的字组成了吉样物名称（如：诚诚），则该队得1分，并且该队继续新一轮比赛活动，否则，该队得本轮得0分，由对方组接着抽取，活动开始时由甲队先抽取，若第n轮由甲队抽取的概率为，n轮结束后，甲队得分为，则下列说法正确的有（        ）

A．    B． C．   D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知函数的定义域为，则的定义域为            

14．不等式的解集为            

15．已知椭圆，过左焦点作直线l在x轴上方交椭圆于点A，过右焦点作直线交直线l于点B（B在椭圆外），若为正三角形，则椭圆的离心率为            

16．对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为            

四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分。解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知正项数列的前n项和为，满足：

（1）计算并求数列的通项公式

（2）令，求的前n项和

18．“五一”假期，各地掀起了旅游的热浪，“淄博烧烤”，“洪崖洞宠粉”等等冲上热搜。现调查性别因素是否对市内外旅游的选择有影响，在某旅行团抽取了五一期间出行旅游的100名游客，男性50人，女性50人，其中男性有40%选择在重庆市内旅游，在重庆市外旅游的游客中，男女的比例为2∶1，完成下列的2×2列联表，并回答相关问题。

（1）依据小概率的独立性检验，能否认为性别对重庆市内外旅游的选择有关联？

（2）从选择重庆市外旅游的游客中按性别进行分层抽样，抽取了6名游客，再从这6名游客中抽取3名游客，记X为其中女性游客的人数，求。

附：参考公式及数据：，其中．

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，，平面PAB⊥平面ABCD，，，．

（1）求证：平面PBD⊥平面PAB

（2）若AP与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，求锐二面角B-AD-E的余弦值。

20．某商店搞促销活动，消费满1000元即可选择下列某一种活动赢得现金。

活动一：掷三颗均匀骰子，若三颗骰子点数一样，则获得200元：若三颗骰子有且仅有2颗骰子点数一样，则获得100元；若三颗骰子均不一样则获得50元，用X表示该消费者在该活动中获得的奖金数。

活动二：消费者先选择1至6的某一个整数，然后掷三颗均匀骰子，若所选择的数在骰子上出现了i次，则赢得元（，1，2，3），用Y表示该消费者在该活动中获得的奖金数。

（1）求X的分布列及数学期望

（2）求Y的分布列及数学期望，为了能获得更高的奖金，从概率学的角度来看应该选择哪个活动？

21．已知双曲线C：（a，）的渐近线方程为，其左右焦点为，，点D为双曲线上一点，且的重心G点坐标为

（1）求该双曲线的标准方程

（2）过x轴上一动点作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A＇（A＇与B不重合），连接BA＇并延长交x轴于点Q，问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由。

22．（1）不等式对任意的恒成立，求m的取值范围。

（2）当，求证：（参考数据：，）