2022-2023学年福建省漳州市诏安县祺才学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市诏安县祺才学校九年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “石瓢”最早称为“石镜”，后来顾景舟引用“弱水三千，只取一瓢”，改称“石镜”为“石瓢”，从此相沿均称“石瓢”，如图是一盏做工精湛的“景舟石瓢”，其俯视图是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  原子是化学变化中的最小微粒，按照国际单位制的规定，质量单位是“”例如：个氧原子的质量是如果小数用科学记数法表示为，那么这个小数中的“”有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  垃圾分类可以把有用的垃圾回收再利用，减少了对环境的危害随机将一节废旧的电池有害垃圾和矿泉水空瓶可回收垃圾分别放入不同的垃圾桶，则投放正确的概率为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表下列说法不正确的是(    )

A. 这个班有名学生
B.
C. 这些体温的众数是
D. 这些体温的中位数是

7.  九章算术中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数几何？”大意为：若干人共同出资购买某物品，若每人出八钱，则多了三钱；若每人出七钱，则少了四钱，问共有几人？设人数共有人，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，，是上的两点，连结，，，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B. 与的函数关系式是
C. 当时，
D. 当时，的取值范围是

10.  二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______．

12.  如图，是一款手推车的平面示意图，其中，，则 ______ 度

13.  在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的概率稳定在，则口袋中白球的有______ 个

14.  将字母“”，“”按照所示的规律摆放，依次下去，则第个图形中“”的个数是        ．

 

15.  如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则______．

16.  如图，与中，，，，交于给出下列结论：
；
；
∽；

其中正确的结论是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且求证：．

20.  本小题分
一张圆桌旁设有个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙人等可能地坐到、、中的个座位上．
甲坐在号座位的概率是______ ；
用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．

21.  本小题分
学校需购买测温枪与消毒液，若购买个测温枪与瓶消毒液需元，若购买个测温枪与瓶消毒液需元．
求测温枪和消毒液的单价；
学校计划购买两种物资共件，并要求测温枪的数量不少于消毒液数量的，设计最省钱的购买方案，并说明理由．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接．
尺规作图：在第一象限作点，使得，；不写作法，保留作图痕迹，在图上标注点
求线段的解析式；
若反比例函数的图象经过点点是否在反比例函数的函数图象上？说明理由．

23.  本小题分
如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点．
求证：是的切线；
若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图，正方形中，点在边上不与端点，重合，点关于直线的对称点为点，连接，设．
求的大小；
过点作，垂足为，连接．
求证：；
连接，若，求的值．

25.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，顶点为．
求抛物线的解析式及顶点的坐标；
若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数可以表示成．
故选：．
根据相反数的定义写出即可．
本题考查了对相反数的应用，注意：只有符号不同的两个数叫相反数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：．
根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，正确，符合题意；
B.，不是同类项，不能合并，故B选项错误，不符合题意；
C.，故C选项错误，不符合题意；
D.，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方，整式的混合运算，同底数幂的除法运算法则即可求解．
本题主要考查了整式的运算，同底数幂的运算，幂的乘方的综合，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：小数用科学记数法表示为，则这个小数中的“”有个．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用，，，表示，
设两袋不同垃圾为、，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有个，
两件不同垃圾随机投入进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为，
故选：．
可回收垃圾、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用，，，表示，设两件不同垃圾为、，画出树状图，由概率公式即可得出答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．此题难度不大，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格，注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：由扇形统计图可知，体温为的学生人数所占百分比为，
故这个班有学生名，
所以，
故选项A、不符合题意；
这些体温的众数是，故选项C符合题意；
这些体温的中位数是，故选项D不符合题意．
故选：．
根据扇形统计图可知：所在扇形圆心角为，由此可得在总体中所占的百分比；再结合的频数，就可求出学生总数，进而可求出的值；然后根据众数和中位数的定义就可解决问题．
本题考查表格与扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是利用圆心角度数与项目所占百分比的关系求总人数．
 

7.【答案】 

【解析】解：设共有人，
根据题意得：，
故选：．
根据该物品的价格不变即可得出关于的一元一次方程．
本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，，
，
，
故选：．
根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设与的函数关系式是，
该图象经过点，
，
，
与的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，，
反比例函数随的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，不符合题意；
时，，当时，，
当时，的取值范围是，故D符合题意；
故选：．
由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线开口向上，
，
，
若，则，，选项A错误．
若，则，，选项B错误．
若，则，
，选项C正确．
若，则，，选项D错误．
故选：．
先由抛物线解析式求出抛物线对称轴，再由可判断，进而求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，
关于原点对称的点是．
故答案为：．
根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数．
本题考查点的对称，解决的关键是对知识点的正确记忆，同时能够根据点的坐标符号确定点所在的象限．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设袋中白球的个数为，根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以口袋中白球可能有个，
故答案为：．
由摸到红球的频率稳定在附近，估计摸到红球的概率为，设袋中白球的个数为，通过列方程进而求出白球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，
第个图中的个数为，

第个图中的个数为，
故答案为：．
列举每个图形中的个数，找到规律即可得出答案．
本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多个是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：在正六边形内，正五边形中，，，
．
故答案为：．
分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．
先根据已知条件证明≌，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
【解答】
解：在与中
，，
≌，
，
；
由，，
可知：∽；
由≌，可得，
，
由∽，可得，
．
无法证明．
综上可知：正确．
故答案为：．  

17.【答案】解：

． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，
在和中，
，
和≌，
，
，
． 

【解析】根据证明和≌，即可证得．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
 

20.【答案】解：；
画树状图如图：

共有种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有种，
甲与乙相邻而坐的概率为． 

【解析】解：丙坐了一张座位，
甲坐在号座位的概率是；
故答案为：；
见答案．

直接根据概率公式计算即可；
画树状图，共有种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设测温枪的单价为元，消毒液的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：测温枪的单价为元，消毒液的单价为元．
最省钱的购买方案为：购买测温枪个，消毒液瓶，理由如下：
设购买测温枪个，则购买消毒液瓶，
依题意得：，
解得：．
设学校购买两种物资共需元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时，
最省钱的购买方案为：购买测温枪个，消毒液瓶． 

【解析】设测温枪的单价为元，消毒液的单价为元，根据“若购买个测温枪与瓶消毒液需元，若购买个测温枪与瓶消毒液需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
最省钱的购买方案为：购买测温枪个，消毒液瓶，设购买测温枪个，则购买消毒液瓶，根据购买测温枪的数量不少于消毒液数量的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校购买两种物资共需元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】解：过点作圆弧交和的延长线于点、，分别以点、为圆心大于的长度为半径作画弧交于点，
连接，以点为圆心长度为半径作弧交于点，则，；


如上图，过点作直线交轴于点，交过点与轴的平行线于点，
，则，
，
，
，，
≌，
，，
点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：；

即点不在反比例函数上，理由：
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
即反比例函数表达式为：，
当时，，即点不在反比例函数上． 

【解析】过点作圆弧交和的延长线于点、，分别以点、为圆心大于的长度为半径作画弧交于点，连接，以点为圆心长度为半径作弧交于点，即可求解；
证明≌，得到点，进而求解；
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，即反比例函数表达式为：，进而求解．
本题考查的是反比例函数综合应用，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数基本知识等，有一定的综合性，难度适中．
 

23.【答案】证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
解：如图，连接，，，
点是劣弧的中点，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
． 

【解析】利用角平分线和等腰三角形的性质可得，从而得出，即可证明结论；
连接，，，利用圆周角定理可得，则，将阴影部分面积转化为扇形的面积．
本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，将阴影部分面积转化为扇形的面积是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，连接，

点关于直线的对称点为点，
，，
，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
；
证明：如图，连接，，

四边形是正方形，
，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
由知，
，
；
解：如图，连接，，

四边形是正方形，
，，
由知：，
，，
，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
点关于直线的对称点为点，
，
，
，，
，，
在中，，
，
，
． 

【解析】由轴对称的性质可得，，可求，由等腰三角形的性质可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，由等腰三角形的性质可得，可得，可证；
先证明和均为等腰直角三角形，可得：，，再证明≌，可得，再由对称可得，进而推出，利用勾股定理可得，再利用三角函数定义即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，圆的有关知识，等腰直角三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：将、代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
过点作轴，交于点，如图所示：

设，直线的解析式为，
由可知：，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
轴，
，

，
当时，的值最大，
．

过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，如图：

，
，是满足条件的点，
，、关于直线对称，
，
，
，，
，
而，，
∽，
，即，
，
，
又，，
∽，
，即，
，，
，
，
、关于对称，
是的中点，，
直线与抛物线交点是满足条件的点，
而，
，
设直线为，
则，
解得，
直线为，
由得舍去或，
，
综上所述，若，点的坐标为或 

【解析】将、代入，用待定系数法即可得抛物线的解析式为，化为顶点式可得顶点坐标；
过点作轴，交于点，设，直线的解析式为，然后求出直线的解析式为：，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解；
过作交抛物线于，作关于的对称点，连接交于，过作轴于，连接并延长交抛物线于，由，知，是满足条件的点，即得，根据∽，可求，，根据∽，可求，，即得，而、关于对称，故是的中点，，直线与抛物线交点是满足条件的点，可得，直线为，由即得
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、对称变换等知识，解题的关键是求出关于的对称点的坐标．