2022-2023学年广东省东莞市樟木头中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞市樟木头中学八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各组数是勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  下列各等式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在▱中，一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  菱形的两条对角线长分别为，，则它的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  正方形具有而矩形不一定具有的性质是(    )

A. 四个角都为直角 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

8.  如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，于，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形中，、、、分别为边、、、的中点，若，，则图中阴影部分四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，矩形中，，点是上的一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点若是的中点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  计算的结果等于______ ．

12.  三角形的三边，，满足，则这个三角形是______ 三角形．

13.  如果两个最简二次根式与能合并，那么______．

14.  如图，在平行四边形中，的平分线交于，若，则的大小是        ．

15.  如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处，旗杆折断之前的高为______ ．

16.  如图，圆柱的高为，底面周长为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是______．

17.  如图，正方形的边长为，点、分别为、上动点、均不与端点重合，且，是对角线上的一个动点，则的最小值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

18.  已知，，求下列各式的值．

．

四、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
如图，在中，于点，若，，，求的面积．

21.  本小题分
已知点、分别为平行四边形的边、的中点，求证：四边形为平行四边形．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的度数；
求四边形的面积．

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．

24.  本小题分
在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．
如图，若点落在对角线上，且，则的度数为______
如图，若点落在边上，且，，求的长．
如图，若点是的中点，的延长线交于点，且，，求的长．

 

25.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．
请用含有的式子填空：______，______，______；
是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的值；如果不存在，说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、、不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
B、、不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
C、是勾股数，因为，此选项符合题意；
D、不是勾股数，因为，此选项不合题意；
故选：．
三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则，二次根式的乘法的法则对各项进行求解即可．
本题主要考查二次根式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．根据菱形的性质即可求出答案．
【解答】
解：由于菱形的两条对角线的长为和，
菱形的边长为：，
菱形的周长为：，
故选C．  

7.【答案】 

【解析】解：正方形、矩形的四个角都是直角，
正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，
故选：．
利用正方形、矩形的性质即可判断．
本题考查正方形、矩形的性质，记住正方形和矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得：，
，
，
，
．
故选：．
根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形为矩形，
，，，
、、、分别为边、、、的中点，
，，，
，
故选：．
连接、，根据矩形的性质得到，求出，，，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是中点四边形，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：矩形中，是的中点，，
，
在和中，
，
≌，
，，
设，
则，
在中，，
，
垂直平分，
，
，
解得，
，
．
故选：．
证明≌，根据全等三角形对应边相等可得，，设，表示出，再利用勾股定理列式求，然后表示出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，然后列出方程求出的值，从而求出，再根据矩形的对边相等可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

12.【答案】直角 

【解析】解：，即，所以，所以可得三角形为直角三角形．
化简等式，可得，由勾股定理逆定理，进而可得其为直角三角形．
熟练掌握勾股定理逆定理的运用，是基础知识比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：两个最简二次根式与能合并，
两个最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程，解此方程即可求得答案．
本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
的平分线交于，，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义和邻补角关系得出，再由三角形内角和定理即可得出的度数．
本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出是解决问题的关键．
 

15.【答案】米 

【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为米，旗杆离地面米折断，且旗杆与地面是垂直的，
折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
旗杆折断之前高度为米．
故答案为：米．
根据勾股定理，计算树的折断部分是米，则折断前树的高度是米．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，
则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，
，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程．
 

17.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接、，过作于点，当、、在同一直线上时，，此时最小，即即为所求．

四边形是正方形，
，
点在边上．
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
作点关于的对称点，则，，连接交于点，过作的垂线交于点，则的长即为所求，由即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长．
本题考查的是最短路线问题，矩形的判定与性质，勾股定理及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：，，
；
，，
，，
则． 

【解析】所求式子利用平方差公式分解后，将与的值代入计算即可求出值；
求出与的值，所求式子利用完全平方公式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，

在中，，
在中，，
，，，
，，
，
． 

【解析】由于，为和的公共边，在这两个三角形中利用勾股定理可求出和的长，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了勾股定理的运用，根据勾股定理求得的长是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别为平行四边形的边、的中点，
，，
，，
四边形为平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再由中点的定义得，，则，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：连接，

，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
由题意得：
四边形的面积的面积的面积


，
四边形的面积为． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：；
四边形是长方形，
，，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为；
连接，如图所示：










点是的中点，
，
由折叠的性质得：，，，
，
在和中，，
≌，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为． 

【解析】解：四边形是长方形，
，
，
，
由折叠的性质得：，
；
故答案为：；
见答案．
由长方形的性质和已知得出，由折叠的性质得，得出即可；
由长方形的性质得出，，，由折叠的性质得，，由勾股定理得出，得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
连接，证明≌，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和正确利用勾股定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：；；；
存在，理由如下：
由知，，
，，
，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
即，
解得，
则存在，使得平行四边形成为菱形；
当为直角三角形时，有三种可能：
当时，此时四边形为矩形，
在中，，
，
，即，
解得，
当时，由知，
，
，
，
，
即，
解得，
当时，此种情况不存在，
综上所述当为或时，为直角三角形． 

【解析】解：点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，
，
，，，
，
，
，
，
，
；
故答案为；；；
见答案

在直角三角形中，利用度角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，由则可得出答案；
证明四边形是平行四边形，当时，平行四边形是菱形，可得出，求出的值即可；
分三种不同的情况，由直角三角形的性质可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查含度直角三角形的性质，矩形的性质以及菱形的判定与性质．