2022-2023学年广东省广州市番禺区香江育才实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市番禺区香江育才实验学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列选项中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数的自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  如图，每个小正方形的边长都是，，，分别在格点上，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，为边的中点，，则长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  顺次连接形各边中所的四边形定是(    )

A. 邻边不等的平行四边形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 正方形

7.  如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在▱中，添加下列条件不能判定▱是菱形的是(    )
 

A.
B.
C. 平分
D.

9.  将正方形与正方形按如图方式放置，点、、在同一直线上，已知，，连接，是的中点，连接，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点是正方形外一点，连接、和，过点作垂线交于点若，下列结论：≌；；点到直线的距离为；则正确结论的个数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知函数是正比例函数，则______．

12.  菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为__________．

13.  如图，在中，，，，则斜边______．

14.  如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，则的长为            ．
 

15.  如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是          ．
 

16.  如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，平行四边形中，点、分别在、上，，求证：四边形是平行四边形．
 

19.  本小题分
已知：如图，中，，是的中点，，．
求证：．
 

20.  本小题分
已知正比例函数过点，点在轴上，又，且．
求正比例函数解析式；
求点的坐标．

21.  本小题分
如图：每个小正方形的边长都是．
求四边形的周长；
求证：．

22.  本小题分
如图，在菱形中，对角线与交于点过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点．
求证：四边形是矩形；
若，菱形的周长是，求菱形的面积．

23.  本小题分
如图，在中，，是中线，是的中点，过点作交的延长线于，连接．
求证：；
如果，试判断四边形的形状并证明．

24.  本小题分
如图，四边形和四边形都是正方形，与交于点，点在的外部．

求证：；
求证：；
求：的度数．

25.  本小题分
在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于．

如图，过点作于，求证：≌；
如图，点为的中点，连接，求证：；
如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，不是最简二次根式；
B.，不是最简二次根式；
C.是最简二次根式，符合题意；
D.，不是最简二次根式；
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的判定方法是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故选：．
根据二次根式，可得，进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
利用勾股定理逆定理进行分析即可．
【解答】
解：、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
D、，能构成直角三角形，故此选项不合题意，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质．
连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．
【解答】
解：如图，连，

则，，
，
即，
为等腰直角三角形，，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”解答．
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，在中，，为边的中点，则．
，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图：菱中，、、是、、、的中点，
，；，，
又，
故四形是平行边形，
边形矩形．
故选：
先证明四边形是平行边，再根一个角直角的平行四边形是形判断．
本题主要考查了菱形的性质和矩形判定定理，正确理解形的性质以形的中线定理是题关．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的性质，利用折叠重合得出：，这是解题的关键．利用折叠重合的特性可得，再利用长方形的性质，则，结论可得．
【解答】
解：由折叠可得：，
则，
因为四边形是长方形，
所以，
所以．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．
根据菱形的判定定理，即可求得答案．注意排除法的应用．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱是菱形，故本选项正确；
B、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱是菱形，故本选项正确；
C、当平分时，易证得，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得▱是菱形，故本选项正确；
D、对角线相等的平行四边形也可能为矩形，故选项错误．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质．
根据正方形的性质和全等三角形的判定得出≌，求出，进而利用勾股定理求出，再解答即可．
【解答】
解：延长交于点，

四边形和四边形都是正方形，，，
，，
点，，在同一直线上，
，
，，
是中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．
易知，，所以只需证明即可用说明≌；
易知，则，所以；
在中利用勾股定理求出值为，根据垂线段最短可知到直线的距离小于；则错误；
要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在中，，，，过点作交延长线于点，在中利用勾股定理即可．
【解答】
解：四边形是正方形，
，．
．
又，
．
又，
≌．
所以正确；
，，
，
．
≌，
，
，
即，正确；
在等腰中，利用勾股定理可得，
在中，利用勾股定理可得，
点到直线的距离小于，所以点到直线的距离为是错误的，
所以错误；
在中，，，，
如图所示，过点作交延长线于点．

在等腰中，可得．
所以．
在中利用勾股定理可得，
即，
所以．
所以正确．
所以只有和、的结论正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据正比例函数的意义：形如  是不等于零的常数，可得答案
本题考查了正比例函数，利用正比例函数的意义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】
解：如图所示，菱形中，，，

根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
设，则，
，即，
解得，
．
故答案为：．
设，则，再根据勾股定理求出的值，进而得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分．
根据三角形中位线的性质可得，再根据平行四边形的性质即可求解．
【解答】
解：点，分别是，的中点，若，
，
四边形为平行四边形，
，
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查含角的直角三角形，等腰直角三角形，平行线的判定与性质等知识点，熟记公式是解题的关键先利用直角三角形的性质求出的长，再根据平行线的性质及等腰直角三角形的性质求出的长即可．
【解答】
解：，，，
．
由题意可知，
，
．
故
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：，，
矩形的面积为，，
，
对角线，交于点，
的面积为，
，，
，即，
，
，
，
故答案为：．
依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
 

17.【答案】解：原式，



． 

【解析】利用分配律去掉括号，然后根据二次根式的乘法运算法则计算，最后进行减法即可得．
题目主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，且
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，再由可得，即可证四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证出是解题的关键．
 

19.【答案】证明：在中，，
是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
． 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键，属于基础题．
欲证明，只要证明四边形是平行四边形即可．  

20.【答案】解：设正比例函数为，
，
，解得，
正比例函数的解析式为：．
设，
，
，
．
，
，
或，
点坐标为或． 

【解析】设正比例函数的解析式为，再把代入即可求出的值；
设出点坐标，表示出，然后根据三角形面积公式得到关于的方程，解方程即可．
本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，三角形的面积，熟知待定系数法是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可知，，，，
四边形的周长为；

证明：连接．
，，，
，
是直角三角形，
． 

【解析】利用勾股定理分别求出、、、即可解决问题；
求出、、，利用勾股定理的逆定理即可证明．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：四边形是菱形，
，
．
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；

由知，平行四边形是矩形，
四边形是菱形，
，
菱形的周长是，
，
，
，，
菱形的面积为：． 

【解析】欲证明四边形是矩形，只需推知四边形是平行四边形，且有一内角为度即可；
由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．
考查了矩形的判定与性质，菱形的性质．此题中，矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明有一内角为直角．
 

23.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
；

解：四边形是正方形．理由如下：
由知，．
，
．
，
四边形是平行四边形．
在中，，，是斜边上的中线，
，，
平行四边形是正方形． 

【解析】由是的中点，，易证得≌，即可得；
得出四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出，根据正方形的判定推出即可．
此题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形、等腰三角形的性质．此题难度适中．
 

24.【答案】解：在正方形和中，，，，
，
即，
在和中，

≌，
；
令，交于，

≌，
，
，，，
，
；
作，，垂足为，，

≌，
，
，
，
，
，，
是的平分线，

，
． 

【解析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线，的垂线段是难点，运用全等三角形的性质是关键．
根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；
令，交于，，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得；
作，，垂足为，，用面积法证明是角平分线，可得答案．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；

证明：过点作于，交的延长线于，如图所示：
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点为的中点，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
，
，
；

解：如图，取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，
设，
由得：≌，
，
，点为的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，，，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点在线段上运动，是等腰直角三角形，
，
点的运动轨迹的长为． 

【解析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明≌和≌是解题的关键，属于中考常考题型．
由正方形的性质得，，再证，然后由证≌即可；
过点作于，交的延长线于，先证≌，得，再证≌，得，，则四边形是正方形，得，则，进而得出结论；
取的中点，连接，延长交于，过点作于，于，设，由得≌，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由等腰三角形的性质得，，则，证出，最后证点在线段上运动，由等腰直角三角形的性质得，即可求解．