2022-2023学年广东省惠州市惠城区小金茂峰学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省惠州市惠城区小金茂峰学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数中，不是无理数的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点位于轴的上方，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  二元一次方程(    )

A. 只有一组解 B. 只有两组解 C. 无解 D. 有无数组解

4.  如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列说法中正确的是(    )

A. 的算术平方根是 B. 是的平方根
C. 的平方根是 D. 的算术平方根是

6.  如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知关于，的方程组的解满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线，交于，于，与的关系是(    )

 

A. 互余 B. 对顶角 C. 互补 D. 相等

9.  九章算术中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤古代斤两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为两、两，下列方程组正确的为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，动点在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，按这样的运动规律，点的纵坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如果将一张“排号”的电影票记为，那么一张“排号”的电影票记为______ ．

12.  如图，直线，被直线所截，，若，则 ______ 度

13.  已知是方程的一个解，那么的值是        ．

14.  若在两个连续整数、之间，那么的值是______ ．

15.  如图，平面直角坐标系中的图案是由五个边长为的正方形组成的．，，连接的线段将图案的面积分成相等的两部分，则的值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  分别用代入法和加减法解方程组：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
求的值：．

18.  本小题分
如图，根据已知条件完成如下证明：
已知，求证：．
直线，求证：．

19.  本小题分
一个正数的两个平方根分别是与，的立方根是．
求：，的值；
的算术平方根．

20.  本小题分
已知三个顶点的坐标分别是 、、
在平面直角坐标系中描出各点并画出；
将向下平移个单位，再向右平移个单位，得到，画出；
求的面积．

21.  本小题分
如图，，．
与是否平行？请说明理由；
若平分，于点，，求的度数．

22.  本小题分
在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消毒液和消毒液如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元．
每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是多少元？
若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买瓶免洗手消毒液送瓶消毒液，学校打算购进免洗手消毒液瓶，消毒液瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，连接，，若．

如图，点是直线上的一个动点，当最短时，求的值；点是线段上的一个动点，且满足于点，于点，求的值；
如图，在线段上取一点不与，重合过点作的平行线，为轴负半轴上一点，且平分，若，，求的度数结果用含的式子表示．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是分数，属于有理数，故选项B正确；，，是无理数．
故选：．
根据无理数、有理数的定义逐一对每个选择支进行判断．
此题主要考查了无理数的定义，注意：带根号的开不尽方的数是无理数，无限不循环小数为无理数，含的数是无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：点位于轴的上方，
为正数，
故选：．
根据平面直角坐标系可得为正数，进而可选出答案．
此题主要考查了点的坐标，关键是掌握轴的上方的点的纵坐标为正，轴的下方的点的纵坐标为负．
 

3.【答案】 

【解析】解：二元一次方程的解有无数组，
故选：．
根据二元一次方程的解的定义即可求出答案．
本题考查二元一次方程的解，解题的关键是正确理解二元一次方程的解，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不能证，故选项不符合题意；
B、根据同旁内角互补，两直线平行，可证得，不能证，故选项不符合题意；
C、根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证，故选项不符合题意；
D、根据同旁内角互补，两直线平行即可证得，故选项符合题意．
故选：．
根据平行线的判定定理即可直接作出判断．
此题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】
解：、，的算术平方根是，故此选项错误；
B、是的平方根，正确；
C、，的平方根是，故此选项错误；
D、的算术平方根是，故此选项错误．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．先根据平行线的性质求出的度数，再由余角的定义即可得出结论．
【解答】
解：直尺的两边互相平行，，
．
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解，
，可得：，
，
，
，
解得：．
故选：．
把关于，的方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得：，再根据，求出的值即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】直接利用垂直的定义得出，进而得出与的关系．此题主要考查了垂直的定义以及互为余角的定义，正确得出的度数是解题关键．
【解答】
解：于，
，
，则与的关系是互余．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：五只雀、六只燕，共重斤古代斤两，
；
雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“五只雀、六只燕，共重斤古代斤两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察图象，结合动点第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，第四次运动到点，第五次运动到点，第六次运动到点，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每次运动组成一个循环：，，，，，，，，
，
动点的坐标是，
动点的纵坐标是，
故选：．
根据图象可以得出规律，运动后的点的坐标特点可以发现规律，横坐标与次数相等，纵坐标每次运动组成一个循环：，，，，，，，，再根据规律直接求解即可．
本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：“排号”的电影票记为，
“排号”的电影票记为．
故答案为：．
根据第一个数表示排数，第二个数表示号数写出即可．
本题考查了坐标确定位置，理解有序数对的两个数的实际意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据两直线平行，同位角相等，即可得出答案．
此题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行，同位角相等是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入得：
，
解得：．
故答案为：．
把代入，即可求解．
本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，而，
，
，，
，
故答案为：．
根据算术平方根估算无理数的大小，确定、的值，再代入计算即可．
本题考查算术平方根和估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得，，
整理得，，
解得．
故答案为：．
把图形补成正方形，然后根据梯形的面积公式与三角形的面积公式表示出被分成两个部分的面积，然后列出方程求解即可．
本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，作辅助线补成规则图形并表示出分成两个部分的面积是解题的关键．
 

16.【答案】解：代入法：，
由得：，
将代入得，，
解得：，
将代入得，，
解得：，
原方程组的解为：；
加减法：，
得：，
解得：，
将代入得，，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】本题考查了代入法和加减法解方程组，掌握代入法和加减法的步骤是解题的关键．
根据代入法和加减消元法的步骤解二元一次方程组即可求解．
 

17.【答案】解：

；
系数化为，得，
开平方，得． 

【解析】先计算开平方和开平方，再计算加法；
先化二次项系数为，再开平方求解．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

18.【答案】证明：，，
，
；
证明：，
，
又，
． 

【解析】有对顶角相等得到，结合已知得到，依据“同位角相等，两直线平行”可进行判断；
依据“两直线平行，同位角相等”得到，结合对顶角相等可证明．
本题考查了平行线的判定和平行线的性质；解题的关键是熟练掌握“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”．
 

19.【答案】解：由题意可知：，，
，；
，
的算术平方根是． 

【解析】本题考查算术平方根的性质，解题的关键是正确理解算术平方根，本题属于基础题型．
根据平方根的性质即可求出、的值．
将与的值代入中即可求出它的算术平方根．
 

20.【答案】解：所作图形如图所示：

所作图形如图所示：

．
故的面积为． 

【解析】根据直角坐标系的特点作出点、、，然后顺次连接；
分别将点、、向下平移个单位，再向右平移个单位，然后顺次连接；
用所在的长方形的面积减去三个小三角形的面积．
本题考查了根据平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
 

21.【答案】解：，
理由如下：
，
，
又，
，
；
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】要证，只需证，而由可得，，依等角的补角相等这一性质可得．
由于与在同一三角形中，隐藏了一个已知条件“三角形内角和为”，故要求的度数，只需求的度数，在中，已知，则只需求的度数，由，故只需求的度数，由的结论可知，即所求结论与已知条件建立了一条完整的思路线．解题步骤只需按这条思路线倒过来书写即可，便可得．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是元、元，
，
解得，
答：每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是元、元；
方案一的花费为：元，
方案二的花费为：元，
元，，
答：学校选用方案二更节约钱，节约元． 

【解析】根据购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，如果购买瓶免洗手消毒液和瓶消毒液，共需花费元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶消毒液的价格分别是多少元；
根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答．
 

23.【答案】解：过点作延长线于点，连接，如图，此时最短，
，，，
，，，
，
，
，即，
；
在中，，，，
，
，
，即，
；

如图，
，，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题主要考查坐标与图形、垂线段的性质、三角形外角性质、平行线的性质、角平分线的定义，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
过点作延长线于点，连接，根据题意可求出，，根据等面积法可求出，根据等面积法，以此即可求解；
根据三角形外角性质得，以此得到，根据平行线的性质得到，再由三角形外角性质得，则，根据角平分线的性质可得，由三角形外角性质得，则，由对顶角相等得，根据三角形内角和定理求出，以此即可求解．