北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定授课课件ppt

这是一份北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定授课课件ppt，共41页。PPT课件主要包含了情景引入，性质应用，正方形的性质，随堂演练，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
1.3 .1 正方形的性质
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
　 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？　　　
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形？
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
1.正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
2.(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
为什么说正方形是完美图形?
正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°. (2)AB=BC=CD=DA.
分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证.
已知:四边形ABCD是正方形.
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.
已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.
分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∵四边形ABCD是正方形,
AO=CO,BO=DO.
例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF=180°-∠BCE =180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M.∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
轴对称图形（4条对称轴）
那么，如何判定一个四边形是正方形呢？
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.
1.3 .2 正方形的判定
满足怎样条件的矩形是正方形？
满足怎样条件的菱形是正方形？
对角线相等的菱形是正方形
对角线垂直的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
正方形判定的两条途径：
已知，如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形
先由两组平行线得出平行四边形；
再由一个直角，得出是矩形；
最后由一组邻边相等可得正 方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
以四边形各边中点为顶点的新四边形的形状主要与原四边形的什么有关？请你说说你发现在结论。
新四边形的形状只与原四边形的两对角线大小、位置关系有关。
归纳：特殊四边形的中点四边形： ◆平行四边形的中点四边形是平行四边形 ◆矩形的中点四边形是菱形 ◆菱形的中点四边形是矩形 ◆正方形的中点四边形是正方形 ◆等腰梯形的中点四边形是菱形 ◆直角梯形的中点四边形是平行四边形 ◆梯形的中点四边形是平行四边形
中点四边形的形状与原四边形两对角线的关系
例1：已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.∵DF⊥AC , DE⊥BC ,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
例2：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.
1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知： ∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
（2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下.
正方形与 矩形，菱形，平行四边形的关系.
1.如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°.在Rt△BEC中，
连接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20 （m），AC= = =40（m）S正方形ABCD=BC2 = （20 ）2=800（m2）所以正方形的对角线长40m，面积为800m2.
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 每一条对角线平分一组对角
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ （1）对角线互相垂直且相等的平行四边形.（ ） （2）对角线互相垂直的矩形.（ ） （3）对角线相等的菱形.（ ） （4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.（ ）
3.如图所示，E 是正方形 ABCD 边 BC 上任意一点，EF⊥BO 于 F，EG⊥CO 于 G，若 AB = 10 厘米，则四边形 EGOF 的周长是_____厘米.
4.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点，DE⊥AG 于点 E，BF∥ DE，交 AG 于点 F，求证：AF - BF = EF.
证明：∵∠BAF +∠DAE = 90°，又∵DE⊥AG，BF∥ DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF = 90°，∴∠ABF =∠DAE.又∵AB = DA，∠AFB =∠DEA = 90°,∴△ABF ≌ △DAE，∴BF = AE，∴AF - BF = AF - AE = EF.
5.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴四边形PECF是矩形
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
3.对角线相等且互相垂直平分
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形