2023年吉林省松原市宁江区中考数学三模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市宁江区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  下列选项中，结果小于的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形绕某点旋转后，能与原来图形重合的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的直径，点、在上若则的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  计算：______．

8.  不等式的解集是        ．

9.  化简的结果是______．

10.  一副三角板如图摆放，若，则的度数为          ．

11.  如图，，分别是的边，的中点，若的面积为，则四边形的面积等于          ．


 

12.  如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索粗细不计与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______ ．

13.  如图，每个小长方形的长为，宽为，则四边形的面积为______．

14.  小英用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图所示，在中，，，，点在斜边上，连接，将沿折叠，点的对应点落在边上，则折叠后纸片重叠阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
已知：如图，，点为线段上一点，连接交于点，过点作分别交、于点、点，，求证：≌．

17.  本小题分
王师傅开车带着儿子去参观我省举办的“喜迎二十大奋进新征程乡村振兴成果展”，他的车前有两辆车即将行驶到有信号灯的路口，该路口的信号灯分别为：直行、左转和右转王师傅给儿子提出下列两个问题，请你帮助王师傅的儿子解答：
在我们车前面的第一辆车直行的概率是______ ；
在我们车前面的两辆车向同一个方向行驶的概率是多少，请用列表或画树状图的方法说明注：为了方便解答，我们把“直行”“右转”和“左转”分别用“直”“右”和“左”表示

18.  本小题分
盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为当下最热门的营销方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中放入，两种类型的酒，共瓶．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了种酒瓶，种酒瓶；乙盲盒中装了种酒瓶，种酒瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件元，乙盲盒的成本价为每件元．

种酒和种酒的成本价为每瓶多少元；
商家为回馈新老客户，计划所有的盲盒售价都为每件元，请你再直接写出一种盲盒装箱的方案题中两种方案除外，使它的成本价不高于元．

19.  本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．小正方形的边长为，点、均在格点上．在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
在图中，以线段为边画一个等腰三角形，且的面积为．
在图中，以线段为边画一个轴对称四边形，且四边形的面积为．
在图中，以线段为边画一个四边形，使，且四边形的．面积为．

 

20.  本小题分
东城区为了解各学校中学生在疫情期间体育锻炼的情况，对甲、乙两个学校各名学生进行了体育测试，从中各随机抽取名学生的成绩百分制，并对成绩单位：分进行整理、描述和分析．给出了部分成绩信息．
甲校参与测试的学生成绩分布如表：

甲校参与测试的学生成绩在这一组的数据是：
，，，，，，，，，
甲、乙两校参与测试的学生成绩的平均数、中位数、众数如表，根据以上信息，回答下列问题：

______；
在此次随机抽样测试中，甲校的王同学和乙校的李同学成绩均为分，则在各自学校参与测试同学中成绩的名次相比较更靠前的是______填“王”或“李”同学，请简要说出理由；
在此次随机测试中，乙校分以上的总人数比甲校分以上含分的总人数的倍少人，试估计乙校分以上含分的总人数．

21.  本小题分
已知图是超市购物车，图是超市购物车侧面示意图，测得支架，，，均与地面平行．

若支架与之间的夹角，求两轮轮轴，之间的距离；
若的长度为，，求点到所在直线的距离．结果精确到参考数据：，

22.  本小题分
如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组与的对应值．

根据以上信息，解答下列问题：
当输入的值为时，输出的值为______；
求，的值；
当输出的值为时，求输入的值．

23.  本小题分
小丽家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序如图所示，根据图中提供的信息，解答问题：
当时，求水温与开机时间分的函数关系式；
求图中的值；
若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少？

24.  本小题分
综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图，将：矩形纸片沿对角线剪开，得到和并且量得，．
【操作发现】
将图中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到如图所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，则四边形的形状是______．
创新小组将图中的以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，使、、三点在同一条直线上，得到如图所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请你判断四边形的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将沿着方向平移，使点与点重合，此时点平移至点，与相交于点，如图所示，连接，试求的值．

 

25.  本小题分
如图所示，在等腰直角三角形中，，，于点，点从点出发，沿方向以的速度运动到点停止，在运动过程中，过点作交于点，以线段为边作等腰直角三角形，且点，位于异侧，设点的运动时间为，与重叠部分的面积为

如图，当点落在上时， ______ ；
求点落在上时的值；
若点在下方时，求重叠部分面积与运动时间的函数表达式．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴交点的坐标为
求此抛物线对应的函数表达式．
当时，的取值范围是______ ．
若时，，则的取值范围是______ ．
当时，若函数的图象上有且只有一个点到直线的距离为，求的取值范围．
点、点均在这个抛物线上点在点的右侧，点的横坐标为，点的横坐标为将此抛物线上、两点之间的部分包括、两点记为图象设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层是一个矩形，上层是一个圆，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、，不符合题意；
选项B、，不符合题意；
选项C、，，不符合题意；
选项D、，符合题意；
故选：．
根据有理数的乘法法则、乘方法则及减法法则分别进行计算，然后将结果与比较大小即可．
本题主要考查了有理数的乘法、乘方运算和大小比较，解题关键是能够准确进行有理数的运算．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
，即，
故选：．
根据方程有实数根，得出，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．
此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、绕它的中心旋转才能与原图形重合，故本选项不合题意；
B、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项符合题意；
C、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意；
D、绕它的中心旋转能与原图形重合，故本选项不合题意．
故选：．
根据旋转对称图形的概念作答．
本题考查了旋转对称图形的知识，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，，
，
，
故选：．
连接，利用是直径得出，进而利用圆内解四边形的性质解答即可．
此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，关键是利用是直径得出．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
由已知可得，，
，
是等边三角形，
，
故选：．
根据题意和等边三角形的判定，可以得到的长．
本题考查等边三角形的判定与性质、与圆相关的知识，解答本题的关键是明确题意，求出的形状．
 

7.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
利用二次根式的乘法法则运算后，将结果化成最简二次根式即可．
本题主要考查了二次根式的乘法，将结果化成最简二次根式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：移项得，，
合并同类项、化系数为得，．
故答案为：．
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上再除以，不等号的方向不变．即可得到不等式的解集．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
分子、分母约去进行约分即可．
本题主要考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
．
故答案为：．
利用平行线的性质得到，然后结合三角形外角定理来求的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时，注意运用题干中隐藏的已知条件，．
 

11.【答案】 

【解析】解：，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，，
∽，
，
的面积为，
的面积为，
四边形的面积等于，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，证明∽，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：重物上升的高度为：，
故答案为：．
利用弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形的面积为：

．
故答案为：．
直接利用整体面积减去周围多余图形面积进而得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
由折叠可知，
，
设，则，
，
∽，
，
即，
解得，
即，


，
故答案为：．
由折叠的性质可得，再根据相似三角形的性质可求出，再由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查翻折变换，掌握翻折的性质以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

15.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】提取公因式，再利用平方差公式计算，再代入计算．
本题考查整式的混合运算化简求值，解题的关键是熟练灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】证明：，，
，，
，
，即，
在和中，
，
≌． 

【解析】先根据平行线的性质得出，，再由可知，即，根据定理即可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定，熟知两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据题意，列表如下：

由表格可知，共有种等可能的结果，其中，两辆车向同一方向行驶的结果有种，分别是直，直，右，右和左，左，
．
用除以即得；
列表解答，第一辆车填表的竖列直、右、左，第二辆车填表的横行直、右、左，列出向各个方向行驶的所有等可能结果，查出两辆车向同一方向行驶的所有可能结果，代入概率公式计算．
本题主要考查了概率，解决问题的关键是熟练掌握概率是定义和计算公式．
 

18.【答案】解：设种酒的成本价为每瓶元，种酒的成本价为每瓶元，
由题意得：，
解得：，
答：种酒的成本价为每瓶元，种酒的成本价为每瓶元；
，
盲盒中装种酒瓶，种酒瓶答案不唯一． 

【解析】设种酒的成本价为每瓶元，种酒的成本价为每瓶元，由题意：甲盲盒中装了种酒瓶，种酒瓶；乙盲盒中装了种酒瓶，种酒瓶；经过测算，甲盲盒的成本价为每件元，乙盲盒的成本价为每件元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
举出成本价不高于元的一种盲盒即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图中，即为所求；
如图中，四边形即为所求；
如图中，四边形即为所求．
 

【解析】作底为，高为的等腰三角形即可；
作边长为的正方形即可；
利用数形结合的思想作出等腰直角三角形，还有一个底为，高为的即可．
本题考查作图轴对称变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】  王 

【解析】解：把甲校所抽取的名学生的成绩从小到大排序后，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，即，
故答案为：；
甲校的中位数是，乙校的中位数是，而分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前，
故答案为：王，理由：分在甲校的中位数之上，在乙校的中位数之下，因此王同学在甲校的排名在前；
样本中，分以上的学生人数所占的百分比为，
所以甲校分以上的学生人数为人，
因此乙校分以上的学生人数为人，
答：乙校分以上含分的总人数为人．
根据中位数的定义，把甲校所抽取的名学生的成绩从小到大排序后，计算处在中间位置的两个数的平均数即可；
根据中位数的意义，结合王同学、李同学的成绩进行判断即可；
先求出甲校分以上的学生人数，再求出乙校分以上的学生人数．
本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提．
 

21.【答案】解：支架与之间的夹角为，
，
即两轮轮轴，之间的距离为；
过点作于，过点作，交的延长线于点，则扶手到所在直线的距离为，

的长度为，，
，
，
，
，
，
由知，，，
，
即，
解得，
，
即扶手到所在直线的距离为． 

【解析】根据勾股定理求出的长度即可；
作辅助线，分别求出点到的距离，点到直线的距离，求和即可．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：；
将代入得
解得；
令，
由得，
所以舍去，
由，得，
所以，
故输出的值为时，输入的值为． 

【解析】解：当输入的值为时，输出的值为，
故答案为：；
见答案；
见答案．
把代入，即可得到结论；
将代入解方程即可得到结论；
分情况讨论，解方程即可得到结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数值，正确地求得函数的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】解：当时，设水温与开机时间分的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
此函数解析式为：；
当，设水温与开机时间分的函数关系式为：，
依据题意，得：，
即，
故，
当时，，
解得：；
，
当时，，
答：小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 

【解析】利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
首先求出反比例函数解析式进而得出的值；
利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可．
此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键．
 

24.【答案】解：在图中，
是矩形的对角线，
，，
，
在图中，由旋转知，，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
▱是菱形，
故答案为：菱形；
四边形是正方形，证明如下：
在图中，四边形是矩形，
，
，，

在图中，由旋转知，，
，
，
点，，在同一条直线上，
，
由旋转知，，
点是的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形，
又，
菱形是正方形；
在中，，，
，
，，
，
由结合平移知，，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，． 

【解析】先证，再证，则，得，然后证四边形是平行四边形，即可得结论；
先证，再证，，进而证四边形是菱形，即可得出结论；
先证，再求出、的长，然后求出、的长，即可求解．
此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，旋转的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型．
 

25.【答案】 

【解析】解：当点落在上时，如图：

，，是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为：；
点落在上时，如图：

等腰直角三角形中，，
，是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
∽，
，
设，则，
，
解得，
，
；
当在下方时，如图：

，，
，
、是等腰直角三角形，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，，
，
；
当在上方时，如图：

，，
，
，，
在等腰直角三角形中，
，
，
，
综上所述，．
当点落在上时，可证四边形是正方形，得，又是等腰直角三角形，可得，即得，从而得到答案；
点落在上时，可证，得∽，设，则，有，即可解得答案；
分两种情况：当在下方时，可得，，由∽，得，即可得；当在上方时，由，，得，即有，，在等腰直角三角形中，，即得，故．
本题考查三角形综合应用，涉及三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是能熟练应用等腰直角三角形的性质．
 

26.【答案】   

【解析】解：抛物线的对称轴是直线，与轴交点的坐标为，
，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
抛物线的对称轴是直线，且，
当时，取最小值，最小值为，
当时，取最大值，最大值为，
当时，的取值范围是；
故答案为：；
由知，时，，
当时，，
由对称性可知，时，，
时，，
；
故答案为：；
如图：

在直线上方，到直线距离为的点在直线上，
在中，令得，
解得或，
当时，函数的图象上有且只有一个点到直线的距离为，
，
解得：；
当时，，
当时，，
抛物线顶点为，
在的右侧，
，
解得，
当，即时，，
当且，即时，，
当且，即时，，
综上所述，．
用待定系数法可得抛物线对应的函数表达式为；
在时，求出的最大，最小值即可得到答案；
由时，，当时，，时，，即可得；
在中，令得，得或，故；
当时，，当时，，顶点为，由在的右侧，得，分三种情况分别列出函数关系式即可．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，函数的最大小值等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．