2022-2023学年江苏省苏州市高一（下）期末数学模拟试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省苏州市高一（下）期末数学模拟试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，若，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按，，，进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为(    )

注：表中的数据为随机数表第行和第行

A.  B.  C.  D.

3.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，与相交，则

4.  一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，其中，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的分位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球年月日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录已知某鞠的表面上有四个点，，，恰好构成三棱锥，若，，且，，，，则该鞠的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，下列结论中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 当时，与的夹角为锐角
D. 若，则与的夹角的余弦值为

10.  为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，某中学举行法规知识竞赛满分分，对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照，，，，分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是(    )

A.
B. 得分在区间内的学生人数为
C. 该校学生法规竞赛成绩的中位数大于
D. 估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间内

11.  在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是(    )

A. 若，则为等腰三角形
B. 已知，，则
C. 若，则
D. 若：：：：，则为锐角三角形

12.  如图，在正方体中，点在线段上运动，下列判断中正确的是(    )

A. 平面平面
B.
C.
D. 异面直线与所成角的取值范围是
 

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  从，，，，这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和小于的概率为______ ．

14.  如图，长方体的底面的斜二测直观图为平行四边形已知，，高，，分别为，的中点，用平面截该长方体，则剩余的三棱台的体积为______ ．

15.  自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗望岳：“贷宗夫如何？齐鲁青未了造化钟神秀，阴阳割错晓荡胸生层云，决眦入归鸟会当凌绝顶，一览众山小”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等如图，某工程队将从到修建一条隧道，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到修建隧道的距离为______ ．

16.  已知我国某省二、三、四线城市数量之比为：：年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元平方米，方差为其中三、四线城市的房产均价分别为万元平方米，万元平方米，三、四线城市房价的方差分别为，，则二线城市房产均价为______万元平方米，二线城市房价的方差为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数为纯虚数．
求的值；
若，求

18.  本小题分
已知甲的投篮命中率为，乙的投篮命中率为，丙的投篮命中率为．
甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率；
甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率；
甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率．

19.  本小题分
在钝角三角形中，，，，．
求的值；
已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围．

20.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点．
求证：平面平面；
若，求点到平面的距离．

21.  本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求边上中线的长．

22.  本小题分
已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使科平面平面．
在上是否存在一点，使得平面？
求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以可化为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的虚部是．
故选：．
利用复数的四则运算及复数相等求出，可得复数，再求其共轭复数的虚部．
本题主要考查复数的四则运算及复数相等条件，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，选出的第个同学的编号为，第个同学的编号为，第个同学的编号为，
第个同学的编号为．
故选：．
根据题意，由随机数表分析数据，找到选出的第个同学的编号，即可得答案．
本题考查简单随机抽样，涉及随机数表的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：对于：若，，由面面垂直的判定定理可知，故A正确；
对于：若，则平面内存在直线，使得，又，，所以，所以，故B正确；
对于：若，，则或与相交，故C错误；
对于：若，，，，与相交，根据面面平行的判定定理可知，故D正确；
故选：．
根据空间中线面、面面的位置关系判断可得．
本题考查空间中线面、面面的位置关系判断，属中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，中位数是，极差为，
由已知，解得，
又，则第百分位数是．
故选：．
先求出中位数，进而求得极差，由条件列方程求，再由百分位数的求法求解即可．
本题考查离百分位数，中位数，极差的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
利用诱导公式化简已知等式可得的值，进而利用诱导公式以及二倍角的余弦公式化简所求即可求解．
本题考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，如果与互斥，
则，
，
则，
与相互独立，与也相互独立，
故么．
故选：．
根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，即可求解．
本题主要考查互斥事件的定义，以及相互独立事件的概率公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，
，，
，，三点共线，
，
，，三点共线，
，
由平面向量基本定理可得：，解得，
．
故选：．
由，，三点共线可得，由，，三点共线可得，再由平面向量基本定理得到关于，的方程组，求解后代入即可求得．
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

因为，，，
所以，
又，，
所以在中，有，
所以，，即，
又，平面，平面，，
所以平面，
则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图：

其中，，，，
为长方体的体对角线，
所以此三棱锥外接球的半径为，
所以该鞠的表面积为．
故选：．
由已知求得，根据勾股定理证明得到，进而推得平面，则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，求出长方体的体对角线长，即可得出外接球的半径，进而根据表面积公式，即可得出答案．
本题考查了三棱锥外接球的表面积的计算，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于：若，因为，，
则，解得，故A正确；
对于：若，则，解得，故B正确；
对于：当时，此时，所以与共线同向，故C错误；
对于：若时，则，，，
所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确．
故选：．
根据向量共线的坐标表示判断，利用特例说明，由数量积的坐标表示计算、．
本题主要考查向量平行、垂直的性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由频率分布直方图性质得：，解得，故A不正确；
对于，成绩落在区间的频率为，
则人数为，故B正确；
对于，由频率分布直方图得：的频率为，
的频率为，所以成绩的中位数位于区间内，故C正确；
对于，估计成绩的平均数为：
，
所以成绩的平均数落在区间内，故D不正确．
故选：．
根据频率分布直方图的性质直接计算即可．
本题主要考查频率分布直方图的性质，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，因为，
所以由正弦定理得，
所以，
由于、为三角形的内角，
可得，或，即，或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于，因为，，
所以由正弦定理可得，
所以，故B正确；
对于，在中，由得，
由正弦定理得：，故C正确；
对于，因为的三个角满足：：：：，
由正弦定理化简得：：：：，
设，，，为最大边，
由余弦定理得，
所以为钝角，所以是钝角三角形，故D不正确．
故选：．
对于，由正弦定理以及二倍角公式可得，结合、为三角形的内角，即可判断三角形形状；
对于，由正弦定理即可判断得解；
对于，由正弦定理即可求解；
对于，利用正弦定理及余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理以及二倍角公式在解三角形中的应用，考查了三角形形状的判断，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，，
，、平面，
所以平面，平面，
所以，
因为，，
，，平面，
所以平面，平面，
所以，
，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，A正确；
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，，，平面，
所以平面平面，又，
所以平面，平面，
所以，B正确；
因为平面平面，点在直线上，
所以点到平面的距离等于到平面的距离，
所以，C正确；
因为，
所以异面直线与所成角为或中的锐角或直角，
又为等边三角形，所以当点为的中点时，，
故异面直线与所成角可能为，D错误．
故选：．
证明平面，结合面面垂直判定定理证明平面平面，判断；
证明平面，结合线面垂直的定义证明，判断；
由平面平面，结合锥体体积公式证明，由此判断；
根据异面直线夹角的定义判断．
本题考查空间几何体的异面直线夹角，面面垂直等性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：随机试验从，，，，这五个数中任选两个不同的数有下列结果：
，，，，，，，，，，
其中事件两个数的和小于包含下列基本事件，，，
故事件两个数的和小于的概率，
故答案为：．
列出随机试验的样本空间，利用古典概型概率公式求事件两个数的和小于的概率．
本题考查古典概率模型，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，，高，
所以长方体中，，，，
又，分别为，的中点，，，
由棱台体积公式．
故答案为：．
利用斜二测画法求出长方体的长、宽、高，再由棱台体积公式可解．
本题主要考查棱台的体积，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，在、中，，，，
，
在中，，
所以由正弦定理得：，
所以，

又，
在中，由余弦定理得：，
解得，
所以地与地之间的距离为．
故答案为：．
根据给定条件，作出图形，再利用正弦、余弦定理求解作答．
本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查运算求解能力，属中档题．
 

16.【答案】   

【解析】解：设二线城市房产均价为，方差为，因为二、三、四线城市数量之比为：：，二、三、四线城市房产均价为万元平方米，三、四线城市的房产均价分别为万元平方米，万元平方米，
所以，
解得：万元平方米，
由题意可得，
解得：．
故答案为：；．
根据平均值及方差的定义列方程求解即可．
本题考查了求平均数与方差的问题，记住平均数与方差的公式是解题的关键．
 

17.【答案】解：复数为纯虚数，
则，解得；
由可知，，
，
则，
故，即． 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：甲的投篮命中率为，乙的投篮命中率为，丙的投篮命中率为，
甲，乙，丙各投篮一次，甲和乙命中，丙不命中的概率：
；
甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率为：
；
甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为：
． 

【解析】甲，乙，丙各投篮一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲和乙命中，丙不命中的概率；
甲，乙，丙各投篮一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出恰有一人命中的概率；
甲，乙，丙各投篮一次，利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出至少有一人命中的概率．
本题考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属基础题．
 

19.【答案】解：因为，，，
又，
所以，
所以，
又因为，
所以或，
当时，由余弦定理可得：，
所以，
此时有，
所以，
所以为锐角，所在三角形为锐角三角形，不满足三角形为钝角三角形，
所以，
由余弦定理可得：，
所以，
又因为，
所以，
，
所以；
因为，，三点共线，
，，，
所以以为坐标原点，所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立如图所示的坐标系：

则有，，
，，
所以，
由题意可知点在轴上，
所以设，
所以，，
所以，
所以当时，有最小值为，
又因为恒成立，
即，
所以，
故实数的取值范围为 

【解析】由题意可得，或，再根据三角形为钝角三角形，可得，于是有，，根据向量的数量积求解即可；
以为坐标原点，所在直线为轴，过垂直于的直线为轴，建立坐标系，求出，，的坐标，设，利用向量数量积的坐标运算，求出的最小值即得答案．
本题考查了三角中余弦定理的应用、向量的线性运算及建模思想，属于中档题．
 

20.【答案】证明：，为棱的中点，，
在直三棱柱中，平面平面，且平面平面，
平面，而平面，，
，，，，
，即，
又，平面，
平面，平面平面；
解：，
，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

若，则，，，，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
点到平面的距离． 

【解析】由已知可得，，可证平面；
由已知可得，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法可求点到平面的距离．
本题考查面面垂直的证明，考查点到面的距离的求法，属中档题．
 

21.【答案】解：因为，
由正弦定理可得：，化简可得：，
由余弦定理可得：，
因为是三角形内角，则；
由，则，
则或，所以或，
当时，三角形为等边三角形，则；
当时，，则三角形为直角三角形，如图所示：
因为，时，所以，又，
所以，
综上，或． 

【解析】利用正余弦定理化简即可求解；利用正弦定理求出或，由此即可求出，，然后分三角形为等边三角形和直角三角形，分别求解即可．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：当是的中点时，平面，理由如下：
为的中点，，
，，，，
，，四边形是正方形，
，平面平面，平面平面，
平面，平面，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
设，，
，，
设是平面的一个法向量，
，令，则，，
平面的一个法向量为，
若平面，则，，
，解得，
当是的中点时，平面；
又，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为． 

【解析】利用已知可得平面，以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量可确定的位置；
分别求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量可求二面角的余弦值．
本题考查点的位置的确定，考查向量法的应用，考查运算求解能力，属中档题．