2022-2023学年上海市重点大学附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海市重点大学附中高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设随机变量的分布列，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明(    )

A. 两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌
B. 两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的
C. 两种证券的收益有同向变动的倾向
D. 两种证券的收益有反向变动的倾向

4.  已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”则下列三个命题中正确命题的个数是(    )
在黄金椭圆中，；
在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则；
在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  已知直线：，则直线的斜率 ______ ．

6.  已知，，则 ______ ．

7.  函数在区间上的平均变化率为______．

8.  已知双曲线：，则双曲线的离心率 ______ ．

9.  已知，且，，方程表示的曲线是双曲线，则有______ 条不同的双曲线．

10.  掷一颗骰子，则掷得点数的期望是______ ．

11.  已知：，：表示椭圆，则是的______ 条件．

12.  函数在上的最小值为______ ．

13.  定义：如果三位数满足且，则称这样的三位数为“”型三位数，试求由，，，，这个数字组成的所有三位数中任取一个恰为“”型三位数的概率是______ ．

14.  年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年某机构统计了某市个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：

根据这个地区的数据求得留在当地过年人员数与外来务工人员数的线性回归方程为该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴万元，该市区有名外来务工人员，根据线性回归方程估计区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为______ 万元参考数据：取

15.  若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是______．

16.  年卡塔尔世界杯会徽如图近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点是双纽线上一点，下列说法中正确的是______ 填上你认为所有正确的序号
双纽线关于原点中心对称；
双纽线上满足的点只有个；
；
的最大值为．

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求曲线在点处的切线方程．

18.  本小题分
已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．
求的值；
若展开式的常数项为，求．

19.  本小题分
一袋中装有大小与质地相同的个白球和个黑球．
从中有放回地依次摸出个球，求两球颜色不同的概率；
从中不放回地依次摸出个球，记两球中白球的个数为，求的期望与方差．

20.  本小题分
已知函数．
若在处的切线与轴平行，求的值；
若在区间上是严格增函数，求的取值范围；
是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
如图，已知椭圆：的两个焦点为，，且，为双曲线的顶点，双曲线的离心率，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为，和，．
求双曲线的标准方程；
证明：直线，的斜率之积为定值；
求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
可知．
故选：．
直接利用排列数公式，写出结果即可．
本题考查排列数公式的应用，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，设随机变量的分布列，
则有，
解可得：，
．
故选：．
根据题意，由分布列的性质可得，由此求出的值，又由，计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，两种证券完全同向联动，同涨或同跌，相关系数必须为，但题目中说的是相关系数为正数，不一定为，故A选项错误；
，两种证券完全反向联动，涨和跌是完全相反的，相关系数必须为，但题目中说的是相关系数为正数，故B选项错误；
，题目中说的是相关系数为正数，也就是说两种证券之间变化是正相关，因此是同向变动，故C选项正确；
，两种证券收益反向变动为负相关，与题目中的相关系数为正数不符，故D选项错误．
故选：．
根据相关系数的意义直接判定即可．
本题考查相关系数的意义，属基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，因为，所以，
又，故，所以，，成等比数列，故正确；
对于，如图，由题可知，，
又因为，，
所以，
所以为直角三角形，即，故正确；
对于，如图所示，设与内切圆相切于点，连接，
由切线性质可知，
则，
将代入上式，可得，
即内切圆半径为，
所以内切圆过两个焦点，故正确．
故选：．
本道题结合椭圆的基本性质，结合三角形三边关系，建立等式，证明，即可．
本题考查了椭圆的性质的应用，属于较难题目．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为：，即，
则直线的斜率．
故答案为：．
先把直线方程化为斜截式即可求解．
本题主要考查了直线的斜率公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数在区间上的平均变化率为，
故答案为：．
利用平均变化率的定义化简即可求解．
本题考查了平均变化率的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由双曲线：，可得，，
，解得，，
双曲线的离心率．
故答案为：．
由双曲线的方程可求得，，进而可求双曲线的离心率．
本题考查双曲线的离心率的求法，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：的值有种情况，的值有种情况，
故方程表示的双曲线有条．
故答案为：．
曲双曲线的性质及分步计数原理可求结果．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：掷一颗骰子，则掷得点数为，的取值有，，，，，，
则，，，，，，
．
故答案为：．
掷得点数为，的取值有，，，，，，求得的分布列，利用数学期望公式计算即可．
本题考查数学期望的计算，属基础题．
 

11.【答案】必要不充分 

【解析】解：若表示椭圆，
则，解得且，
因为：，
则是的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分条件．
先求出方程表示椭圆的的范围，然后结合集合包含关系与充分必要条件的关系即可求解．
本题以充分不必要条件的判断为载体，主要考查了椭圆方程的条件，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数，，
，，
时，，函数单调递减；时，，函数单调递增．
时函数取得极小值即最小值，．
故答案为：．
函数，，利用导数的运算法则可得，研究函数的单调性即可得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，，，，这个数字组成三位数，百位不能为零，则有种情况，十位与个位各自有种情况，
则所组成的所有三位数个数为，
其中“”型三位数的有，，，，，，，，，，，，，，，共个，
则概率为．
故答案为：．
根据分步乘法原理，计算所有三位数的个数，利用列举法，求得符合题意个数，根据古典概型计算公式，可得答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由已知，
，
所以，则，即，
当时，，
估计应补贴万元．
故答案为：．
求出，利用中心点求得，然后令代入可得估计值，求得留在当地过年的人员数，可得补贴总额．
本题主要考查了线性回归方程的求解和应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，等价于，
化简得，
方程恰有两个不同的实数根，，
，解得，
又因为，所以，
所以，
即或．
综上即实数的取值范围是
故答案为：
由于，将已知方程两边平方，利用一元二次不等式的性质求解即可．
本题考查了转化思想、一元二次方程有两不相等的实数根的情况，也考查了计算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对于，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点，，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，
所以，
用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以正确；
对于，根据三角形的等面积法可知，
即，所以，所以错误；
对于，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即，
所以，得，所以这样的点只有一个，所以正确；
对于，因为，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的最大值为，所以正确．
故答案为：．
对于，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将替换方程中的进行判断，对于，根据三角形的等面积法分析判断，对于，由题意得，从而可得点在轴上，计算可判断，对于，由向量的性质结合余弦定理分析判断．
本题考查曲线的定义和性质，属中档题．
 

17.【答案】解：，
，
又函数的图象过点，且，
，
解得；
由知，，
，，
曲线在点处的切线方程为：
，即． 

【解析】根据方程思想，即可求解；
根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
本题考查导数的几何意义，方程思想，利用导数求切线，属基础题．
 

18.【答案】解：由第项和第项的二项式系数相等可得 ，解得 ．
由知，展开式的第项为：；
令得，此时：展开式的常数项为：． 

【解析】由第项和第项的二项式系数相等可得，由此求得的值．
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
 

19.【答案】解：记“摸出一球，放回后再摸出一球，两球颜色不同”为事件，
摸出一球得白球的概率为，
摸出一球得黑球的概率为，
由互斥事件和相互独立事件的概率公式可得；
由题意知的可能取值为，，，
其中，，
，
，
，
，
即摸出白球个数的期望和方差分别是和， 

【解析】由互斥事件和相互独立事件的概率公式即得；
由题意知可能取，，，根据取值对应的事件求出相应的概率，再代入期望和方差公式计算即可．
本题考查运用概率知识解决实际问题的能力，属中档题．
 

20.【答案】解：由，得，
因为在处的切线与轴平行，
所以，解得．
因为在区间上是严格增函数，
所以，则在区间上恒成立，
当时，则，所以，
所以实数的取值范围是．
函数的定义域为．
当时，对任意的，，此时函数无极值点；
当时，令，可得，
由，可得，由，可得．
此时，函数的减区间为，增区间为．
所以，函数在处取得极小值．
综上所述，当时，函数无极值点；
当时，函数的极小值点为． 

【解析】求出，由在处的切线与轴平行，可得，再求出实数的值；
由条件可知，，即在区间上恒成立，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；
分、两种情况讨论，判断导数的符号变化，由此可得出函数的极值点的情况．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，方程思想和转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：由椭圆：的方程可得两个焦点，的坐标分别为，，
题意可得双曲线的顶点坐标为，
设双曲线的方程为：，则，
又离心率，，，
所以双曲线的标准方程为：；
证明：设，则，
由题意，
即证得直线，的斜率之积为定值；
由可得积为定值，可得直线，的斜率存在且不为，
设直线方程为，设，，
联立，整理可得：，
因为在椭圆内部，所以，，，
所以，
因为两条直线的斜率之积为，则斜率的倒数之积也为，同理可得，
所以求，
因为是不为的实数，所以，
因为渐近线方程的斜率为，直线与双曲线有两个交点，则直线，的斜率不等于，则，
所以，，
可得的取值范围为，
所以的取值范围为：． 

【解析】由椭圆的方程可得它的焦点的坐标，即双曲线的顶点坐标，再由双曲线的渐近线的方程可得的值，即求出双曲线的方程；
设的坐标，代入双曲线的方程，可得的横纵坐标的关系，求出直线，的斜率之积的表达式，将的横纵坐标的关系代入，可证得斜率之积为定值；
由可知两条直线的斜率为定值，可得直线的斜率存在且不为，且斜率的倒数之积也为，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出弦长的表达式，同理可得的表达式，进而求出的表达式，分离常数，再由参数的范围，求出的取值范围．
本题考查求双曲线的方程及直线与椭圆的综合应用，分离常数求值域的方法的应用，属于中档题．