2022-2023学年安徽省皖北县中联盟高一（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

2022-2023学年安徽省皖北县中联盟高一（下）联考数学试卷（6月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若复数是纯虚数，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列叙述正确的是(    )

A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点

3.  已知向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则是(    )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上选项都不对

5.  已知平面、、两两垂直，直线、、满足，，，则直线、、不可能满足的是(    )

A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面

6.  已知复数满足，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 的虚部与实部相等
C.  D. 存在复数，使

7.  位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里时的速度沿正西方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以海里时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度单位：海里时应为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在边长为的菱形中，，现将菱形沿对角线折起，当时，三棱锥外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法正确的是(    )

A. 复数的虚部为
B. 方程的复数根为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

10.  已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 若为斜三角形，则
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则一定是等边三角形

11.  如图，正四棱柱中，，，分别为，的中点，则下列结论错误的是(    )

A. 平面
B. 直线与直线所成的角为
C. 平面与平面的夹角为
D. 直线与平面所成的角为
 

12.  已知正的边长为，中心为，是的内切圆上一点，则(    )

A.  B. 满足的点只有个
C.  D. 满足的点有个

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知复数满足，则 ______ ．

14.  若，且，则实数的值为______ ．

15.  已知正方体的棱长为，则到平面的距离为______ ．

16.  在中，，是的角平分线，且交于点若的面积为，则的最大值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知复数满足．
求；
求．

18.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若的面积为，求的最小值．

19.  本小题分
如图所示，在▱中，，，，．
试用向量，来表示，；
若，求证：，，三点共线．

20.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点．
判断多面体是否为棱柱并说明理由；
求多面体的体积；
求证：平面平面D.

21.  本小题分
已知空间几何体中，是边长为的等边三角形，是腰长为的等腰直角三角形，四边形是正方形．
设平面平面，求证：；
求三棱锥的体积．
 

22.  本小题分
如图，在梯形中，，，，．
若，求的面积；
若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是纯虚数，
，解得：．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为且虚部不为求得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
对于，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误；
对于，，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，，C错误；
对于，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确．
故选：．
利用棱锥与棱台的关系，结合棱台的定义判断即可．
本题考查棱台的定义以及结构特征的应用，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，
若，必有，
则有，必有．
故选：．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，变形可得答案．
本题考查向量平行的坐标表示，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，根据斜二测画法可知，在原图形中，为的中点，
，
由斜二测画法，，可得，
则是以为斜边的等腰直角三角形，如图所示：
故选：．
画出图形，就是边长，判断三角形的形状即可．
本题考查斜二测画平面图形的方法，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：平面、、两两垂直，直线、、满足，，，
所以直线、、在三个平面内，不会是共面直线，
所以：当直线两两平行时，、、为共面直线．
与已知条件整理出的结论不符．
故选：．
直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
则，
的实部为，虚部为，故AB错误；
，故C错误；
当时，，故D正确．
故选：．
根据已知条件，先对化简，即可判断，再结合实部、虚部的定义，复数模公式，即可判断，再结合特殊值，即可判断．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意作图，如图所示，，，，
假设经过小时后小艇和轮渡在点处相遇，
显然当时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小，为海里，
海轮航行的距离为海里，
故航行时间小时，所以小艇的航行速度海里时．

故选：．
由题中条件做出图形，易知当时，轮渡与小艇相遇时小艇的航行距离最小，再解直角三角形即可求出，，从而先求出再求出．
本题考查解三角形的实际应用问题，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意在边长为的菱形中，，现将菱形沿对角线折起，可知，
和为等边三角形，如图所示．
取中点，连接，，则，，同理可得，
又，则，，故AE平面．
球心在平面内的投影为的外心，
过作于，则为的外心，可知，，
则在中，，，所以外接球半径，
外接球表面积为．
故选：．
画出图形，取中点，连接，，推出平面球心在平面内的投影为的外心，过作于，则为的外心，然后求解半径，求解外接球表面积．
本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，，虚部为，A错误；
对于，，
则，解得，故B正确；
对于，，则，
复平面内对应的点在轴负半轴上，故C错误；
对于，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确．
故选：．
对于，结合复数的四则运算，虚部的定义，即可求解；
对于，结合复数的四则运算，即可求解；
对于，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解；
对于，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由正弦定理和比例性质得，故A正确；
对于，由题意，，
则，
所以，故B正确；
对于，因为，所以，所以，
所以为钝角，是钝角三角形，故C错误；
对于，因为，
所以，
所以，且，，，
所以，所以为等边三角形，故D正确．
故选：．
由正弦定理和比例性质可以判断，选项，根据诱导公式及两角和公式判断选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断选项，
本题主要考查三角形的形状判断，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，如图，连接，由题意，
又，分别为，的中点，可得，
若平面，则，
进而，这显然不成立，故B与平面不垂直，A错误；
对于，假设直线与直线所成的角为，即，
由正四棱柱的性质可知平面，
而平面，所以，
又与相交，、面，所以平面，
而由正四棱柱的性质可知平面，所以，显然这是不可能的，
所以假设不成立，因此B错误；
对于，分别延长，交于点，连接，
则直线即为平面与平面的交线，连接，，
因为且，所以，所以，
又平面，面，所以，
又，，面，所以平面，
又面，所以，
所以即为平面与平面的夹角，
易知，故，C错误；
对于，可证，则直线与平面所成的角为，
又根据题意易知，D正确．
故选：．
对于，若平面，则，与矛盾；对于，假设直线与直线所成的角为，可得平面，所以，显然这是不可能的；对于，可证得即为平面与平面的夹角，求判断即可；对于：直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角．
本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，记的中点为，由正三角形的性质知在内切圆上且为内切圆圆的直径，如图，连接，，从而有A正确；
对于，，因为的边长为，所以内切圆半径为当且仅当为中点时，，B正确；
对于，，易知与的夹角，所以，C错误；
对于，，要使，则，分析可知此时恰为线段与内切圆的公共点，又当与重合时，也满足题意，故这样的点有个，D正确．

故选：．
对于：可画出图形，记的中点为，从而得出，A正确；
对于：得出，并得出内切圆的半径为，从而得出为中点时，，从而判断的正误；
对于：得出，并看出与的夹角为钝角，从而判断的正误；
对于：得出，，此时为线段与内切圆的公共点，并且与重合时也满足题意，从而判断的正误．
本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，三角形重心的性质，向量垂直的充要条件，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，
得，
所以，．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：



即



故答案为
利用向量垂直的充要条件得到，再一次利用向量垂直的充要条件及向量的运算律得到关于的方程，求出的值．
解决向量垂直的问题，应该利用向量垂直的充要条件：向量的数量积为；解决向量模的问题常利用向量模的性质：向量的模的平方等于向量的平方．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，，
，
又平面，平面，
，又，
平面，又平面，
，
同理可得，故AC平面．
连接交于，连接交于点，
可以证明∽，则，
所以，
即到平面的距离为．
故答案为：．
利用正方体的性质直接求解即可．
本题考查几何体点线面距离的求法，正方体的简单性质的应用，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设角，，的对边分别为，，，
由题意，得，
又因为，
整理得，当且仅当时，等号成立，
故A的最大值为．
故答案为：．
利用三角形的面积公式，结合，找到与边，的关系，结合基本不等式求解．
本题考查三角形的面积公式、基本不等式的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由，得．
；
，
则． 

【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得．
利用复数代数形式的减法运算求解；
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位的运算性质求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
 

18.【答案】解：由，
得，
又，所以，
所以，
整理得，
因为，所以，故，
又，所以．
因为的面积，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
即，，
故的最小值为． 

【解析】由正弦定理，将边化角，结合诱导公式，得到关于的方程，求出的值，即可获解；
利用面积公式、余弦定理，结合基本不等式求出的最小值，即可求得的最小值．
本题考查正余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：由题意，，
，
；
，
，
，
，．
证明：，
，
，
，
，，，三点共线． 

【解析】根据几何关系，结合图象以及向量的运算法则，即可表示出，；
根据已知可推得，然后根据向量的运算即可得出，，进而得出证明．
本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是中档题．
 

20.【答案】解：多面体不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有个平行四边形，而多面体只有个面是平行四边形，故不是棱柱．
易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
故多面体的体积．
证明：因为，分别是，的中点，所以，
所以四边形为平行四边形
所以D.又平面，平面，所以平面D.
易知，得四边形为平行四边形．
所以，又平面，平面，所以平面D.
而，，平面，
所以平面平面D. 

【解析】根据棱柱的特征判断即可；
利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；
根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明．
本题主要考查棱柱的结构特征，考查面面平行的判定，属于中档题．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，，
又平面，平面，平面，
又平面，平面平面，；

解：法一：取的中点，连接，
是边长为的等边三角形，，且易得，
是边长为的等边三角形，四边形是正方形，
，
而是腰长为的等腰直角三角形，，
又由题意知，，，平面，
平面，而平面，，
，、平面，
所以平面，
三棱锥的体积即为三棱锥的体积，
，
故三棱锥的体积为；

法二：是边长为的等边三角形，四边形是正方形，
，
而是腰长为的等腰直角三角形，，
又由题意知，，，平面，
平面，
易知，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
即，
故三棱锥的体积为． 

【解析】由线面平行的判定定理可得平面，线面平行的性质定理可得，
法一：取的中点，由线面垂直的判定定理得平面，性质定理得，再由线面垂直的判定定理得平面，再由棱锥的体积公式可得答案；法二：由线面垂直的判定定理得平面，根据三棱锥的体积与三棱锥的体积相等求出．
本题主要考查线线垂直的证明，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题意可得，在中，，，，
由余弦定理得

，
整理可得，
解得，
可得的面积．
设，
因为，
所以，，
则，
在中，由正弦定理得，
可得，
解得，
易知为锐角，
故可得，，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，
可得，
解得，
故BD的长为． 

【解析】由题意在中，由余弦定理可得，解方程可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
设，在中，由正弦定理可求得，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而可求的值，进而在中由正弦定理可求的值．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．