2023年河南省南阳市卧龙区南阳市第二十一学校中考三模数学试题（含答案）

2023年中招模拟 数学

注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷或答题卡上。
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．的相反数是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．纳米技术，是研究结构尺寸在1至100纳米范围内材料的性质和应用．有一种纳米材料其理论厚度是0.00000000069m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ）

A．    B．

C．    D．

3．由7个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（    ）

A．    B．

C．   D．

4．如图，直线AB、CD相交于点O．，=65°，则的大小为（    ）

A．145°    B．105°    C．165°    D．155°

5．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A．    B．

C．    D．

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若OA=3，EF=2，则菱形ABCD的边长为（    ）

A．2    B．2.5    C．3    D．5

7．下列方程中，没有实数根的是（    ）

A．  B．  C．   D．

8．在4张卡片上分别标有2，3，4，5这四个数字，任意抽取两张卡片并将所标数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（    ）

A．    B．    C．    D．

9．如图1，，点P从A点出发，匀速向点B运动，连接CP，设AP的长为x，CP的长为y，则y关于x的函数图形如图2所示，其中函数图象最低点．则的周长为（    ）

A．    B．    C．    D．

10．如图，正方形OABC中，点，点D为AB上一个动点，连接CD，点P为CD中点，绕点D将线段DP顺时针旋转90°得到线段DQ，连接BQ，当点Q在射线OB的延长线上时，点D的坐标为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．计算：______．

12．在中，分别交AB、AC于点M、N；若AM=1，MB=2，BC=3则MN的长为______．

13．某学校本学期第一次抽考（含数学、英语、物理、化学四科），四科的满分都为100分．甲、乙、丙三人四科的测试成绩如下表：综合成绩按照数学、英语、物理、化学四科测试成绩的1.2：1：1：0.8的比例计分，则综合成绩的第一名是______．

14．如图，在扇形AOB中，=90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D．点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA=4，则阴影部分的面积为______．

15．如图，中，90°，AC=3，AB=4，点P为AB上一个动点，将沿直线CP折叠得到，点A的对应点为点Q，连接BQ，若为直角三角形时，BQ的长为______．

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．（10分）计算：

（1）；（2）．

17．（9分）某校准备修建标准化操场，工程招标时有A，B两家公司应标，为选择合适的公司，该校成立了25人的评审团，对这两家公司进行了综合测评，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a．测评分数（百分制）如下：

A 77 79 80 80 85 86 86 87 88 89 89 90 91 91 91 91 91 92 93 95 95 96 97 98 98

B 69 87 79 79 86 79 87 89 90 89 90 90 90 91 90 92 92 94 92 95 96 96 97 98 98

b．按如下分组整理、描述这两组样本数据：

注：分数90分及以上为优秀，80~89分为合格，80分以下为不合格．

c．A，B两家公司测评分数的平均数、众数、中位数如表所示：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中a，b，c，d的值；

（2）记A公司测评分数的方差为，B公司测评分数的方差为，则，的大小关系为______；

（3）根据抽样调查情况，可以推断______公司的综合测评较好，理由为______．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

18．（9分）教师节前夕，某校举行了教师节表彰大会，表彰结束后，教师们自编自演了若干节目喜迎佳节，数学王老师坐在台下距离舞台大屏BC水平距离为9m的A处观看节目，如图，王老师用手机软件测得大屏上端B的仰角为30°，测得大屏下端C的仰角为13.7°（BC垂直于地面），你能帮王老师算出大屏BC的高度吗？（结果精确到0.1m．参考数据：；；；；）

19．（9分）如图，以为内接三角形的半中，AB为直径，BD切半于点B．

（1）作的角平分线，交BC于点M，交于点N，交BD于点E，连接BN．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下．

①求证：BM=BE；

②若ME=4，BE=5，求AM的长．

20．（9分）某校为加强学生的身体素质，举行了丰富多彩的体育活动，本周末，将举行“跳大绳”比赛，比赛规则：每班选择两名学生在距离10m的位置摇动大绳，大绳下至少有10名学生同时跳绳，按同时跳绳的时间计算名次．

九（2）班选择小明和小亮摇动大绳，在训练中发现，他们持绳点距地面均为1m，大绳在最高处时，大绳的形状可近似看作抛物线，如图，以小明的持绳点的竖直方向为y轴，以水平地面为x轴建立平面直角坐标系，小明和小亮的持绳点分别为点A和点B，在离点O的水平距离为5m时，大绳的最大高度为2m．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）为增加比赛的观赏性，九（2）班准备选择若干名身高均为1.75m的同学参与跳绳，已知每位同学在绳下的距离均为0.5m，请问，九（2）班这样的设计是否能够达到比赛的要求？请说明理由．

21．（9分）某校在“二十大”胜利闭幕后，组织全校学生参加了“党史在心中”知识竞赛，校团委选择了甲、乙两种马克杯作为奖品，乙马克杯比甲马克杯的单价贵5元，花200元买甲马克杯与花400元买乙马克杯的数量相同．

（1）求甲、乙马克杯的单价；

（2）若需购进甲、乙马克杯共100个，且乙马克杯数量不少于甲马克杯数量的，则如何购买才能使得费用最少？

（3）为奖励部分竞赛成绩特别突出的同学，校团委又选择了一种可以定制图案和文字的马克杯，这种马克杯的单价为20元/个，校团委同时购买3种马克杯，共花费2000元．若甲马克杯数量是乙马克杯的3倍，则最多可购买3种马克杯共多少个？

22．（10分）如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构成，其中，，，90°，DE=3，AF=BC=1，轴且点E的纵坐标为4，设直线EF的解析式为，双曲线CD的解析式为．点P为双曲线CD上一个动点，过点P作，垂足为G，交EF于点Q，以PQ为边在图形W内部作矩形PQNM，MN在x轴上．

（1）求直线EF和双曲线CD的解析式；

（2）若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．

23．（10分）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．

特殊情况分析

（1）如图1，正方形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，将射线PD绕点P顺时针旋转的度数，交直线BC于点Q．

小明的思考如下：

填空：①依据1应为______，

②依据2应为______，

③依据3应为______；

一般结论探究

（2）将图1中的正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；

结论拓展延伸

（3）若120°，AD=3，当为直角三角形时，请直接写出线段PQ的长．

数学

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．B  2．C  3．B  4．D  5．B

6．D  7．B  8．A  9．C  10．C

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．4 12．1 13．甲 14． 15．2或

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）

16．解：（1）原式．

（2）原式

．

17．解：（1）由题意可知，A公司的测评分数在中有2个，故a=2；B公司的测评分数在中有5个，故b=5；

B公司的测评分数出现次数最多的是90，所以众数是90，即c=90；

将A公司的测评分数从小到大排列处在中间位置的一个数是91，因此中位数是91，即d=91；

（2）由A，B公司的测评分数大小波动情况，直观可得，

故答案为：<；

（3）可以推断A公司较好，理由为：①A公司的测评分数的中位数、众数均比B公司的高；②A公司的测评分数方差比B公司小．

18．解：如图，过点A作交BC延长线于点D，

由题意得，13.7°，30°，

在中，AD=9，；

在中，AD=9，；

∴

答：大屏BC的高度约为3.0m．

19．（1）如图所示；

（2）证明：∵AB是的直径，∴90°，

∴90°

而，∴90°，

∵BE是的切线，∴，∴90°

∴90°，

又∵AN平分，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵AB为直径，

∴90°，且，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

20．解：（1）设大绳所在抛物线的解析式为

由题意得顶点坐标为，则抛物线解析式为，

将点代入可得，，

∴所求的抛物线的解析式是（或）；

（2）当y=1.75时，，

解得，，

（人）

则九（2）班这样的设计能够达到比赛的要求．

21．解：（1）设甲马克杯的单价为x元，则乙马克杯单价（x+5）元，

由题意，得，解得：x=5，

经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，

x+5=5+5=10（元）．

答：甲、乙马克杯的单价分别为5元和10元；

（2）设购买甲马克杯m个，则乙马克杯（100-m）个，费用为w元，

由题意可得：，

解得：，

，

∵，∴w随着m的增大而减小，

∴m=75时，w有最小值为625元，

∴购买甲马克杯75个，乙马克杯25个，费用最少；

（3）设购买乙马克杯a个，则甲马克杯3a个，丙马克杯b个，

由题意可得：，

∴，∴，

∵，∴，且a是4的倍数，

∴a最大为值为76，

∴马克杯总数为（个）．

∴最多可购买3种马克杯共309个．

22．解：（1）∵，，

∵，∴，，

∵C点在函数图象上，∴，

∴反比例函数的解析式为，

∵点E的纵坐标为4，轴，∴，

∵，∴，

直线EF的解析式为，

∴，解得，∴，

（2）设，则，

若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，

由题意得，，

∴，

解得，，

∴点P的坐标为或．

23．解：（1）①两直线平行，内错角相等，

②同弧所对的圆周角相等，

③等角对等边；

（2）如图1，

（1）中结论仍然成立，理由如下：

连接DQ，

∵，∴180°，，

∵180°，∴点D、P、C、Q共圆，

∴，，

∵AC为菱形ABCD的对角线，∴，∴，∴；

（3）或3．

【提示】如图2，

当90°时，

∵，∴30°，

∵，∴30°，

∴，

∴，

∴90°，

∴，

∴，

如图3，

当90°时，点P与点A重合，

，

综上所述：或3．