高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第4章 §4.1 第2课时　数列的递推公式(含解析)

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第2课时　数列的递推公式
学习目标　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式．

知识点一　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
思考　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
答案　不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．
知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．an＝

1．在数列{an}中，若an＋1＝2an，n∈N*，则a2＝2a1.(　√　)
2．利用an＋1＝2an，n∈N*可以确定数列{an}．(　×　)
3．递推公式是表示数列的一种方法．(　√　)
4．S2n表示数列{an}中所有偶数项的和. (　×　)

一、由递推公式求数列的指定项
例1　设数列{an}满足an＝
写出这个数列的前5项．
解　由题意可知a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.
反思感悟　由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．
(3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．
跟踪训练1　(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
(2)已知数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 020的值为(　　)
A. B．－1 C．2 D．1
答案　C
解析　由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1,2，，－1，….
而2 020＝673×3＋1，
故a2 020＝a1＝2.
二、由递推公式求通项公式
例2　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为
an＝.
方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1，所以an＝(n∈N*)．
方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，
a1＝1，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*)．
反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
解　因为an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－.
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1
＝－＋1.
又a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
解　因为ln an－ln an－1＝1，
所以ln ＝1，
即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1

＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
三、利用Sn与an的关系求通项公式
例3　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
解　因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究　
将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解　因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
当n＝1时不符合上式．
所以an＝
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；
否则数列{an}的通项公式要分段表示为an＝
跟踪训练3　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn＝2n2＋3n＋2；
(2)Sn＝3n－1.
解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，
所以an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N*)．

1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　D
解析　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于(　　)
A．36 B．35 C．34 D．33
答案　C
解析　a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，
a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.
∴a2＋a18＝34.
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　B
解析　因为an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，
由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，
所以a2 020＝a336×6＋4＝a4＝1.
4．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝n2＋n，则an＝________.
答案　2n，n∈N*
解析　∵Sn＝n2＋n，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
验证当n＝1时上式成立．
∴an＝2n，n∈N*.
5．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可以是an＝an－1＋________(n∈N*，n≥2)．由a10＝55，则a12＝________.
答案　n　78
解析　由已知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，
所以递推公式可以写成an＝an－1＋n.
所以a12＝a11＋12＝a10＋11＋12＝78.

1．知识清单：
(1)数列的递推公式．
(2)数列的前n项和Sn与an的关系．
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n=1时的情况.


1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是(　　)
A．15 B．255 C．16 D．63
答案　B
解析　由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.
2．数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是(　　)
A．an＋1＝2an B．an＋1＝－2an
C．an＋1＝an D．an＋1＝－an
答案　D
3．(多选)数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)
B．an＝2an－1(n≥2，n∈N*)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)
D．a1＝2，an＋1＝an＋2(n∈N*)
答案　CD
解析　A，B中没有说明某一项，无法递推．
4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于(　　)
A．n2＋1 B．n＋1
C．1－n D．3－n
答案　D
解析　∵an＋1－an＝－1.
∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.
当n＝1时，a1＝2也符合上式．
故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*)．
5．(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，下列说法正确的是(　　)
A．a1＝3 B．an＝2n(n≥2)
C．an＝2n D．an＝2n(n≥2)
答案　AD
解析　Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.
当n＝1时，不符合上式，
故an＝
6．已知在数列{an}中，a1＝2，an＝－(n≥2，n∈N*)，则a2 020＝________.
答案　－
解析　∵a2＝－＝－，a3＝－＝2＝a1，a4＝－＝a2，
∴{an}的周期为2，∴a2 020＝a2＝－.
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，n∈N*，则an＝________.
答案　－2n＋1，n∈N*
解析　由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝1－2n，
当n＝1时，a1＝S1＝－1也符合上式．
∴an＝－2n＋1(n∈N*)．
8．已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______.
答案　
解析　a1a2…a8＝82，①
a1a2…a9＝92，②
②÷①得，a9＝＝.
9．已知数列{an}满足an＋1－an＝n＋2(n∈N*)，且a1＝1.
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)令bn＝4an－68n，求数列{bn}的前4项．
解　(1)因为an＋1－an＝n＋2，且a1＝1，
所以a2＝4，a3＝8，a4＝13.
(2)b1＝4a1－68×1＝4×1－68×1＝－64，
b2＝4a2－68×2＝4×4－68×2＝－120，
b3＝4a3－68×3＝4×8－68×3＝－172，
b4＝4a4－68×4＝4×13－68×4＝－220.
10．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an.
解　因为an＋1－an＝，
所以a2－a1＝，
a3－a2＝，
a4－a3＝，
…，
an－an－1＝(n≥2)，
以上各式累加得，
an－a1＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－.
所以an＋1＝1－，
所以an＝－(n≥2)，
因为a1＝－1也符合上式，
所以an＝－(n∈N*)．

11．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 020等于(　　)
A．－3 B．0 C. D．3
答案　B
解析　由题意知a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，a5＝＝－，…，由此可知，an＋3＝an.所以数列{an}的周期为3，
又2 020＝3×673＋1，所以a2 020＝a1＝0.
12．下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图．

若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an}，{an}的前n项和为Sn，则下列说法中正确的是(　　)
A．数列{an}是递增数列
B．数列{Sn}是递增数列
C．数列{an}的最大项是a11
D．数列{Sn}的最大项是S11
答案　C
解析　因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，
即a7>a8，
所以{an}不是递增数列，所以选项A错误；
因为2月23日新增确诊病例数为0，
所以S33＝S34，
所以数列{Sn}不是递增数列，
所以选项B错误；
因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，
所以数列{an}的最大项是a11，所以选项C正确；
数列{Sn}的最大项是最后项，所以选项D错误．
13．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
答案　A
解析　因为a1>0，且an＋1＝an，
所以an>0，
所以＝0，
∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，
∴···…·
＝×××…×＝(n≥2)，
∴＝.
又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
又a1＝1也适合上式，∴an＝，n∈N*.
方法二　(迭代法)
同方法一，得＝，
∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2
＝···an－3
…
＝···…·a1＝a1.
又∵a1＝1，∴an＝.
方法三　(构造特殊数列法)
同方法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，
∴数列{nan}是常数列，
∴nan＝1·a1＝1，∴an＝(n∈N*)．

15．在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.
答案　28
解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
16．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若a4＝4，求m所有可能的取值．
解　若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1，若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，若a2为偶数，则＝1，a2＝2.
若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)，
若a1为偶数，＝2，a1＝4；
若a3为偶数，则＝4，a3＝8，
若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)．
若a2为偶数，则＝8，a2＝16.
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5.
若a1为偶数，则＝16，a1＝32.
故m所有可能的取值为4,5,32.