高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第二册 第5章 5.2.1　基本初等函数的导数(含解析)

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§5.2　导数的运算5.2.1　基本初等函数的导数学习目标　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一　几个常用函数的导数知识点二　基本初等函数的导数公式1．若y＝eq \r(2)，则y′＝eq \f(1,2)×2＝1.(　×　)2．若f(x)＝eq \f(1,x3)，则f′(x)＝－eq \f(3,x4).(　√　)3．若f(x)＝5x，则f′(x)＝5xlog5e.(　×　)4．若y＝sin 60°，则y′＝cos 60°.(　×　)一、利用导数公式求函数的导数例1　求下列函数的导数：(1)y＝x0；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lg x；(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq \f(x,2)－1.解　(1)y′＝0.(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))xln 3.(3)y′＝eq \f(1,xln 10).(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝∴(5)∵y＝2cos2eq \f(x,2)－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.反思感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．如y＝eq \f(1,x4)可以写成y＝x－4，y＝eq \r(5,x3)可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．跟踪训练1　求下列函数的导数：(1)y＝2 020；(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.解　(1)因为y＝2 020，所以y′＝(2 020)′＝0.(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝所以y′＝(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.(4)因为y＝log3x，所以y′＝eq \f(1,xln 3).二、利用导数研究曲线的切线方程例2　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．解　∵y′＝eq \f(1,x)，∴k＝y′|x＝e＝eq \f(1,e)，∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.延伸探究　求曲线y＝ln x的过点O(0,0)的切线方程．解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上．∴设切点Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，∴Q(e,1)，∴k＝eq \f(1,e)，∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.反思感悟　(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练2　(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　)A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16答案　A解析　因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，求c的值．解　设切点为(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x).因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.所以＝eq \f(1,x0)＝1，即x0＝1，所以切点为(1,0)．所以1－0＋c＝0，所以c＝－1.利用导数公式求切点坐标问题典例　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．解　由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的切线斜率为k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.故可得P(1,1)，∴与直线l平行的抛物线的切线方程为2x－y－1＝0.故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．[素养提升]　(1)利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．(2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养．1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)；②y＝eq \f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq \f(2,27)；③y＝2x，则y′＝2xln 2；④y＝log2x，则y′＝eq \f(1,xln 2).其中正确命题的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．4答案　C解析　对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－eq \f(2,x3)，∴y′|x＝3＝－eq \f(2,27)，故②正确；显然③，④正确．2．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于(　　)A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1答案　C解析　f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝∴f′(8)3．(多选)下列结论正确的是(　　)A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝eq \f(1,\r(x))，则y′＝－eq \f(1,2)eq \r(x)C．若y＝eq \r(x)，则y′＝eq \f(1,2\r(x))D．若y＝x，则y′＝1答案　ACD解析　只有B是错误的．因为y′4．已知f(x)＝ln x且f′(x0)＝eq \f(1,x\o\al(2,0))，则x0＝        .答案　1解析　因为f(x)＝ln x(x>0)，所以f′(x)＝eq \f(1,x)，所以f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝eq \f(1,x\o\al(2,0))，所以x0＝1.5．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是            ．答案　x＋y－6＝0解析　∵y′＝－eq \f(9,x2)，∴y′|x＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.1．知识清单：(1)常用函数的导数．(2)基本初等函数的导数公式．(3)切线方程．2．方法归纳：方程思想、待定系数法．3．常见误区：不化简成基本初等函数.1．下列求导运算正确的是(　　)A．(cos x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln xC．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)答案　A2．下列各式中正确的个数是(　　)①(x7)′＝7x6；②(x－1)′＝x－2；③(eq \r(5,x2))′ ④(cos 2)′＝－sin 2.A．2 B．3 C．4 D．5答案　A解析　∵②(x－1)′＝－x－2；④(cos 2)′＝0.∴②④错误，故选A.3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　)A．4 B．－4 C．5 D．－5答案　A解析　∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴a＝4.4．若函数f(x)＝cos x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值为(　　)A．0 B．－1 C．1 D．2答案　A解析　f′(x)＝－sin x，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＋cos eq \f(π,4)＝0.5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)A．(－1,1) B．(－1，－1)C．(1,1) D．(1，－1)答案　BC解析　y′＝3x2，因为k＝3，所以3x2＝3，所以x＝±1，则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．6．已知[cf(x)]′＝cf′(x)，其中c为常数．若f(x)＝ln 5log5x，则曲线f(x)在点A(1,0)处的切线方程为              ．答案　x－y－1＝0解析　由已知得f′(x)＝ln 5 eq \f(1,xln 5)＝eq \f(1,x)，所以f′(1)＝1，在A点处的切线方程为x－y－1＝0.7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是        ．答案　4解析　因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，所以切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，令y＝0，得x＝－a，由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.8．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq \f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为        ．答案　(1,1)解析　设f(x)＝ex，则f′(x)＝ex，所以f′(0)＝1.设g(x)＝eq \f(1,x)(x>0)，则g′(x)＝－eq \f(1,x2).由题意可得g′(xP)＝－1，解得xP＝1.所以P(1,1)．9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．解　设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，因为y′＝2x，所以k＝2x0，又点(x0，xeq \o\al(2,0))在切线上，所以xeq \o\al(2,0)＋2＝2x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,2)))，所以x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，所以直线方程为y＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))或y＋2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.11．已知函数f(x)＝x3在某点处的切线的斜率等于1，则这样的切线有(　　)A．1条 B．2条C．多于2条 D．不能确定答案　B解析　y′＝f′(x)＝3x2，设切点为(x0，xeq \o\al(3,0))，由3xeq \o\al(2,0)＝1，得x0＝±eq \f(\r(3),3)，即在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),9)))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),9)))处均有斜率为1的切线，故有2条．12．若曲线y＝xα＋1(α∈Q且α≠0)在点(1,2)处的切线经过原点，则α＝        .答案　2解析　y′＝αxα－1，所以y′|x＝1＝α，所以切线方程为y－2＝α(x－1)，即y＝αx－α＋2，该直线过点(0,0)，所以α＝2.13．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为                    ．答案　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z))))解析　∵f′(x)＝－sin x，g′(x)＝1，∴由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，即sin x≥1，则sin x＝1，解得x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴其解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))).14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 020(x)＝        .答案　sin x解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是        ．答案　21解析　∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \o\al(2,k))处的切线方程为y－aeq \o\al(2,k)＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，∴ak＋1＝eq \f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．解　导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)，0))，则an＝lg eq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝eq \f(1,x)f′(x)＝－eq \f(1,x2)f(x)＝eq \r(x)f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq \f(1,xln a)f(x)＝ln xf′(x)＝eq \f(1,x)