广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高一下学期复学考试（线上测试）数学试题 Word版含解析

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数学试卷

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.

2.考试时间120分钟，满分150分.

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知点在第三象限，则角的终边在（　   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.

【详解】因为点在第三象限，则，，

所以，

则可知角的终边在第二象限.

故选B.

【点睛】本题考查各象限三角函数符号的判定，属基础题.相关知识总结如下：

第一象限：；

第二象限：；

第三象限：；

第四象限：.

2.已知平面向量，，且，则＝

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量平行求出x的值，结合向量模长的坐标公式进行求解即可．

【详解】且 ，则

故

故选B.

【点睛】本题考查向量模长的计算，根据向量平行的坐标公式求出x的值是解决本题的关键．

3.的图像的一条对称轴是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦函数的对称轴，求得题目所求函数的对称轴.

【详解】依题意，即，当时，，故选B.

【点睛】本小题主要考查正弦函数的对称轴，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

4.下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

A.

B．

C．

D．

故答案为B.

5.要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(　　)

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位

【答案】D

【解析】

要得到函数y＝sin，只需将函数y＝sin 2x中的x减去，即得到y＝sin 2＝sin．

6.已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．

【详解】∵已知tanα，∴tanα，

则，

故选B．

【点睛】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．

7.下图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为

A. 5，5 B. 3，5 C. 3，7 D. 5，7

【答案】B

【解析】

【分析】

利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．

【详解】由茎叶图得：

∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，

∴65＝60+y，解得y＝5，

∵平均值也相等，

∴，

解得x＝3．

故选B．

【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8.如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为(　　)

A. ＋ B. 2－ C. －2＋ D. 2＋

【答案】C

【解析】

以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，则．

设，则，

∴，解得，所以．选C．

点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法．常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解．

9.已知，的线性回归直线方程为，且，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为

A 变量，之间呈现正相关关系 B. 可以预测，当时，

C.  D. 由表格数据可知，该回归直线必过点

【答案】C

【解析】

【分析】

A中，根据线性回归直线方程中回归系数0.82＞0，判断x，y之间呈正相关关系；B中，利用回归方程计算x＝5时的值即可预测结果；C中，计算、，代入回归直线方程求得m的值；D中，由题意知m＝1.8时求出、，可得回归直线方程过点（，）．

详解】已知线性回归直线方程为0.82x+1.27，

0.82＞0，所以变量x，y之间呈正相关关系，A正确；

计算x＝5时，0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x＝5时y＝5.37，B正确；

（0+1+2+3）＝1.5，（0.8+m+3.1+4.3），

代入回归直线方程得0.82×1.5+1.27，解得m＝1.8，∴C错误；

由题意知m＝1.8时，1.5，2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D正确．

故选C．

【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．

10.已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据函数的最大值和最小值求得和，然后利用图象求得函数的周期，求得，最后根据时取最大值，求得．

【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得

函数的周期为，即

当时取最大值，即

故选C．

【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．

11.已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据题意，由同角三角函数基本关系，求出，，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.

【详解】因为，所以，，

又

所以，，

因此

.

故选：A.

【点睛】本题主要考查已知三角函数值求出三角函数值的问题，熟记同角三角函数基本关系，以及两角差的余弦公式即可，属于常考题型.

12.设，，，则的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两角和与差的正弦、余弦公式，以及同角三角函数基本关系，分别化简，即可求出结果.

【详解】，

，

，

因为，所以.

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数值的比较大小，熟记三角恒等变换常用公式即可，属于常考题型.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.=____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由，根据两角差的正弦公式，即可求出结果.

【详解】

故答案为：.

【点睛】本题主要考查求三角函数值，熟记两角差的正弦公式即可，属于基础题型.

14.某单位要从200名职工中抽取40名作为样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第18组抽出的号码应是_________.

【答案】87

【解析】

【分析】

根据题意，确定分组间隔，根据第5组抽出的号码，即可直接得出结果

【详解】由题意，用系统抽样的方法，从200名职工中抽取40名作为样本，则分组间隔为，

又第5组抽出的号码为22，

所以第18组抽出的号码应是.

故答案为：87.

【点睛】本题主要考查确定系统抽样中的样本编号，熟记系统抽样的概念即可，属于基础题型.

15.某商场在庆“五一”的促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示.已知9时至10时的销售额为25万元，则11时至12时的销售额为_________万元.

【答案】100

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图，确定两组的频率比，进而可得出结果.

【详解】由频率分布直方图可得：9时至10时的销售额与11时至12时的销售额的频率之比为：，

又9时至10时的销售额为25万元，因此11时至12时的销售额为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的简单应用，属于基础题型.

16.如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是   ．

【答案】．

【解析】

试题分析：

考点：向量数量积

三.解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17.已知，，且向量与的夹角为．

（1）若，求；

（2）若与垂直，求．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据平面向量的数量积公式计算的值；（2）根据两向量垂直数量积为0，列方程求出cosθ的值和对应角θ的值．

【详解】（1）因为，所以

（2）因为与垂直，所以

即，

所以

又，所以

【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的计算问题，是基础题．

18.已知函数的最小正周期为，且该函数图象上的最低点的纵坐标为．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调递增区间及对称轴方程．

【答案】（1）；（2）增区间是，对称轴为

【解析】

【分析】

（1）由周期求得ω，再由函数图象上的最低点的纵坐标为﹣3求得A，则函数解析式可求；（2）直接利用复合函数的单调性求函数f（x）的单调递增区间，再由2x求解x可得函数f（x）的对称轴方程．

【详解】（1）因为的最小正周期为

因为，，，∴．

又函数图象上最低点纵坐标为，且

∴

∴．

（2）由，

可得

可得单调递增区间.

由，得．

所以函数的对称轴方程为．

【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的性质，是基础题．

19.

已知函数(R).

(1)求的最小正周期和最大值；

(2)若为锐角，且，求的值.

【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）.

【解析】

本试题主要是考查了三角函数的周期公式和三角方程的求解的综合运用．

（1）因为，结合周倜公式得到结论．

（2）∵, ∴∴，利用同角关系得到正切值．

(1) 解:

…… 2分

…… 3分. …… 4分

∴的最小正周期为, 最大值为. …… 6分

(2) 解:∵, ∴. …… 7分

∴. …… 8分

∵为锐角，即, ∴.

∴. …… 10分

∴. …… 12分

20.某出租车公司购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前我国纯电动汽车按续航里程数R(单位：千米)分为3类，即A类：，B类：，C类：.该公司对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

（1）从这140辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过10万千米的概率；

（2）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从C类车中抽取了n辆车.

①求n的值；

②如果从这n辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过10万千米的概率.

【答案】（1）；（2）①5；②

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由频率即可估计出概率；

（2）①根据分层抽样，由题意，可直接计算出的值；②先由题意，确定5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c；5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m，n；用列举法，分别写出总的基本事件，以及满足题意的基本事件，基本事件个数比即为所求概率.

【详解】（1）由题意，从这140辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过10万千米的概率为

.

（2）①依题意.

②5辆车中已行驶总里程不超过10万千米的车有3辆，记为a，b，c；

5辆车中已行驶总里程超过10万千米的车有2辆，记为m，n.

“从5辆车中随机选取两辆车”的所有选法共10种：

ab，ac，am，an，bc，bm，bn，cm，cn，mn.“

从5辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过10万千米”的选法共6种：

am，an，bm，bn，cm，cn，

则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过10万千米的概率.

【点睛】本题主要考查分层抽样求样本个数，以及求古典概型的概率，属于基础题型.

21.在某化学反应的中间阶段，压力保持不变，温度从变化到，反应结果如下表所示（代表温度，代表结果）：

（1）求化学反应的结果对温度的线性回归方程；

（2）判断变量与之间是正相关还是负相关，并预测当温度达到时反应结果为多少？

附：线性回归方程中，，.

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意：，，，又，

∴，，即可求的回归方程；（2）由于变量的值随温度的值增加而增加，故与之间是正相关. 将时，代入回归方程即可求出结果.

试题解析：解：（1）由题意：，，，

又，

∴，，

故所求的回归方程为

（2）由于变量的值随温度的值增加而增加，故与之间是正相关.

当时，

考点：线性回归方程.

22.如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B、P在单位圆上，且B，， ()，，设四边形OAQP的面积为S.

（1）求；

（2）令，求的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据三角函数定义，由题意，先得到，，再由两角差的余弦公式，即可求出结果；

（2）根据题意，得到，，再由向量数量积的坐标表示，得到，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.

【详解】（1），，

所以，，

（2）由已知得：，

，，

又，所以四边形为平行四边形，

因此，

由

得

得单调增区间为.

【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求三角函数值，以及求三角函数的单调区间，涉及三角函数的定义，两角差的余弦公式，以及正弦函数的单调性等，属于常考题型.