艺术生高考数学专题讲义：考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性

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这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点5 函数的性质——单调性、奇偶性与周期性，共8页。试卷主要包含了函数的单调性，函数的奇偶性，函数的周期性等内容，欢迎下载使用。

考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性
知识梳理
1．函数的单调性
(1) 单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．
从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：

（2）单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．
2．函数的奇偶性
(1) 奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2) 判断函数的奇偶性的步骤与方法
判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：
①考察定义域是否关于原点对称．
②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：
若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；
若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．
3．函数的周期性
(1) 周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．
(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．
典例剖析
题型一函数单调性的判断
例1　下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________. (填序号)
① y＝ ② y＝(x－1)2 ③ y＝2－x ④ y＝log0.5(x＋1)
答案 ①
解析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.
变式训练下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________. (填序号)
① f(x)＝x　　　② f(x)＝x3 ③ f(x)＝ ④ f(x)＝3x
答案 ④
解析　f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，①不满足题意．
f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不满足题意．
f(x)＝，f(x＋y)＝＝·，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝不是增函数，③不满足题意．
f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，④满足题意．
解题要点确定函数单调性的常用方法：
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性．
(3)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性．
(4)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．
题型二函数单调性的应用
例2　如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________.
答案　－≤a≤0
解析当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
综合上述得－≤a≤0.
变式训练函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________.
答案　6
解析易知f(x)在[a，b]上为减函数，
∴即∴∴a＋b＝6.
解题要点 1.利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③注意数形结合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．
2.利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．
题型三求函数的单调区间
例3　求函数y＝log(x2－4x＋3)的单调区间．
解析令u＝x2－4x＋3，原函数可以看作y＝logu与u＝x2－4x＋3的复合函数．
令u＝x2－4x＋3>0，则x<1或x>3.
∴函数y＝log(x2－4x＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．
而函数y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴y＝log(x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
解题要点 1.求单调区间的常用方法：
(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．
2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：
(1)确定定义域；
(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝f(u)，u＝g(x)；
(3)分别确定这两个函数的单调区间；
(4)若这两个函数同增或同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
3．求单调区间时需注意两点：①最终结果写成区间的形式；②不可忽视定义域．
题型四判断函数的奇偶性
例4　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝(x＋1) ；
(3) f(x)＝＋.
解析 (1) 定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－(x3－x)＝－f(x)，
∴函数为奇函数．
(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．
∵函数定义域不关于原点对称，
∴函数为非奇非偶函数．
(3) 因为f(x)定义域为{－，}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．
解题要点判断函数单调性的两个步骤：1.判断函数定义域是否关于原点对称；
2.判断f(－x)与f(x)关系. 若f(－x)＝－f(x) 则函数为奇函数；若f(－x)＝f(x)则函数为偶函数．
或是利用下列两个等价关系式进行判断：若f(x)＋f(－x)＝0则函数为奇函数；
若f(x)－f(－x)＝0则函数为偶函数．
题型五函数的周期性
例5　已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.
答案　2.5
解析　由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．
故函数的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
解题要点关于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.
题型六函数性质的综合运用
例6　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) 答案　　
解析　偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
有f(2x－1) 进而转化为不等式|2x－1|<，
解这个不等式即得x的取值范围是.
当堂练习
1. 函数f(x)＝x3－x的图象关于________对称.
答案原点
解析由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．
2．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．
答案 0
解析 ∵ f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)，∴ f(0)＝0，T＝4，∴ f(8)＝f(0)＝0.
3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．
答案　1　
解析因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
4．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是________．
答案　(－∞，－2)
解析　因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．
5．函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a＋1) 答案 [－1，1)
解析由条件解得－1≤a<1.
课后作业
一、填空题
1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为________．(填序号)
①y＝x＋1 ②y＝－x2 ③ y＝ ④ y＝x|x|
答案 ④
2．函数y＝1－________．(填序号)
①在(－1，＋∞)上单调递增 ②在(－1，＋∞)上单调递减
③在(1，＋∞)上单调递增 ④在(1，＋∞)上单调递减
答案 ③
3．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是________．(填序号)
①y＝1－x2 ②y＝x2＋x ③y＝－ ④y＝
答案　④
4．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0”的是________．(填序号)
①f(x)＝ ②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)
答案　①
解析　满足<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选①.
5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．
答案 3
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，又g(x)为偶函数，∴g(－1)＝g(1)，∴－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，将两式相加得2g(1)＝6，∴g(1)＝3.
6．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．(填序号)
①y＝x3 ②y＝|x|＋1 ③y＝－x2＋1 ④y＝2－|x|
答案 ②
7．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析由题意得－≥2，得a≤－.
8．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)与f(3)的大小关系是________．
答案 f(－1)＜f(3)
解析依题意得f(3)＝f(1)，且－1＜1＜2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)＜f(1)＝f(3)．
9．函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的增区间为________．
答案 [2,4]
10．设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝________.
答案－1
解析由题知，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝1－2＝－1.
11．给出下列命题
①y＝在定义域内为减函数； ②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y＝－在(－∞，0)上为增函数； ④y＝kx不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
答案　3
解析　①②④错误，其中④中若k＝0，则命题不成立．
二、解答题
12．证明函数g(x)＝在(1，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1 则g(x1)－g(x2)＝－＝，
因为10，
因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1) 故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
13．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
解　∵f(x)的定义域为[－2,2]．
∴有解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，
∴f(x)在[－2,2]上递减，
∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m>m2－1，
即－2 综合①②可知，－1≤m<1.
即实数m的取值范围是[－1,1)．