艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值

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考点六 二次函数与函数的最值
知识梳理
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a0恒成立，
二次函数f(x) f(x)恒成立，则a> f(x)max，a2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解析　(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x.
∴∴
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得mf(1)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①a>0,4a＋b＝0 ②a0,2a＋b＝0 ④af(1)知f(x)先减后增，即a>0.
3．函数f(x)＝ax2＋ax－1在R上恒满足f(x)