艺术生高考数学专题讲义：考点9 幂函数

考点九  幂函数

知识梳理

1．幂函数的概念

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

注意区分幂函数与指数函数：

幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；

指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．

2．五个简单幂函数的图象和性质

(1)图象比较

(2)性质比较

典例剖析

题型一  幂函数的概念

例1　下列函数中是幂函数的是________．

①                                                                        y＝2x ②y＝2x ③y＝x2 ④y＝

答案  ③

解析　根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，

y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．

变式训练  下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．

答案  ②④

解析　根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，

例2　已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．

答案　

解析　设幂函数f(x)＝xa，它的图象经过(9，3)，

所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，

所以f(2)－f(1)＝

变式训练  函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．

答案  1

解析  因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，

所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．

因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，

当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，

当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．

解题要点  (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

题型二  幂函数的图象

例3　下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)

答案  ①②③④

解析  图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，

综上可知：①②③④.

变式训练  下列命题中正确的是________．

①     幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)

②     若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增

③     幂函数的图象上的点一定不在第四象限

④     幂函数的图象不可能是直线

答案  ③

解析  幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．

解题要点  若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．

题型三  幂函数有关的大小比较问题

例4　已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为

           ． 

答案　

解析  因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.

变式训练  设，则的大小关系是________．

答案　a>c>b

解析  因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.

解题要点  同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．

当堂练习

1．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则＝________．

答案　

解析　∵已知幂函数y＝xα的图象过点(4，2)，

则4α＝2，∴α＝，故函数的解析式为y＝f(x)＝，

∴ ＝.

2．当x∈(0，+∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为________．

答案  m＝2 　

解析　因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，+∞)的减函数，

所以解得：m＝2．

3. 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

答案　a>c>b

解析　∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.

∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.

4．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为________．

答案 

5．若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是________．

答案　(－∞，0)

解析　设y＝xa，则＝2a，∴a＝－2，∴y＝x－2.

课后作业

一、    填空题

1．在函数y，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，幂函数的个数是　     　．

答案  1

解析  ∵幂函数的定义是“形如y＝xα，α∈R的函数，叫做幂函数”，

∴在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，

只有一个y＝＝x－2符合定义，是幂函数；

2．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点(4，2)，则f(16)＝　     　．

答案  4

解析  由于知幂函数f(x)＝xm的图象经过点(4，2)，则有4m＝2，解得m＝，故f(16)＝4．

3．若函数是幂函数，则m的值为　     　．

答案  －1

解析  ∵是幂函数，

∴2m+3＝1，∴m＝－1．

4．已知幂函数y＝f(x)的图象过(36，6)，则此函数的解析式是　     　．

答案　

解析  设幂函数y＝f(x)＝xα，由于它的图象过(36，6)，故有36α＝6，α＝，故此函数的解析式是．

5．在同一坐标系中，函数的图象可能是　     　．

①                        ②                 ③                   ④

答案  ④

解析  对①，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对②，中中，不符合题意；对③，中中，不符合题意；对④，中中，符合题意.

6．设，则的大小关系是　    　     　．

答案 

解析  由函数的性质得到所以，.

7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点()，则log4f(2)的值为　     　．

答案 

解析  由设f(x)＝xa，图象过点()，

∴()a＝，解得a＝

∴log4f(2)＝．

8．对于幂函数f(x)＝xα(α是有理数)给出以下三个命题：

① 存在图象关于原点中心对称的幂函数；

②                                                                                                                                 存在图象关于y轴轴对称的幂函数；

③ 存在图象与直线y＝x不重合，但关于直线y＝x对称的幂函数．

其中真命题的是　     　．

答案  ③

解析  幂函数y＝x3是奇函数，所以，结论①正确；幂函数y＝x2是偶函数，所以，结论②正确； 幂函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以，结论③正确．

9．下列函数(1)y＝x3，(2)y＝x2，(3)y＝，(4)y＝ ，在(－∞，0)上是增函数的是　     　．

答案  (1)

解析  由幂函数的图象和性质得

(1)是奇函数，在(－∞，0)上递增．   

(2)是偶函数，在(－∞，0)上递减．

(3)奇函数，在(－∞，0)上递减． 

(4)在(－∞，0)上无意义，故区间(－∞，0)不是函数的单调区间．

故答案是(1)．

10．函数f(x)＝xn+1恒过一个定点，这个定点坐标是　     　．

答案  (1，2)

解析  由于函数y＝xn恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)＝xn+1恒过一个定点(1，2)，

故答案为(1，2)．

11．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)：

(1)　    　；

(2)(－π)3　    　(－3)3．

答案  (1)＞    (2)＜

解析  (1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，+∞)上是增函数，又＞，所以＞；

(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，+∞)上是增函数，又－π＜－3，所以(－π)3＜(－3)3．

二、解答题

12．比较大小：

(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；

(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.

解析  (1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，

∴；

(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，

∴(－1.2)3>(－1.25)3；

(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，

∴5.25－1>5.26－1；

∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.

综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.

13．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A().

(1)求实数α的值;

(2)求证：f(x)在区间(0，+∞)内是减函数.

解析  (1)解：∵ f(x)＝ xα的图象经过点A()，∴()α＝，          

即2－α＝，解得α＝－；                                          

(2)证明：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则                              

f(x2)－f(x1)＝.           

∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，，于是f(x2)－f(x1)<0.        

即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝在区间(0，+∞)内是减函数.