艺术生高考数学专题讲义：考点10 函数的图象及其变换

考点十  函数的图象及其变换

知识梳理

1．函数图象的作法

(1)直接法

(2)图象变换法

(3)描点法

2．描点法作函数图象

(1)基本步骤：列表、描点、连线．

(2)注意事项：

①列表前应先确定函数的定义域，并化简函数解析式，根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) ．

②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点．

③连线时应根据函数特征，用平滑的曲线(或直线)连接各点．

3．基本初等函数的图象

(1) 一次函数y＝ax＋b(a≠0)

(2) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)

(3) 反比例函数y＝(k≠0)

(4) 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)

(5) 对数函数y＝logax(a>0，a≠1)

4．函数图象的变换

(1)平移变换：

y＝f(x)y＝f(x－a)；

y＝f(x)y＝f(x)＋b.

口诀：左加右减，上加下减．

(2)伸缩变换：

y＝f(x) y＝f(ωx)；

y＝f(x)y＝Af(x)．

(3)对称变换：

y＝f(x)y＝－f(x)；

y＝f(x)y＝f(－x)；

y＝f(x)y＝－f(－x)．

(4)翻折变换：

y＝f(x)y＝f(|x|)；

y＝f(x)y＝|f(x)|

口诀：绝对值作用在x上，右翻左；作用在y上，下翻上．

典例剖析

题型一  函数的图像识别

例1　下列所给图象是函数图象的个数为________．

答案  2

解析：选　①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.

变式训练  函数y＝xsin x在[－π，π]上的图像是________．

①                          ②               ③                    ④

答案　①

解析　容易判断函数y＝xsin x为偶函数，可排除④.当0<x<时，y＝xsin x>0，当x＝π时，y＝0，可排除②、③，故选①.

解题要点  函数图像的识别要点：

(1)对于函数的图像，一个x只有一个y值与之对应；

(2)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(6)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

题型二  作函数的图象

例2　画出下列函数的图象．

(1) y＝2x－1，x∈Z，|x|≤2；

(2) y＝2x2－4x－3(0≤x<3)；

答案：(1) 　(2)

变式训练  作出下列函数图象

(1) y＝x2－2x；

(2) y＝x|2－x|.

解析  (1) ∵ >1，∴ x<－1或x>1，图象是两段曲线，如图.

(2) ∵ y＝x|2－x|＝，∴ 图象由两部分组成，如图.

题型三  函数图象的变换

例3　作出下列函数图象：

(1)y＝－x2＋2|x|＋1；

(2) y＝|－x2＋2x＋1|

解析  (1)由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示，

(2) 函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．

变式训练  作出下列函数图象

(1)y＝2x＋2；(2) y＝.

解析  (1) 将y＝2x的图象向左平移2个单位．图象如下左图

(2)因y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如上右图.

题型四  函数图象的应用

例4　方程x2－|x|＋a＝1有四个不同的实数解，则a的取值范围是________．

答案　(1，)

解析　方程解的个数可转化为函数y＝x2－|x|的图象与直线y＝1－a交点的个数，如图：

易知－<1－a<0，∴1<a<.

变式训练：已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

答案　(，1)

解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．

解题要点  借助函数图象求解方程解的个数、参数范围时利用的是数形结合的思想，解题时可对方程或不等式适当变形，选择合适的函数进行作图．

当堂练习

1．设函数f(x)＝2x，则如图所示的图象对应的函数是________．

答案  y＝－f(－|x|)

解析  该图象是函数y＝－2－|x|即y＝－f(－|x|)的图象．.

2．若函数y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4)，则函数y＝f(x)的图象必经过点________．

答案  (4,4)

解析  法一　函数y＝f(x)的图象是由y＝f(x＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．

故y＝f(x)的图象经过点(4,4)．

法二　由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图象必经过点(4,4)．

3. 函数y＝lg的大致图象为____________．

①                                                                                  ②          ③             ④

答案  ④

解析  因为y＝lg是单调递减的偶函数，关于y轴对称，则y＝lg的图象是由y＝lg的图象向左平移一个单位长度得到的．故选④.

4．为了得到函数y＝lg(x＋3)－1的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点____________．

①向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

②向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

③向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

④向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

答案  ③

解析  由y＝lgx图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．

5．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内____________．

①没有根　　　②有且仅有一个根     ③有且仅有两个根     ④有无穷多个根

答案  ③

解析  如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根．

课后作业

一、    填空题

1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是____________．

①                                                                                                                                                             ②                 ③                ④

答案  ③

解析  出发时距学校最远，先排除①，中途堵塞停留，距离没变，再排除④，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除②，故选③.

2．函数y＝log2|x|的图象大致是____________．

                       ①       ②        ③         ④

答案　③

解析　函数y＝log2|x|为偶函数，作出x>0时y＝log2x的图象，图象关于y轴对称，应选③.

3．(2013·福建文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是____________．

①                                                                                ②         ③         ④

答案　①

解析　依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除③.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除②，④，故选①.

4．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点____________．

①向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

②向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

③向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

④向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

答案  ①

解析  y＝2x先向右平移3个单位长度，得到y＝2x－3，再向下平移1个单位长度，得到y＝2x－3－1.故选①.

5．函数y＝1－的图象是____________．

①                    ②               ③                    ④

答案　②

解析　将y＝－的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．

6．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是____________．

答案  (0，＋∞)

解析  由题意a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝图象如图所示，

故要使a＝|x|＋x只有一解，则a>0.

7．   若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是____________．

                   ①                   ②            ③                    ④

答案　②

解析　∵loga2<0，∴0<a<1，

由f(x)＝loga(x＋1)单调性可知①、④错误，再由定义域知②选项正确．

8．(2015山东文)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向____平移____个单位．.

答案　右，

解析　∵y＝sin＝sin，

∴要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．

9．(2015新课标II文)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________.

答案　－2

解析　由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1,4)，

得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.

10．函数f(x)＝图象的对称中心的坐标是________．

答案  (1，2)

解析  f(x)＝2＋.

11．为了得到函数y＝2x－3的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点向________平移________个单位长度．

答案  右　3

二、解答题

12．分别画出下列函数的图象：

(1)y＝|lg x|；(2) y＝x2－2|x|－1

解析  (1) y＝图象如图

(2) y＝图象如图

13．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．

解析  当0＜a＜1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知得0＜2a＜1，即0＜a＜.

当a＞1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，

由已知可得0＜2a＜1，即0＜a＜，但a＞1，故a∈．

综上可知，a的取值范围为.