艺术生高考数学专题讲义：考点17 三角函数的图象和性质

考点十七  三角函数的图象和性质

知识梳理

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：

(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

3. 三角函数的周期性

正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期均为2kπ，k∈Z，最小正周期均为2π；正切函数也是周期函数，周期为kπ，k∈Z，最小正周期为π．

典例剖析

题型一  三角函数的定义域和值域

例1　函数y＝ 的定义域为________.

答案 (k∈Z)

解析  ∵cos x－≥0，得cos x≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

变式训练  函数y＝的定义域为________.

答案 

解析  要使函数有意义，必须有sin x－cos x≥0，

即sin x≥cos x，同一坐标系中作出y＝sin x，y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示．

结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为.

例2　(1) 函数y＝2sinx的值域是________．

(2) 函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________.

答案  (1) [1，2]     (2) －

解析  (1) 根据正弦函数图象，可知x＝时，函数取到最小值1；x＝时，函数取到最大值2.

(2) ∵x∈，∴－≤2x－≤，令y＝2x－，则sin＝sin y在y∈上的最小值为sin＝－.

变式训练  求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．

解析  令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.

∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，

∴当t＝时，ymax＝，当t＝－时，ymin＝.

∴函数y＝cos2x＋sin x的最大值为，最小值为.

解题要点  1．三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．三角函数值域的不同求法

(1)利用sin x和cos x的值域直接求；

(2)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域；

(3)把sin x或cos x看作一个整体，通过换元，令t＝sin x(或t＝cos x)，转换成二次函数求值域；

(4)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系通过换元，令t=sin x+cos x,转换成二次函数求值域．

题型二  三角函数的单调性

例3　(1)函数y＝cos的单调减区间为________．

(2) 函数f(x)＝tan的单调递增区间是____________________．

答案  (1) (k∈Z)    (2) (k∈Z)

解析　(1)由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为(k∈Z)．

(2) 由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z).

变式训练  若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为________．

答案 

解析　由f(x)＝－cos 2x知递增区间为，k∈Z，故只有B项满足．

解题要点  1.求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；2.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

题型三  三角函数的周期性

例4　函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．

答案  4π

解析  函数f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝4π.

当堂练习

1．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．

答案  －

解析  因为x∈，所以2x－∈，当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值－.

2．如果函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为，则ω的值为________．

答案  12

解析  T＝，ω＝＝12．

3. 函数y＝的定义域为________．

答案  ，k∈Z

解析  ∵cosx－≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.

4．y＝sin(x－)的图象的一个对称中心是________．

答案  (－，0)

解析  令x－＝kπ，k∈Z得x＝＋kπ，k∈Z，于是(－，0)是y＝sin(x－)的图象的一个对称中心.

5．函数f(x)＝cos(2x＋)(x∈R)，下面结论不正确的是________．(填序号)

① 函数f(x)的最小正周期为π

② 函数f(x)的对称中心是(，0)

③ 函数f(x)的图象关于直线x＝对称

④ 函数f(x)是偶函数

答案  ④

解析  ∵f(x)＝cos(2x＋)＝sin2x(x∈R)，∴最小正周期T＝＝π，选项①正确；

由2x＝kπ得x＝，k∈Z，∴函数f(x)的对称中心为(，0)，

∴取k＝1得选项②正确；

由2x＝kπ＋得x＝＋，k∈Z，∴取k＝0得函数f(x)的对称轴为x＝，∴选项③正确；

∵f(x)＝sin2x(x∈R)，∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，

∴选项④不正确．

课后作业

一、    填空题

1．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝________．

答案 

解析  ∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对称轴．

∴＝＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋π，当k＝0时，φ＝π．

2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．

答案 

解析  由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，

∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，

∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.

3．函数y＝cos 2x，周期为_____，且在上是________（填“增函数”或“减函数”）．

答案  π，减函数

解析  因为y＝cos 2x的周期T＝＝π，而2x∈[0，π]，所以y＝cos 2x在上为减函数.

4．函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．

答案  (k∈Z)

解析  由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z).

5．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________．

答案 

解析  由题意得周期T＝2＝2π，

∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴f＝sin＝±1，f＝sin＝±1.∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜π，∴φ＋＝，∴φ＝.

6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．

答案  －

解析  由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，

故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.

7．(2015四川文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是________．(填序号)

①y＝sin     ②y＝cos     ③y＝sin 2x＋cos 2x   ④y＝sin x＋cos x

答案　②

解析　①项，y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意；

②项，y＝cos＝－sin 2x，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意；

③项，y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；

④项，y＝sin x＋cos x＝sin，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．

8．函数f(x)＝3sin在区间上的值域为________．

答案 

解析  当x∈时，2x－∈，sin∈，

故3sin∈，

即此时函数f(x)的值域是.

9．函数y＝3sin(2x＋)的最小正周期为________．

答案  π

解析  T＝＝π.

10．函数f(x)＝cos(2x－)＋3在[－，]上的单调递减区间为________．

答案  [－，－]∪[，]

解析  由2kπ≤2x－≤2kπ＋π得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.∵x∈[－，]，∴取k＝0得f(x)在[－，]上的单调递减区间为[，]；取k＝－1得f(x)在[－，]上的单调递减区间为[－，－]．∴f(x)在[－，]上的单调递减区间为[－，－]和[，]．

11．函数y＝sin(x＋)的对称中心为________．

答案  (kπ－，0)，k∈Z

二、解答题

12．已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f(x)在区间上的单调性．

解析  (1)f(x)＝4cosωx·sin

＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx

＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋

＝2sin＋.

因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，

从而有＝π，故ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.

若0≤x≤，则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；

当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

13．(2015北京文)已知函数f(x)＝sin x－2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最小值．

解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－.

＝2sin－.

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π.

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．

所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.