艺术生高考数学专题讲义：考点20 正弦定理、余弦定理及解三角形

考点二十  正弦定理、余弦定理及解三角形

知识梳理

1．正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.三角形面积公式：

S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；

S△ABC＝；

S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.

3．三角形解的判断

在△ABC中，已知a、b和A时，三角形解的情况如下：

典例剖析

题型一  利用正弦定理解三角形

例1　在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝________.

答案　

解析  在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.

变式训练  在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝________．

答案  2

解析  在△ABC中，＝，∴  AC＝＝＝2.

解题要点  如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理．

题型二  利用余弦定理解题

例2　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.

答案　

解析　∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab.②

由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.

∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.

变式训练  在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝        .

答案　4或5

解析　设BC＝x，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.

解题要点  如果已知两边一角或是已知三边解三角形时，通常用余弦定理．

题型三  综合利用正余弦定理解题

例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知(b－2a)cos C＋ccos B＝0.

(1)求C；

(2)若c＝，b＝3a，求△ABC的面积．

解析  (1)由已知及正弦定理得：(sin B－2sin A)cos C＋sin Ccos B＝0，sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos C，

sin(B＋C)＝2sin Acos C，∴sin A＝2sin Acos C.

又sin A≠0，得cos C＝.

又C∈(0，π)，∴C＝.

(2)由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴

解得a＝1，b＝3.

故△ABC的面积S＝absin C＝×1×3×＝.

变式训练  在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．

解析  (1)由bsin A＝acos B及正弦定理＝，得sin B＝cos B.

所以tan B＝，所以B＝.

(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.

由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝，c＝2.

解题要点  解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

当堂练习

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.

答案　

解析　由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6.①

由余弦定理及C＝，可得a2＋b2－c2＝ab.②

所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.

所以S△ABC＝absin＝×6×＝.

2．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知b＝2，B＝30°，C＝15°，则a等于________.

答案  2

解析  A＝180°－30°－15°＝135°，

由正弦定理＝，得＝，即a＝2.

3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________.

答案  ＋1

解析  A＝π－(B＋C)＝π－＝，

由正弦定理得＝，

则a＝＝＝＋，

∴S△ABC＝absinC＝×2×(＋)×＝＋1.

4．(2015重庆理)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.

答案　

解析　由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠ADB＝，∠ADB＝45°，从而∠BAD＝15°＝∠DAC，所以C＝180°－120°－30°＝30°，AC＝2ABcos 30°＝.

5．(2015江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.

(1)求BC的长；

(2)求sin 2C的值．

解析　(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，

所以BC＝.

(2)由正弦定理知，＝，

所以sin C＝·sin A＝＝.

因为AB＜BC，所以C为锐角，

则cos C＝＝＝.

因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.

课后作业

一、    填空题

1． (2015广东文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝且b<c，则b等于________.

答案　2

解析　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－2×b×2×，即b2－6b＋8＝0，∴b＝4或b＝2，又b<c，∴b＝2.

2．已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c＝________.

答案　2或

解析　∵＝，∴sinB＝＝·sin30°＝.

∵b>a，∴B＝60°或120°.

若B＝60°，C＝90°，∴c＝＝2.

若B＝120°，C＝30°，∴a＝c＝.

3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于________.

答案  5

解析  由题意知，23cos2A＋2cos2A－1＝0，即cos2A＝，

又因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝.

在△ABC中，由余弦定理知72＝b2＋62－2b×6×，即b2－b－13＝0，

即b＝5或b＝－(舍去).

4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为________.

答案  直角三角形

解析  ∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.

又∵sinA＞0，∴sinA＝1，∴A＝，

故△ABC为直角三角形．

5．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为________.

答案 

解析  ∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.

∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19.∴BC＝.

6．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝________.

答案  2

解析  由正弦定理＝得：＝，

又∵B＝2A，∴＝＝，

∴cosA＝，∴∠A＝30°，

∴∠B＝60°，∠C＝90°，∴c＝ ＝2.

7．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________.

答案 

解析  在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝2＋9－2××3×＝5，即得AC＝.由正弦定理＝，即＝，

所以sin∠BAC＝.

8．(2014年江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________.

答案 

解析  因为c2＝(a－b)2＋6，C＝，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为absinC＝3×＝.

9．(2015福建文)在△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.

答案　

解析　∵A＝45°，C＝75°，∴B＝60°.

由正弦定理＝.

∴BC＝·sin A＝×＝.

10． (2015重庆文)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.

答案　4

解析　由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×＝16，解得c＝4.

11． (2015北京文)在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则B＝________.

答案　

解析　由正弦定理得sin B＝＝＝，因为A为钝角，所以B＝.

二、解答题

12． (2015天津文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－.

(1)求a和sin C的值；

(2)求cos的值．

解析　(1)在△ABC中，由cos A＝－，

可得sin A＝.

由S△ABC＝bcsin A＝3，

得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.

由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8.

由＝，得sin C＝.

(2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin

＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝.

13．(2015新课标Ⅰ文)(本小题满分12分)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C.

(1)若a＝b，求cos B；

(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．

解析　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.

又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.

由余弦定理可得cos B＝＝.

(2)由(1)知b2＝2ac.

因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2.

故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.

所以△ABC的面积为××＝1.