艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列，共7页。试卷主要包含了数列的定义，数列的通项公式，数列的分类，等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等差中项，等差数列的常用性质等内容，欢迎下载使用。

考点二十八 等差数列
知识梳理
1．数列的定义
按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．
3．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝.
4．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1>an
其中
n∈N＋
递减数列
an＋1 常数列
an＋1＝an
5．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．
6．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
说明：等差数列{an}的通项公式可以化为an＝pn＋q(其中p，q为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的一次表达式，则该数列为等差数列.
7．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn，则
Sn＝＝na1＋d.
说明：数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．这表明d≠1时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次表达式，并且没有常数项.

8．等差中项
如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．
9．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
(6) 若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋) 也是等差数列．
10．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
典例剖析
题型一 基本量法在等差数列中的运用
例1　设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于________．
答案
解析 由得
解得a1＝.
变式训练 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．
答案 48
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得，则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.
解题要点 在等差数列中，a1，an，d，n，Sn这五个基本量，只要知道其中三个，就可以求出另外两个，即“知三求二”。解题时利用的是方程的思想，即构造基本量有关的方程或方程组求解。
题型二 利用等差数列的性质解题
例2　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则__________.
(2) 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．
答案　(1)35 (2) 2
解析　(1)∵，为等差数列，∴为等差数列，
∴(a1＋b1)＋(b5＋a5)＝2(a3＋b3)＝42，∴a5＋b5＝42－7＝35.
(2) ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，
又∵a4＝7，∴d＝a4－a3＝2.
变式训练 (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________．
(2) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
答案　(1) 88 (2) 60
解析　(1)S11＝＝＝88.
(2) ∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，
∴S30－30＝10＋2×10＝30，
∴S30＝60.
解题要点 在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．
题型三 等差数列的前n项和
例3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.
答案 －72
解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由已知，得解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
变式训练 在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，
解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.
解题要点 1. 等差数列前n项和Sn公式为：Sn＝＝na1＋d.在求解前n项和时，应根据题意选取合适的求和公式。
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．
题型四 等差数列的前n项和的最值问题
例4　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
解析 ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.
法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.
得a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
法二：∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
解题要点 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)配方法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)不等式组法：
①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
当堂练习
1．(2015重庆理)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________．
答案　0
解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.
2．(2015新课标Ⅰ文)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于________．
答案　
解析　∵公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.
3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．
答案 48
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－9，a3＋a7＝－6，则当Sn取得最小值时，n＝________．
答案 6
解析 ∵a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，
∴d＝2，∴a6＝－1，a7＝1，
∴S6最小.
5．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．
答案 26
解析 ∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，
∴6(a4＋a10)＝24，故a4＋a10＝4.
∴S13＝＝＝26.
课后作业
一、 填空题
1． (2015新课标II文)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于________．
答案　5
解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，
∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5.
2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________．
答案 －6
解析 由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.
3．在等差数列中，a2＝2，a10＝15，则a18的值为________．
答案 28
解析 ∵为等差数列，∴a2＋a18＝2a10，∴a18＝2a10－a2＝28.
4．在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．
答案　2
解析　∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.
故d＝a4－a3＝7－5＝2.
5．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于________．
答案　2
解析　由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.
6．已知等差数列{an}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝________．
答案 28
解析 ∵{an}为等差数列，∴a4＋a6＝2a5，∴a3＋a4－a5＋a6＝a3＋a5＝2a4＝8，∴a4＝4，∴S7＝7a4＝28.
7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．
答案　8
解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16.
∴a7－a8＝＝＝8.
8．已知等差数列{an}满足a1>0,5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为________．
答案 21
解析 由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)≥0，得n≤＝21，∴数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.
9．(2015安徽文)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
答案　27
解析　由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．
∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
10．(2015广东理)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
答案　10
解析　因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
11．(2015陕西理)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
答案　5
解析　由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，
∴a1＝5.
二、解答题
12． (2015四川文)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.
解析　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.
(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
13．等差数列{an}满足a3＝3，a6＝－3，求数列{an}的前n项和Sn的最大值.
解析 法一　由a3＝3，a6＝－3得，解得
∴Sn＝na1＋d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16.
∴当n＝4时Sn有最大值16.
法二　由a3＝3，a6＝－3得
解得所以an＝9－2n.
则n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，
故前4项和最大且S4＝4×7＋×(－2)＝16.