艺术生高考数学专题讲义：考点53 二项式定理（理）

考点五十三  二项式定理(理)

知识梳理

1．二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．式中的Can－rbr叫做二项式展开式的第r＋1项(通项)，用Tr＋1表示，即展开式的第r＋1项；Tr＋1＝Can－rbr．

2. 二项展开式形式上的特点

(1) 项数为n＋1．

(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

(3) 字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

(4) 二项式的系数从C，C，一直到C，C．

3.二项式系数的性质

(1)对称性

与首末等距离的两个二项式系数相等，0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C.

(2)增减性与最大值

先增后减中间最大

当r＜时，二项式系数是递增的；当r＞时，二项式系数是递减的；

当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即第＋1项的二项式系数最大；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大，即第项和项的二项式系数最大．

(3)二项式系数和：二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n，

(4)二项式展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

典例剖析

题型一  二项展开式指定项的系数

例1　(1)(2015福建理)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．

(2)(2015重庆理)5的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．

答案　(1)80    (2)

解析　(1)(x＋2)5展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－r2r，

令5－r＝2，得r＝3，∴x2的系数为C×23＝80.

(2)　二项展开式通项为Tk＋1＝C(x3)5－kk＝kCx15－，令15－＝8，解得k＝2，因此x8的系数为2C＝.

变式训练  (1)(2015四川理)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________(用数字填写答案)．

答案　－40

解析　(2x－1)5＝－(1－2x)5，

∴x2的系数为－C(－2)2＝－40.

(2)(2015广东理)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．

答案　6

解析　由题意可知Tr＋1＝C()4－r(－1)r＝C(－1)rx，令＝1解得r＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝6.

解题要点  解决指定项系数问题，均可以借助通项公式求解：

(1)求展开式中的第n项．可依据二项式的通项公式直接求出第n项．

(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．

(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

题型二  三项或乘积形式的展开式问题

例2　(2015新课标Ⅰ理)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．

答案　30

解析　方法一　利用二项展开式的通项公式求解．

(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.

其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.

方法二　利用组合知识求解．

(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.

变式训练  (1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是________．

答案　168

解析　∵(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，

∴(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt，令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.

解题要点  对于这类乘积形式或三项式的展开式，关键是弄清展开式的特征，将问题转化为二项式进行处理，解题时可以利用乘法原理进行求解．

题型三  二项式系数的性质

例3　若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是________．

答案　180

解析　展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n＝10，通项公式为Tr＋1＝C()10－r()r＝C2rx5－r，所以r＝2时，常数项为180.

变式训练  (2015湖北理)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为________．

答案　29

解析　由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.

解题要点  抓住二项式系数的性质是解题的关键，解题时需要注意：

1.区分二项式系数与展开式中项的系数，在Tr＋1＝Can－rbr中，C是该项的二项式系数，与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C，而后者是字母外的部分，前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．

2. 牢记通项公式Tr＋1＝Can－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．

题型四  赋值法与二项式系数和问题

例4　如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，那么a1＋a2＋…＋a6的值等于________．

答案  0

解析  令x＝0，有1＝a0；

令x＝1，有1＝a0＋a1＋…＋a6，

∴a1＋a2＋…＋a6＝0.

变式训练　(2015新课标II理)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

答案　3

解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.

解题要点  1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．

2．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.

当堂练习

1．(2015湖南理)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a＝________．

答案　－6

解析　5的展开式通项Tr＋1＝C (－1)rar·＝(－1)rarC，

令－r＝，则r＝1，

∴T2＝－aC，∴－aC＝30，∴a＝－6.

2．在5的二项展开式中，x的系数为________．

答案  －40

解析  因为5的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x2)5－kk＝C25－k(－1)kx10－3k，

令10－3k＝1得k＝3，

所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.

3. 若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，则a0和a1的值分别为________．

答案 32,80

解析  由于x＋1＝x－1＋2，

因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展开式中(x－1)的系数为C24＝80.令x＝1，得a0＝32.

4．若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a等于________．

答案　1

解析　二项式(2x＋)7的展开式的通项公式为

Tr＋1＝C(2x)7－r·()r＝C27－rarx7－2r，

令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.

5．(2015新课标II理)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝_____.

答案　3

解析　设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.

课后作业

一、    填空题

1．(2015陕西理)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n等于________．

答案　6

解析　由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.

2．(2014·四川)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．

答案　15

解析　因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.

3．(2014·湖南)(x－2y)5的展开式中x2y3的系数是________．

答案　－20

解析　(x－2y)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x)5－r·(－2y)r＝C·()5－r·(－2)r·x5－r·yr.

当r＝3时，C()2·(－2)3＝－20.

4．在6的展开式中，常数项为________．

答案 

解析  根据二项式定理可得6的第n＋1项展开式为C()n6－n

＝C6－n，则当－6＝0，即n＝4时，则常数项为C6－4＝.

5．在(x2－)5的二项展开式中，第二项的系数为________．

答案  －5

解析  展开式中的第二项为T2＝C(x2)5－1(－)1，所以其系数为－C＝－5.

6．已知(x－)8展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是_____．

答案  1或38

解析  由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.

7．在(－)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．

答案　7

解析　由题意有n＝8，Tr＋1＝C()8－r(－1)rx8－r，r＝6时为常数项，常数项为7.

8．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为________．

答案  40

解析  令x＝1，即可得到5的展开式中各项系数的和为1＋a＝2，所以a＝1，5＝5，要找其展开式中的常数项，需要找5的展开式中的x和，由通项公式得Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－rCx5－2r，令5－2r＝±1，得到r＝2或r＝3，所以有80x和－项，分别与和x相乘，再相加，即得该展开式中的常数项为80－40＝40.

9．(2015安徽理)7的展开式中x5的系数是________(用数字填写答案)．

答案　35

解析　7的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C(x3)7－r·r＝C·x21－4r，令21－4r＝5，得r＝4，∴T5＝Cx5＝35x5.

10． (2015天津理)在6的展开式中，x2的系数为________．

答案　

解析　6的展开式的通项

Tr＋1＝Cx6－rr＝Crx6－2r；

当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C2＝.

11． (2015北京理)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．

答案　40

解析　展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.

二、解答题

12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

解析  令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.

(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.

(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.

13．已知在的展开式中，第6项为常数项．

(1) 求n；

(2) 求含x2的项的系数；

解析  通项公式为Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝(－3)rCx.

(1) ∵ 第6项为常数项，∴ r＝5时，有＝0，解得n＝10.

(2) 令＝2，得r＝(n－6)＝2，∴ x2的项的系数为C(－3)2＝405.