艺术生高考数学专题讲义：考点54 离散型随机变量及其分布列（理）

考点五十四  离散型随机变量及其分布列(理)

知识梳理

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

称为离散型随机变量X的概率分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1

3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：

若随机变量X服从两点分布，则其分布列为

其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列.

典例剖析

题型一  离散型随机变量分布列的性质

例1　设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则q等于________．

答案  1－

解析  由分布列的性质知∴q＝1－．

变式训练  随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则a＋c＝________.

答案　

解析　由题意知

则2b＝1－b，则b＝，a＋c＝

解题要点  抓住分布列两个性质：①p1＋p2＋…＋pn＝1；②pi≥0(i＝1，2，…，n)是解题的关键．

题型二  利用性质求离散型随机变量的分布列

例2　设离散型随机变量X的分布列为

求2X＋1的分布列。

解析　由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.

首先列表为：

从而由上表得2X＋1的分布列为：

变式训练  若上例条件不变，求|X－1|的分布列

解析　由上知，m＝0.3.

列表为：

从而由上表得|X－1|的分布列为：

解题要点  若X为随机变量，则2X＋1，| X－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．

题型三  离散型随机变量的分布列求法

例3　(2015重庆理)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

解析　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有

P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个)．

变式训练  (2015山东理)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．

(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；

(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．

解析　(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345；

(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84，

随机变量X的取值为：0，－1,1，

因此P(X＝0)＝＝，

P(X＝－1)＝＝，

P(X＝1)＝1－－＝，

所以X的分布列为

则E(X)＝0×＋(－1)×＋1×＝.

解题要点  1．求分布列的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率，要注意避免分类不全面或计算错误．

2. 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

当堂练习

1．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3，则a值为________．

答案  7

解析  由分布列的性质可得0.5＋0.1＋b＝1，解得b＝0.4.

由E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，解得a＝7．

2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝________.

答案 

解析  P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.

3. 设随机变量Y的分布列为

则“≤Y≤”的概率为________．

答案 

解析  依题意知，＋m＋＝1，则m＝.

故P＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝.

4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．

答案 

解析  由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝.

5．若随机变量X的分布列为

则m＝________．

答案 

解析  根据随机变量概率的性质有＋m＋＋＝1，解得m＝.

课后作业

一、    填空题

1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是________．

①第一枚6点，第二枚2点        ②第一枚5点，第二枚1点

③第一枚1点，第二枚6点       ④第一枚6点，第二枚1点

答案　④

解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选④．

2．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为________．

答案　

解析　设X的分布列为：

即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝．

3．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是________．

答案 

解析  设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，i＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝＝.

4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．

答案  9

解析  X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．

5．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值为________．

答案  0

解析  ⇒故a－b＝0.

6．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是________．

答案 

解析  Eξ＝(－1)×＋0×＋1×＝－，

∵η＝2ξ＋1，∴Eη＝2Eξ＋1＝2×＋1＝.

7．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是________．

答案 

解析  记“同时取出的两个球中含红球的个数”为X，

则P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝2)＝＝，

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

8．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝i)＝a()i，i＝1,2,3，则a的值是________．

答案　

解析　1＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝a[＋()2＋()3]，解得a＝.

9．已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为0.8，每次罚球命中得1分，罚不中得0分，则他罚球一次得分ξ的期望为________．

答案  0.8

解析  由题意，他得分的分布列为

∴E(ξ)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.

10．某射手射击一次所得环数X的分布列为

则P(X>7)＝________.

答案  0.9

11．(2014·江西卷)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．

答案 

解析  由超几何分布的概率公式可得P(恰好取到一件次品)＝＝.

二、解答题

12． (2015天津理)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

解析  (1)由已知，有P(A)＝＝.

所以，事件A发生的概率为.

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

13．(2015福建理)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．

解析  (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，

则PA．＝××＝.

(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2,3.

又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.