艺术生高考数学真题演练 专题09 三角函数（教师版）

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专题09 三角函数
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数在的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．
2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=
A．−2− B．−2+
C．2− D．2+
【答案】D
【解析】=
故选D.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意知，的周期，解得．故选A．
【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．
4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，又，，又，，故选B．
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
5．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由，
得或，
，．
在的零点个数是3，
故选B．
【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令，得或，再根据x的取值范围可求得零点.
6．【2019年高考北京卷文数】设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】时，，为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R的函数为偶函数等价于恒成立进行判断.
7．【2019年高考天津卷文数】已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
A．−2 B．
C． D．2
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
∵的最小正周期为π，∴，
∴
又，∴，
∴，
故选C.
【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，结合函数性质逐步得出的值即可.
8．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
故所求的最小正周期为，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间.
9．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3
B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3
D．的最小正周期为，最大值为4
【答案】B
【解析】根据题意有，所以函数的最小正周期为，且最大值为，故选B.
【名师点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.
10．【2018年高考天津卷文数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将函数的图象向右平移个单位长度之后的解析式为，
则函数的单调递增区间满足，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；
函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误.
故选A.
【名师点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】若，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】.
故选B.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，
因为，解得，即，
所以，故选B.
【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若在是减函数，则的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】.当x∈时，∈，
所以结合题意可知，，即，故所求a的最大值是·
故选C.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查考生的数形结合能力以及运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y=Asin(x+φ)(>0)，y=Acos(x+φ)(>0)，y=Atan(x+φ)(>0)的三角函数间是的关键.具体间题中，首先将“x+φ”看作一个整体，然后活用相关三角函的图象与性质求解.
14．【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；
因为时，，所以排除选项C，
故选D.
【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
15．【2018年高考北京卷文数】在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.

对于A选项：当点在上时，，，故A选项错误；
对于B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；
对于C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；
对于D选项：当点在上且在第三象限时，，故D选项错误.
综上，故选C.
【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
16．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】函数的部分图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；
当时，，故排除D；
当时，，故排除A．
故选C．
【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
17．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，故选C.
【名师点睛】函数的性质：
(1).
(2)最小正周期
(3)由求对称轴.
(4)由求增区间;由求减区间;
18．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知，则=
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】.所以选A.
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：
（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
19．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】函数的最大值为
A． B．1
C． D．
【答案】A
【解析】由诱导公式可得，
则，函数的最大值为.
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
20．【2017年高考全国Ⅲ文数】函数的部分图像大致为

【答案】D
【解析】当时，，故排除A，C；
当时，，故排除B，满足条件的只有D，
故选D.
【名师点睛】（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.
（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化进行研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
21．【2017年高考天津卷文数】设函数，其中．若且的最小正周期大于，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：
①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；
②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．
22．【2017年高考山东卷文数】已知，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由得，故选D.
【名师点睛】（1）三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．
（2）三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
23．【2017年高考山东卷文数】函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以其最小正周期，故选C.
【名师点睛】求三角函数周期的方法：
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
③对于形如的函数，一般先把其化为的形式再利用公式求周期.
24．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】
，
，当时，，
故函数的最小值为．
【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．
25．【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .
【答案】
【解析】由，得，
解得，或.


，
当时，上式
当时，上式=
综上，
【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
26．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知，则__________．
【答案】
【解析】，解方程得.
故答案为.
【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.解答本题时，可直接利用正切函数的差角公式求解；也可灵活利用加减变形技巧加以求解.
(1)有意识地考虑“角”与“角”之间的“加减”联系，常见的有，，等;
(2)处理有关三角函数问题时，有时需将表示“角”的代数式看作一个整体，然后通过换元，进一步分析、解决问题.
27．【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
【名师点睛】由对称轴得，再根据限制范围求结果.函数（A>0，ω>0）的性质：
(1)；
(2)最小正周期；
(3)由求对称轴；
(4)由求增区间;由求减区间.
28．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】函数的最大值为 .
【答案】
【解析】.
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值.
29．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知，tan α=2，则= .
【答案】
【解析】由得，
又，所以，
因为，所以，
因为，所以.
【名师点睛】三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
30．【2017年高考北京卷文数】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．
【答案】
【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：
若与的终边关于轴对称，则；
若与的终边关于轴对称，则；
若与的终边关于原点对称，则.
31．【2017年高考江苏卷】若则 ▲ ．
【答案】
【解析】．
故答案为．
【名师点睛】三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
32．【2019年高考浙江卷】设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，
即，
故，
所以．
又，因此或．
（2）

．
因此，函数的值域是．
【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.
33．【2018年高考北京卷文数】已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
所以的最小正周期为.
（2）由（1）知.
因为，
所以.
要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.
（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求出函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质，求出m的范围，即可求出m的最小值.
34．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（1）求sin（α+π）的值；
（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由角的终边过点得，
所以.
（2）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.
求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.
（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;
（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cosβ的值.
35．【2018年高考江苏卷】已知为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．
（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
【名师点睛】解答本题时，（1）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解；（2）利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式求解.
三角函数求值的三种类型：
（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．
（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．
（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．
36．【2017年高考北京卷文数】已知函数.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求证：当时，．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）.
所以的最小正周期.
（2）因为，
所以.
所以.
所以当时，.
【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，属于基础题，要求准确应用两角差的余弦公式和辅助角公式进行变形，化为标准的的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值时要注意自变量的取值.
（1）首先根据两角差的余弦公式化简，再根据辅助角公式化简为，最后根据公式求周期；
（2）先求的范围再求函数的最小值即可.
37．【2017年高考浙江卷】已知函数．
（1）求的值．
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
【答案】（1）2；（2）的最小正周期是；单调递增区间是．
【解析】（1）由，，．
得．
（2）由与得．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得，
解得，
所以，的单调递增区间是．
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
38．【2017年高考江苏卷】已知向量
（1）若a∥b，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．
【解析】（1）因为，，a∥b，所以．
若，则，
与矛盾，故．
于是．
又，所以．
（2）．
因为，所以，
从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
【名师点睛】解答本题时，（1）先由向量平行的坐标表示得，再根据同角三角函数的基本关系可得；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得，再根据的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．
熟记下列结论：（1）向量平行：，，；（2）向量垂直：；（3）向量加减乘：．