艺术生高考数学真题演练 专题11 平面向量（教师版）

专题11    平面向量

1．【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为

A．   B． 

C．   D．

【答案】B

【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．

【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

2．【2019年高考全国II卷文数】已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=

A．  B．2

C．5  D．50

【答案】A

【解析】由已知，，

所以，

故选A.

【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．

3．【2018年高考全国I卷文数】在中，为边上的中线，为的中点，则

A．       B． 

C．       D．

【答案】A

【解析】根据向量的运算法则，可得

，所以，故选A.

【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4．【2018年高考全国II卷文数】已知向量，满足，，则

A．4 B．3

C．2 D．0

【答案】B

【解析】因为所以选B.

【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.

5．【2018年高考浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是

A．−1 B．+1

C．2 D．2−

【答案】A

【解析】设，则由得，

由b2−4e·b+3=0得因此|a−b|的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.

【名师点睛】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题，考查数形结合思想，考查考生的选算求解能力以及分析问题和解决问题的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.

6．【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知,则的值为

A．  B．

C．  D．0

【答案】C

【解析】如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，

由题意可知：，，

结合数量积的运算法则可得：.

本题选择C选项.

【名师点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

7．【2017年高考全国II卷文数】设非零向量，满足，则

A．⊥             B．

C．∥           D．

【答案】A

【解析】由向量加法与减法的几何意义可知，以非零向量，的模长为边长的平行四边形是矩形，从而可得⊥.故选A.

【名师点睛】本题主要考查向量的数量积与向量的垂直.

8．【2017年高考北京卷文数】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么

；

若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.

【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算，及充分必要条件的判断，属于容易题.

9．【2019年高考北京卷文数】已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．

【答案】8

【解析】向量则.

【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题.

10．【2019年高考全国III卷文数】已知向量，则___________.

【答案】

【解析】．

【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．

11．【2019年高考天津卷文数】在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则_____________．

【答案】

【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，

则，.

因为∥，，所以，

因为，所以，

所以直线的斜率为，其方程为，

直线的斜率为，其方程为.

由得，，

所以.

所以.

【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.

12．【2019年高考江苏卷】如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.

【答案】.

【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．

，

，

得即故

【名师点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.

13．【2019年高考浙江卷】已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.

【答案】0；.

【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

则,

令0.

又因为可取遍，

所以当时，有最小值.

因为和的取值不相关，或，

所以当和分别取得最大值时，y有最大值，

所以当时，有最大值.

故答案为0；.

【名师点睛】对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题.

14．【2018年高考全国III卷文数】已知向量，，．若，则________．

【答案】

【解析】由题可得，，，，即，故答案为.

【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可.

15．【2018年高考北京卷文数】设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.

【答案】

【解析】，，

由得：，，即.

【名师点睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0．

16．【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为___________．

【答案】-3

【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；

∴；

∴a=b+2，或b=a+2；

且；

∴；

当a=b+2时，；

∵b2+2b﹣2的最小值为；

∴的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，的最小值为﹣3．

故答案为：﹣3．

【名师点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．

17．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为___________．

【答案】3

【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，

由得或，

因为，所以

【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

18．【2017年高考全国III卷文数】已知向量，且，则m=________．

【答案】2

【解析】由题意可得解得.

【名师点睛】（1）向量平行：，,.

（2）向量垂直：.

（3）向量的运算：.

19．【2017年高考全国I卷文数】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．

【答案】7

【解析】由题得，因为，所以，解得．

【名师点睛】如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0．

20．【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则___________．

【答案】3

【解析】由可得，，根据向量的分解，

易得，即，即，即得，

所以．

【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．

（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．

（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．

21．【2017年高考浙江卷】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是___________．

【答案】4，

【解析】设向量的夹角为，则，

，

则，

令，则，

据此可得：，

即的最小值是4，最大值是．

【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式，可得

，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．

22．【2017年高考天津卷文数】在中，，，．若，

，且，则的值为________．

【答案】

【解析】由题可得，则．

【名师点睛】根据平面向量基本定理，利用表示平面向量的一组基底可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，则可获解．本题中已知模和夹角，作为基底易于计算数量积．

23．【2017年高考山东卷文数】已知向量a=（2,6）,b= ,若,则________．

【答案】

【解析】由可得

【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：

（1）利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．

（2）利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

（3）三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.