艺术生高考数学专题讲义：考点19 三角恒等变换

考点十九  三角恒等变换

知识梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))

tan(α＋β)＝　(T(α＋β))

tan(α－β)＝　(T(α－β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α (S2α)

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)

tan 2α＝ (T2α)

3．公式的变形和逆用

在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：

降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α

1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.

正切和差公式变形：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，

tan αtan β＝1－＝－1.

配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，

1－sin α＝(sin－cos)2.

4．辅助角公式

asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.

典例剖析

题型一  给角求值

例1　(1) 计算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________．

(2)计算的值为________．

答案　(1)      (2)

解析　(1) cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°＝cos 42° cos 18°－sin 42° sin 18°

＝cos (42°＋18°) ＝cos 60°＝.

(2)∵ cos2155°－sin2155°＝cos 310°＝cos 50°.

∴ ＝＝＝＝.

变式训练  ＝________．

答案  

解析  原式＝

＝

＝＝sin 30°＝.

解题要点  解题时先看角，观察是否有30°、60°、90°等特殊角，或是观察能否通过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.

题型二  给值求值

例2　已知α∈，sin α＝.

(1)求sin的值；

(2)求cos的值．

解析  (1)因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－＝－.

故sin＝sin cos α＋cos sin α＝×＋×＝－.

(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，

cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，

所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝×＋×＝－.

题型三  利用角的凑配求值

例3　已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于________．

答案　

解析　因为α＋＋β－＝α＋β，

所以α＋＝(α＋β)－，所以

tan＝tan＝＝.

变式训练  已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于________．

答案　

解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)．

∵cos α＝，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，

∴sin 2α＝＝，

而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，

∴sin(α＋β)＝＝，

∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]

＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)

＝×(－)＋×＝.

解题要点  1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

2．常见的凑配技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．

题型四  辅助角公式

例4　(2015安徽文)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．

解析　(1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x

＝1＋sin 2x＋cos 2x

＝sin＋1，

所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.

当x∈时，2x＋∈，

由正弦函数y＝sin x在上的图象知，

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.

综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.

变式训练　函数f(x)＝sin x＋cos(＋x)的最大值为________．

答案　1

解析  f(x)＝sin x＋cos cos x－sin sin x＝cos x＋sin x＝sin(x＋)．

∴f(x)max＝1.

解题要点  利用辅助角公式将asin x＋bcos x化为Asin(ωx＋φ)是常见的题型，转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．对于计算形如y＝sin(ωx＋φ), x∈[a，b]形式的函数最值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.

当堂练习

1．(2015新课标Ⅰ理)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________．

答案　

解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.

2．若＝，则tan2α＝________．

答案 

解析  由＝，得tanα＝－3，

∴tan2α＝＝，选B项．

3. 已知cos(α＋)＝，则sin(2α－)的值为________．

答案 

解析  由cos(α＋)＝，

得cos(2α＋)＝2×()2－1＝－.

所以sin(2α－)＝sin(2α＋－)＝－cos(2α＋)＝.

4．若函数f(x)＝sin2(x＋)＋cos2(x－)－1，则函数f(x)是________．

① 周期为π的偶函数　　　 ② 周期为2π的偶函数

③ 周期为2π的奇函数　　　 ④ 周期为π的奇函数

答案  ④

解析  f(x)＝sin2(＋x)＋sin2(＋x)－1＝2sin2(＋x)－1＝－cos(＋2x)＝sin2x

∴故④正确．

5．(2015北京理)已知函数f(x)＝sincos－sin2.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．

解析　(1)因为f(x)＝sin x－(1－cos x)＝sin－，

所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.

当x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值．

所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.

课后作业

一、    填空题

1．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cosβ＝________．

答案 

解析  ∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.

2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为________．

答案 

解析  sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝.

3．(2015陕西文)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件．

答案　充分不必要

解析　∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故为选充分不必要条件.

4．若cosα＝－，α为第三象限角，则sin＝________．

答案  －

解析  ∵α为第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－，

∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝＝－.

5．＝________．

答案　

解析　sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，

∴原式＝＝sin30°＝.

6．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于________．

答案 

解析  ∵α＋＋β－＝α＋β，∴α＋＝(α＋β)－，

∴tan＝tan＝＝.

7．已知sin＝，则sin2x的值为________．

答案 

解析  ∵sin2x＝cos＝1－2sin2＝1－2×＝.

8．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝________．

答案  －

解析  ∵α∈，sinα＝，∴cosα＝－，∴tanα＝－.

∴tan2α＝＝＝－.

9．(2015四川理)sin 15°＋sin 75°的值是________．

答案　

解析　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.

10．已知cos(α＋)＝，α∈(0，)，则cosα＝________.

答案 

解析  ∵α∈(0，)，cos(α＋)＝>0，

∴α∈(0，)，α＋∈(，)，

∴sin(α＋)＝，

cosα＝cos(α＋－)＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)·sin＝.

11． (2015浙江理)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．

答案　π　(k∈Z)

解析　f(x)＝＋sin 2x＋1

＝sin＋，∴T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

∴单调递减区间是，k∈Z.

二、解答题

12． (2015重庆理)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在上的单调性．

解析　(1)f(x)＝sinsin x－cos2x

＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而

当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．

13．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)的值．

解析  ∵0<α<<β<π，

∴π<π＋α<π，－<－β<0.

又sin＝，cos＝，

∴cos＝－，sin＝－，

∴cos(α＋β)＝sin

＝sin

＝sincos－cossin

＝－.