艺术生高考数学专题讲义：考点21 不等关系与不等式

考点二十一  不等关系与不等式

知识梳理

1．不等式

在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着形形色色的不等关系，它们都是客观存在的基本数量关系，是数学研究的重要内容．在数学中，我们用不等式表示不等关系．

不等式的定义：用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个实数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式．

注意：“a≥b”是指“a＞b或a=b”，等价说法是“a不小于b”，对于“a≥b”而言，只要a＞b 和a=b中有一个成立，a≥b就成立，例如：3≥2,2≥2等都是真命题．同理，“a≤b”是指“a＜b或a=b”，等价说法是“a不大于b”，只要a＜b和a=b中只要有一个成立，a≤b就成立．

2．同向不等式

我们把a＞b和c＞d(或a＜b和c＜d)这类不等号方向相同的不等式，叫做同向不等式．

3．实数比较大小的两大法则：作差比较和作商比较法

注意：作商比较时要分清所研究变两个变量的正负，然后根据“若＞1，b＞0，则a＞b；若＞1，b＜0则a＜b)”的原则进行判断．

4．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.

(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．

(8)开方法则：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

5．不等式的倒数性质

(1)a＞b，ab＞0⇒＜.

(2)a＜0＜b⇒＜.

(3)a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞.

注意：(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a≤b，b＜c⇒a＜c；

(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a＞b⇒ac2＞bc2；若无c≠0这个条件，a＞b⇒ac2＞bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．

典例剖析

题型一  不等关系

例1　某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．

解析  设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，

则即

变式训练  某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是__________．(填序号)

①         　②   ③   ④

答案  ④

解析  ∵x不低于95分，∴ x≥95.  

∵y是高于380分，∴y>380.

∵z超过45分．∴z>45.

解题要点  解题时关键是要弄懂“不超过”、“至少”、“不低于”、“超过”这些文字语言，它们与不等号的对应关系如下表：

题型二  比较大小

例2　比较下列各组中两个代数式的大小：

(1)x2＋3与3x；

(2) 与.

解析　(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－)2＋≥＞0，∴x2＋3＞3x.

(2) ∵－＝＝－ ≤0，

∴≤.

变式训练  已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．

解析　(x3－1)－(2x2－2x)

＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)

＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，

∵x<1，∴x－1<0.又(x－)2＋>0，

∴(x－1)[(x－)2＋]<0，∴x3－1<2x2－2x.

解题要点  “作差比较法”的一般步骤为:

(1)作差：对要比较大小的两个式子作差；

(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形；

(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号；

(4)作出结论．

题型三  不等式的性质

例3　(2014·四川)若a>b>0，c<d<0，则一定有__________．(填序号)

①     >    ②<        ③>    ④<

答案　④

解析　方法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，则＝－1，＝－1，

所以①，②错误；＝－，＝－，所以<，所以③错误．故选④.

方法二：因为c<d<0，所以－c>－d>0，所以>>0.

又a>b>0，所以>，所以<.故选④.

变式训练  设a，b是非零实数，若a<b，则下列不等式成立的是__________．(填序号)

①       a2<b2     ②ab2<a2b        ③<       ④<

答案　③

解析　当a<0时，a2<b2不一定成立，故①错．

因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a>0，ab符号不确定，

所以ab2与a2b的大小不能确定，故②错．

因为－＝<0，

所以<，故③正确．

④项中与的大小不能确定．

解题要点  在利用不等式的性质比较不等式时，如果可以赋值，就用赋值法，这样可使问题快速得解；如果赋值不能排除，则应通过推理判断，结合不等式的性质作出判断.

题型三  不等式的性质的应用

例4　设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是__________．

答案　

解析  由题设得0＜2α＜π，0≤≤，∴－≤－≤0，∴－＜2α－＜π.

变式训练  若α，β满足则α＋3β的取值范围为________．

答案　 [1，7]

解析  设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.

则解得

∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，

两式相加，得1≤α＋3β≤7.

∴α＋3β的取值范围是[1，7]．

解题要点  在利用同向不等式相加求解表达式范围时，一般可用待定系数法.注意，如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．

当堂练习

1．若a、b为实数，则“0<ab<1”是“b<”的__________条件．

答案  既不充分也不必要

解析  若0<ab<1，当a<0时，b>，反之，若b<，当a<0时，ab>1.故为既不充分也不必要条件.

2．已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是__________．(填序号)

① a>ab>ab2　　　② ab2>ab>a        ③ ab>a>ab2　　　④ ab>ab2>a

答案  ④

解析  ∵a<0，－1<b<0，∴ab2－a＝a(b2－1)>0，ab－ab2＝ab(1－b)>0.

∴ab>ab2>a.

也可利用特殊值法，取a＝－2，b＝－，则ab2＝－，ab＝1，从而ab>ab2>a.

故应选④.

3. 设a，b，c∈R，且a＞b，则__________．(填序号)

 ① ac＞bc　　　　② ＜       ③ a2＞b2    ④ a3＞b3

答案  ④

解析  ①项中，若c小于等于0则不成立；②项中，若a为正数b为负数则不成立；③项中，若a，b均为负数则不成立．故选④.

4．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是__________．

答案  (－，0)

解析  ∵－<α<β<π，

∴－<α<π，－π<－β<，

∴－<α－β<，

又α－β<0，

∴－<α－β<0.

5．若a、b∈R，则下列不等式：

①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序号)

答案  ①②

解析  ①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0；

②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；

③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，

若a＝b，则上式＝0，不成立；

④若a＜0，则a＋＜0.

∴①②一定成立.

课后作业

一、    填空题

1．设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是__________．(填序号)

①a－b>0　  　　② a＋b>0       ③ a2－b2>0　  　④ a3＋b3<0

答案  ②

解析  由b>|a|，可得－b<a<b.由a<b，可得a－b<0，所以选项①错误．由－b<a，可得a＋b>0，所以选项②正确．由b>|a|，两边平方得b2>a2，则a2－b2<0，所以选项③错误，由－b<a，可得－b3<a3，则a3＋b3>0，所以选项④错误.

2．设a<b<0，则下列不等式中不成立的是__________．(填序号)

①>          ②>           ③|a|>－b       ④>

答案  ②

解析  由题设得a<a－b<0，所以有<成立，即>不成立．

3．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是__________．(填序号)

①a＋＞b＋     ②＞      ③a－＞b－     ④＞

答案  ①

解析  ∵a＞b＞0，∴＞＞0，∴a＋＞b＋，选①项．

4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的__________条件．

答案  充分而不必要

解析  若(a－b)·a2<0，则a≠0，且a<b，所以充分性成立；若a<b，则a－b<0，当a＝0时，(a－b)·a2＝0，所以必要性不成立．故“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件．

5．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是__________．(填序号)

①若a＞b，c＞d，则ac＞bd       ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

③若a＜b＜0，则＜            ④若a＜b＜0，则＞

答案  ②

解析  对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；③中由a＜b＜0，得＞，故③不正确，又－＝＝，又a＜b＜0，∴＜0，∴＜，故④不正确；对于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab＞b2，故选②.

6．若a，b∈R，下列命题中

①若|a|＞b，则a2＞b2；        ②若a2＞b2，则|a|＞b；

③若a＞|b|，则a2＞b2；        ④若a2＞b2，则a＞|b|.

其中正确的是__________．(填序号)

答案　②和③

解析　条件|a|＞b，不能保证b是正数，条件a＞|b|可保证a是正数，

故①不正确，③正确．

a2＞b2⇒|a|＞|b|≥b，故②正确，④不正确．

7．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不一定能成立的是__________．(填序号)

①＜            ②＞0          ③＜        ④＜0

答案  ③

解析  ∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴＜，＞0，＜0，但b2与a2的关系不确定，故＜不一定成立．选③项．

8．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是__________．(填序号)

①a2>b2　     　 ②a|c|>b|c|           ③<           ④>

答案　④

解析　方法一：(特殊值法)

令a＝1，b＝－2，c＝0，代入①，②，③，④中，可知①，②，③均错，故选④.

方法二：(直接法)

∵a>b，c2＋1>0，∴>，故选④.

9．若a>b>c，则与的大小关系为________．

答案  <

解析  ∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，∴<.

10．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2a－b－；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．

答案  2

解析  ①∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故①不恒成立；

②a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，

∴a2＋b2>2a－b－恒成立;

③∵(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，

又∵>，

∴17＋2>17＋2，

∴＋>＋，成立．

11．若x＞y，a＞b，则在 ①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的不等式的序号是__________．(写出所有恒成立的不等式的序号)．

答案  ②④

解析  令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，

 符合题设条件x＞y，a＞b，

∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，

∴a－x＝b－y，因此①不成立．

又∵ax＝－6，by＝－6，

∴ax＝by，因此③也不正确．

又∵＝＝－1，＝＝－1，

∴＝，因此⑤不正确．

由不等式的性质可推 出②④成立．

二、解答题

12．已知某学生共有10元钱，打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本，根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本．写出满足条件的不等式．

解析  设铅笔买x枝，练习本买y本(x，y∈N*)，总钱数为

0.6x＋0.7y，且不大于10，∴

13．设x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，试比较x与y的大小．

解析  ∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8＝－7<0，∴x<y.