艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积

考点二十七  平面向量的数量积

知识梳理

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角，记作< a，b>．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量的数量积

已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

3．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积或b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ的乘积．

注意：b在a方向上的投影为|b|cos θ＝，而a在b方向上的投影为|a|cos θ＝，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.

4．平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；

(2) a⊥b⇔a·b＝0；

(3)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝；

(4)cos θ＝；

(5)|a·b|≤|a||b|.

5．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

6．平面向量数量积的坐标运算

设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1) a·b＝x1x2＋y1y2

(2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝.

(3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(4) cos θ＝

典例剖析

题型一  平面向量数量积的计算

例1　已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.

答案　3

解析　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos30°＝2××＝3.

变式训练  在△ABC中，三边长均为1，设＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．

解析　∵|a|＝|b|＝|c|＝1，

∴<a，b>＝120°，<b，c>＝120°，<c，a>＝120°，

∴a·b＝|a||b|cos120°＝－，

b·c＝|b||c|cos120°＝－，

c·a＝|c||a|cos120°＝－，

∴a·b＋b·c＋c·a＝－.

解题要点  在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.

题型二  利用数量积求射影

例2　若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为________.

答案　2

解析　a在b方向上的投影为|a|cos<a，b>＝4×cos30°＝2.

变式训练  已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________.

答案　

解析　由已知得＝(2，1)，＝(5，5)，因此在方向上的投影为＝＝.

题型三  利用数量积求模长

例3　已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．

答案 

解析  |a－b|＝＝＝＝.

变式训练  已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________．

答案  3

解析  |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴|a|＝3.

解题要点  一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a|2＝a2＝a·a，常见利用数量积求解模长的处理方法：

(1)|a|2＝a2＝a·a；

(2)|a±b|2＝a2±2a·b＋b2；

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.

题型四  利用数量积求夹角

例4　若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝，则向量a，b的夹角为________.

答案　60°

解析　∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝，

∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝，cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.

变式训练  若e1，e2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2的夹角为________.

答案  120°

解析  a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，

又|a|＝＝ ＝，

|b|＝ ＝ ＝，

∴a与b的夹角θ满足：cosθ＝＝＝－，

又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.

解题要点  求两个非零向量的夹角时要注意：

(1)向量的数量积不满足结合律；

(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．

题型五  利用数量积求解垂直问题

例5　(1)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.

 (2) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.

答案  (1) －3    (2) 3

解析  (1)∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.

(2) 因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，

变式训练  已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.若|a－b|＝，求证：a⊥b；

解析  证明：由题意得|a－b|2＝2，

即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.

又∵a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，

∴2－2a·b＝2，即a·b＝0.故a⊥b.

解题要点  两向量垂直的应用：

两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.对于给出向量的坐标的垂直问题，既可以利用坐标运算，即利用公式a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0求解，也可以利用数量积的定义求解，即利用公式a·b＝|a||b|cos θ求解.

当堂练习

1．(2015新课标II文)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于________.

答案　1

解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.

2．(2015重庆文)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为________.

答案　

解析　因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，即a，b夹角为.

3. 若向量a＝(x＋1,2)和向量b＝(1，－1)平行，则|a＋b|＝________.

答案 

解析  依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝＝.

4．在△ABC中，＝(，－1)，＝(1，－)，则cosB＝________.

答案  －

解析  ∵在△ABC中，＝(，－1)，＝(1，－)，

∴||＝2，||＝2，＝(－，1)，∴cosB＝＝＝－.

5．(2015湖北文)已知向量⊥，||＝3，则·＝________.

答案　9

解析　因为⊥，所以·＝0.所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.

课后作业

一、    填空题

1．在边长为2的正△ABC中，·等于________.

答案  －2

解析  ·＝||·||·cos(π－∠ABC)＝2×2×cos120°＝－2.

2．已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝________.

答案 

解析  |a－b|2＝(a－b)2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝13，故|a－b|＝.

3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC＝________.

答案 

解析  ∵·＝1，且AB＝2，∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－.

在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，即9＝4＋BC2－2×2×.

∴BC＝.

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 · 等于________.

答案  16

解析  ·＝(－)·(－)＝－·＋2＝16.

5．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________.

答案 

解析  设a与b的夹角为θ，

由|a|＝1，|b|＝2，得(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋1×2×cos θ－2×4＝－6，

解得cos θ＝.再由0≤θ≤π可得θ＝.

6．已知向量a与b的夹角为，|a|＝，则a在b方向上的投影为________.

答案　

解析　∵a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝cos＝.

7．(2015北京文)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的________条件

答案　充分而不必要条件

解析　由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cos θ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a∥b；

反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0°或180°，a·b＝±|a|·|b|.

8．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝________.

答案　

解析　根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝．

9．(2015浙江文)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.

答案　

解析　因为|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.所以e1与e2的夹角为60°.又因为b·e1＝b·e2＝1，

所以b·e1－b·e2＝0，即b·(e1－e2)＝0，所以b⊥(e1－e2)．所以b与e1的夹角为30°，

所以b·e1＝|b|·|e1|cos 30°＝1.

∴|b|＝.

10．已知a＝(1，)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|＝________.

答案  2

解析  ∵a＋2b＝(－1，)，∴|a＋2b|＝＝2.

11．若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是_______．

答案 

解析  设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，∵|a|＝2，

∴a·b＝－4，∴|a|·|b|·cosθ＝－4，

又|b|＝4，∴cosθ＝－，即θ＝.

∴向量a，b的夹角为.

二、解答题

12．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．

(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；

(2)求向量a在b方向上的投影．

解析  (1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，

∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．

∴b·c＝2×6－2×6＝0，

∴(b·c)a＝0a＝0.

(2)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.

∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.

13．(2015广东理)

在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值．

解析　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.

所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，

所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.

(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，

即sin x－cos x＝，所以sin＝，

因为0<x<，所以－<x－<，所以x－＝，即x＝.