艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

考点二十八  等差数列

知识梳理

1．数列的定义

按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．

2．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．

3．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝.

4．数列的分类

5．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示．

6．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

说明：等差数列{an}的通项公式可以化为an＝pn＋q(其中p，q为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n的一次表达式，则该数列为等差数列.

7．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn，则

Sn＝＝na1＋d.

说明：数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)．这表明d≠1时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次表达式，并且没有常数项.

8．等差中项

如果A＝，那么A叫作a与b的等差中项．

9．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

(6) 若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋) 也是等差数列．

10．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

典例剖析

题型一  基本量法在等差数列中的运用

例1　设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于________．

答案 

解析  由得

解得a1＝.

变式训练  等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．

答案  48

解析  设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得，则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.

解题要点  在等差数列中，a1，an，d，n，Sn这五个基本量，只要知道其中三个，就可以求出另外两个，即“知三求二”。解题时利用的是方程的思想，即构造基本量有关的方程或方程组求解。

题型二  利用等差数列的性质解题

例2　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则__________.

(2) 等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．

答案　(1)35   (2) 2

解析　(1)∵，为等差数列，∴为等差数列，

∴(a1＋b1)＋(b5＋a5)＝2(a3＋b3)＝42，∴a5＋b5＝42－7＝35.

(2) ∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，

又∵a4＝7，∴d＝a4－a3＝2.

变式训练  (1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________．

 (2) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

答案　(1) 88  (2) 60

解析　(1)S11＝＝＝88.

(2) ∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，

∴S30－30＝10＋2×10＝30，

∴S30＝60.

解题要点  在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．

题型三  等差数列的前n项和

例3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.

答案  －72

解析  设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

由已知，得解得

∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.

变式训练  在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

解析  (1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.

由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.

从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.

(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.

由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，

解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.

解题要点  1. 等差数列前n项和Sn公式为：Sn＝＝na1＋d.在求解前n项和时，应根据题意选取合适的求和公式。

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．

题型四  等差数列的前n项和的最值问题

例4　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

解析  ∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋d，∴d＝－.

法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋.

得a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，

且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

法二：∴Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋.

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

解题要点  求等差数列前n项和Sn最值的两种方法

(1)配方法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)不等式组法：

①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

当堂练习

1．(2015重庆理)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝________．

答案　0

解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.

2．(2015新课标Ⅰ文)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于________．

答案　

解析　∵公差为1，

∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，

∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.

3. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．

答案  48

解析  设等差数列{an}的公差为d，由题意可得解得则S10－S7＝a8＋a9＋a10＝3a1＋24d＝48.

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－9，a3＋a7＝－6，则当Sn取得最小值时，n＝________．

答案 6

解析  ∵a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，

∴d＝2，∴a6＝－1，a7＝1，

∴S6最小.

5．等差数列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是________．

答案  26

解析  ∵a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，

∴6(a4＋a10)＝24，故a4＋a10＝4.

∴S13＝＝＝26.

课后作业

一、    填空题

1． (2015新课标II文)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于________．

答案　5

解析　∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，

∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，

∴S5＝＝5a3＝5.

2．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝________．

答案  －6

解析  由S8＝4a3知：a1＋a8＝a3，a8＝a3－a1＝2d＝a7＋d，所以a7＝d＝－2.所以a9＝a7＋2d＝－2－4＝－6.

3．在等差数列中，a2＝2，a10＝15，则a18的值为________．

答案  28

解析  ∵为等差数列，∴a2＋a18＝2a10，∴a18＝2a10－a2＝28.

4．在等差数列{an}中，若a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为________．

答案　2

解析　∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.

故d＝a4－a3＝7－5＝2.

5．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于________．

答案　2

解析　由已知得S3＝3a2＝12，即a2＝4，∴d＝a3－a2＝6－4＝2.

6．已知等差数列{an}中，a3＋a4－a5＋a6＝8，则S7＝________．

答案  28

解析  ∵{an}为等差数列，∴a4＋a6＝2a5，∴a3＋a4－a5＋a6＝a3＋a5＝2a4＝8，∴a4＝4，∴S7＝7a4＝28.

7．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为________．

答案　8

解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16.

∴a7－a8＝＝＝8.

8．已知等差数列{an}满足a1>0,5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为________．

答案  21

解析  由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)≥0，得n≤＝21，∴数列{an}前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.

9．(2015安徽文)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．

答案　27

解析　由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列．

∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.

10．(2015广东理)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

答案　10

解析　因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.

11．(2015陕西理)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．

答案　5

解析　由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，

∴a1＝5.

二、解答题

12． (2015四川文)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．

  (1)求数列{an}的通项公式；

  (2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.

解析　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，

从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，

所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，

所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.

(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.

13．等差数列{an}满足a3＝3，a6＝－3，求数列{an}的前n项和Sn的最大值.

解析  法一　由a3＝3，a6＝－3得，解得

∴Sn＝na1＋d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16.

∴当n＝4时Sn有最大值16.

法二　由a3＝3，a6＝－3得

解得所以an＝9－2n.

则n≤4时，an>0，当n≥5时，an<0，

故前4项和最大且S4＝4×7＋×(－2)＝16.