艺术生高考数学专题讲义：考点29 等比数列

考点二十九  等比数列

知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，＝q．

说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0.

(2)等比中项：

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab⇒G＝±．

说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a；

(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

典例剖析

题型一  等比数列中基本量解题

例1　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝，S3＝，则公比q＝________.

答案  1或－

解析  设数列的公比为q，∵a3＝，S3＝，∴

两式相除得＝3，即2q2－q－1＝0.

∴q＝1或q＝－.

变式训练  在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，则an＝________．

答案  3n－1

解析  设{an}的公比为q，依题意得解得

因此an＝3n－1.

解题要点  在等比数列中，基本量是a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)使问题得解．

题型二  利用等比数列的性质解题

例2　已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10等于________.

答案　－7

解析　方法一　由题意得

∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

方法二　由，解得或

∴或

∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

变式训练  在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，则a41a42a43a44＝________.

答案　1 024

解析　(2)方法一　a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①

a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②

②÷①：＝q48＝8⇒q16＝2，

又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43

＝a·q166＝a·q6·q160

＝(a·q6)·(q16)10＝1·210＝1 024.

方法二　由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，

设T1＝a1·a2·a3·a4＝1，

T4＝a13·a14·a15·a16＝8，

∴T4＝T1·p3＝1·p3＝8⇒p＝2.

∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·p10＝210＝1 024.

解题要点  在数列问题中，要特别关注项数的特征，等比数列中项数和相等，则积相等，即“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，巧妙利用性质可以减少运算量，提高解题速度．

题型三  等比数列的前n项和及其性质

例3　若等比数列{an}满足a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前n项和Sn＝________．

答案  (2n－1)

解析  由题意a2＋a5＝q(a1＋a4)，得20＝q×10，故q＝2，代入a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得9a1＝10，得a1＝.

故Sn＝＝(2n－1)．

变式训练  已知数列{an}满足2an＋1＋an＝0，a2＝1，则数列{an}的前10项和S10为________.

答案  (2－10－1)

解析  ∵2an＋1＋an＝0，∴＝－.

又a2＝1，∴a1＝－2，∴{an}是首项为－2，公比为q＝－的等比数列，

∴S10＝＝＝(2－10－1).

例4　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则 S9∶S3等于________.

答案  3∶4

解析  由等比数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，

将S6＝S3代入得＝.

变式训练  等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.

答案　－

解析  由＝，a1＝－1知公比q≠1，

则可得＝－.

由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，

故q5＝－，q＝－.

解题要点  1. 运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论．

2.注意性质的适用范围，公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．

当堂练习

1．(2015新课标II文)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于________.

答案　

解析　由{an}为等比数列，得a3a5＝a，所以a＝4(a4－1)，解得a4＝2，设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝.

2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.

答案 

解析  设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.

∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，

∴＝q＋10，整理得q2＝9.

∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.

3. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a3＝，S3＝，则公比q＝________.

答案  1或－

解析  设数列的公比为q，∵a3＝，S3＝，∴a1q2＝，a1(1＋q＋q2)＝.

两式相除得＝3，即2q2－q－1＝0.∴q＝1或q＝－.

4．已知等比数列{an}，且a4＋a8＝2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________.

答案  4

解析  a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a6·a6＋a6a10＝a＋2a4·a8＋a＝(a4＋a8)2＝4.

5．若{an}为等比数列，a2＋a3＝1，a3＋a4＝－2，则a5＋a6＋a7等于________.

答案 24

解析  由已知得

解得q＝－2，a1＝，

∴a5＋a6＋a7＝a5(1＋q＋q2)＝a1q4(1＋q＋q2)＝24.

课后作业

一、    填空题

1．已知各项为正的等比数列{an}满足a3·a9＝4a，a2＝1，则a1＝________.

答案 

解析  ∵a3a9＝a＝4a，又q>0，∴q＝2，a1＝＝.

2．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝1，a11＋a12＝4，则a21＋a22的值为________.

答案  16

解析  设{an}的公比为q，则a11＋a12＝q10(a1＋a2)，

所以4＝q10，a21＋a22＝q20(a1＋a2)＝16.

3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10等于________.

答案  5

解析  ∵a3·a11＝16，∴a＝16.

又∵等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.

又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.

4．在等比数列中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝________.

答案  4

解析  ∵为等比数列，∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，

∴a5＋a6＝＝＝4.

5．(2015新课标II理)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.

答案　42

解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.

6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于________.

答案  30

解析  设S2n＝a，S4n＝b，由等比数列的性质知：

2(14－a)＝(a－2)2，解得a＝6或a＝－4(舍去)，

同理(6－2)(b－14)＝(14－6)2，所以b＝S4n＝30.

7．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为________.

答案　1或－

解析　根据已知条件得②÷①得＝3.

整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.

8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝________.

答案　

解析　因为a3·a9＝2a，则由等比数列的性质有：a3·a9＝a＝2a，所以＝2，即()2＝q2＝2.因为公比为正数，故q＝.又因为a2＝1，所以a1＝＝＝.

9．(2015浙江文)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.

答案　　－1

解析　因为a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，∴a1＝－d，∵2a1＋a2＝1，∴2a1＋a1＋d＝1即3a1＋d＝1，∴a1＝，d＝－1.

10．(2015广东文)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.

答案　1

解析　∵三个正数a，b，c成等比数列，

∴b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1.∵b为正数，∴b＝1.

11．(2015新课标Ⅰ文)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.

答案　6

解析　由an＋1＝2an知，数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝＝126，解得n＝6.

二、解答题

12．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn}中的b3，b4，b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．

解析　(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.

依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.

所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.

依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1×22，解得b1＝.

所以{bn}是以为首项，以2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝×2n－1＝5×2n－3.

(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝＝5×2n－2－，即Sn＋＝5×2n－2.

所以S1＋＝，＝＝2.

因此{Sn＋}是以为首项，以2为公比的等比数列．

13．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

解析  (1)∵S1＝a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，∴Sn＝2n－1，又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2，∴an＝

(2)a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴a3＋a5…＋a2n＋1＝＝.∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.