艺术生高考数学专题讲义：考点35 空间直线、平面垂直的判定及其性质

考点三十五  空间直线、平面垂直的判定及其性质

知识梳理

1．直线与平面垂直的定义

如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．

结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

2.直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

3．直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

4．与线面垂直有关的重要结论

(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．

(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．

(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．

5．两平面垂直的定义

如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．

6．两平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

7．两平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

8.空间角

(1)直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，]．

(2)二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．

②二面角的平面角

如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角．

9.垂直关系的转化

判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直

性质定理转化：面面垂直

用图形表示为：

同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：

线线垂直线面垂直线线平行线面平行

典例剖析

题型一  垂直问题有关的命题判定

例1　(2014·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________．

①                                                                                                                                       若m⊥n，n∥α，则m⊥α

②                                                                                                                                       若m∥β，β⊥α则m⊥α

③                                                                                                                                       若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α

④                                                                                                                                       若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

答案　③

解析  选项①，②，④中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选③.

变式训练  已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；   ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；   ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.

其中所有正确的命题是________．

答案　①④

解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.

解题要点  1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.

2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断．

题型二  线面垂直的判定与性质

例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．

 (1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.

证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，

∵N是PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD，且NE＝CD，

而AM∥CD，且AM＝AB＝CD，∴NEAM，∴四边形AMNE为平行四边形，

∴MN∥AE.

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD.

而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，

∴△PAD为等腰直角三角形．

又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，

∴AE⊥平面PCD.

又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.

解题要点  利用判定定理证明线面垂直时，必须证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这里相交必须要体现出来．

题型三  面面垂直的判定和性质

例3　如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．

 (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；

(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

解析  (1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，

所以DC1⊥平面BDC.

又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

(2)设棱锥B­DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝××1×1＝.

又三棱柱ABC­A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.

故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.

变式训练  如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E－ABC的体积．

解析　(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.

又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，

又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.

(2)证明　取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.

又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE.

(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝＝.

所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.

解题要点　(1)判定面面垂直的方法：

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

当堂练习

1．下列命题中，正确命题个数为________．

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．

答案  4

解析  ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．

2．下列命题中正确的是________．

①平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

②若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β

③若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β

④若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β

答案  ③

解析  由两个平面垂直的定义知，③正确．

3. 在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是________．

①BC∥平面PDF   ②DF⊥平面PAE    ③平面PDF⊥平面ABC  ④平面PAE⊥平面ABC

答案  ③

解析  可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故①成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故②成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故④成立．

4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则________．

①a⊥β        ②a∥β       ③a与β相交   ④以上都有可能

答案  ④

解析  借助长方体，可举例说明①、②、③都有可能成立．

5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 给出下列四个命题：

①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；       ②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；

③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；     ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.

则其中正确命题的序号为________．

答案  ①③④

解析  ②中可能有m∥β，故②不正确．

课后作业

一、    填空题

1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．

①⇒n⊥α；         ②⇒M∥n；

③⇒M⊥n;          ④⇒n⊥α．

答案  3

解析  ①②③正确，④中n与面α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)

2．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的________．

答案  ∠PDA

解析  ∵PA⊥平面ABCD，

∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．

3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________．

答案  1个或无数个

解析  如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．

4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是________．

①                                                                                               ②           ③                  ④

答案  ①

解析  ①中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；

②中，AB与CD成60°角；

③中，AB与CD成45°角；

④中，AB与CD夹角的正切值为．

5．已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c;②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c;③若a∥b，b⊥c，则a⊥c．

其中正确的个数为________．

答案  1个

解析  ①不对，b，c可能异面；②不对，b，c可能平行或异面；③对．

6．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则________．

①n⊥β    ②n∥β        ③n⊥α  ④n∥α或n⊂α

答案  ④

解析  如图所示，

图①中n与β相交，②中n⊂β，③中n∥β，n∥α，∴排除选④.

7．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．

①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α    ②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α

③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α       ④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

答案  ③

解析  与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故①错；

对②，存在n∥α情况，故②错；

对④，存在α∥β情况，故④错．

由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故③正确．

8．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则________．

①β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直

②β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

③β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直

④β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直

答案  ③

解析  当直线m与β相交时β内存在直线与m平行，但可以作直线与m成90°角．

9．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．

答案  垂直

解析  取AC中点E，连BE、DE．由AB＝BC得AC⊥BE．

同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED．

因此，AC⊥BD．

10．下列四个命题中，正确的序号有________．

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；     ②α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；     ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ．

答案  ①②

解析  ③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．

11．在三棱锥P－ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．

答案  3

解析  ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P， ∴PA⊥平面PBC，

又PA⊂平面PAC，PA⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PBC．

同理可证平面PAB⊥平面PAC．

二、解答题

12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，求证平面PBE⊥平面PAB．

证明  如图所示，连接BD，

由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．

因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．

又AB∥CD，所以BE⊥AB．                

又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，

所以PA⊥BE．

而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．

又BE⊂平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB．

13．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E．求证AE⊥平面PBC．

证明  ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．

又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．

而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．

又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE．

又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC．