艺术生高考数学专题讲义:考点39 直线的交点与距离公式
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这是一份艺术生高考数学专题讲义:考点39 直线的交点与距离公式,共8页。试卷主要包含了两直线相交,三种距离公式,过两直线交点的直线系方程,对称问题,关于对称的几个结论等内容,欢迎下载使用。
考点三十九 直线的交点与距离公式知识梳理1.两直线相交交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行⇔方程组无解;重合⇔方程组有无数个解.2.三种距离公式(1)两点间距离公式点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离:|AB|= .(2)点到直线的距离公式点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:d= .说明:求解点到直线的距离时,直线方程要化为一般式.(3)两平行线间距离公式两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0 (C1≠C2)间的距离为d=.说明:求解两平行线间距离公式时,两直线x,y前系数要化为相同.3.过两直线交点的直线系方程过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),其中λ是待定系数,在这个方程中,无论但λ取何值,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线l2.4.对称问题(1)中心对称①若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得,即对称点N坐标为(2a-x1,2b-y1).②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用两直线平行,由点斜式得到所求直线方程.(2)轴对称①点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则线段P1P2的中点在l上,而且连接P1P2的直线垂直于l,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2).②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.5.关于对称的几个结论(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y);(2)点(x,y)关于y轴的对称点为(-x, y);(3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);(4)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x);(5)点(x,y)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x);典例剖析题型一 求两直线的交点例1 直线2x+3y+8=0和直线x-y-1=0的交点坐标是________.答案 (-1,-2)解析 解方程组得即交点坐标是(-1,-2).变式训练 两条直线x+my+12=0,2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m的值是________.答案 ±6解析 设交点坐标为(0,b),则有解得m=±6.解题要点 对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它们的交点可由求解.题型二 过两直线交点的直线方程求法例2 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.解析 法一:由方程组,得,即P(0,2).∵l⊥l3,∴kl=-,∴直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.法二:∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11,∴直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.变式训练 过两直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为________________.答案 3x+y=0解析 联立得交点P(1,-3).设过点P且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0,则3×1-3+m=0,解得m=0.解题要点 求过两直线交点的直线方程,既可先联立方程组求出交点坐标然后再求方程,也可以利用过两直线交点的直线系求解,需注意,利用直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)求解时,要注意检验直线A2x+B2y+C2=0是否符合题意,以免漏求直线.题型三 距离公式的应用例3 正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程.解析 点C到直线x+3y-5=0的距离d==.设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5),则点C到直线x+3y+m=0的距离d==,解得m=-5(舍去)或m=7,所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,则点C到直线3x-y+n=0的距离d==,解得n=-3或n=9,所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.变式训练 已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为________.答案 解析 直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,即3x+4y+=0,∴直线l1与l2的距离为=.解题要点 正方形的四条边两两平行和垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决,解题时要结合图形进行有效取舍.这个解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y的系数化为相同的形式.题型四 简单的对称问题例4 已知光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方程.解:作出草图,如图所示,设A关于直线y=x的对称点为A′,D关于y轴的对称点为D′,则易得A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为=,即10x-3y+8=0.变式训练 如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是________.答案 2解析 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0),则光线所经过的路程PMN的长为|CD|=2.解题要点 对称问题的核心是“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.当堂练习1.若三条直线2x+3y+8=0,x-y=1,和x+ky=0相交于一点,则k的值等于________.答案 -解析 由得交点(-1,-2),代入x+ky=0得k=-.2.两条直线l1:2x+y-m=0与l2:x-my+3=0的交点在y轴上,那么m的值为________.答案 ±3解析 2x+y-m=0在y轴上的截距为,直线x-my+3=0在y轴上的截距为,由=得m=±3.3. P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为________.答案 (1,2)或(2,-1)解析 设P(x,5-3x),则d==,|4x-6|=2,4x-6=±2,∴x=1或x=2,∴P(1,2)或(2,-1).4.已知直线l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为________.答案 解析 因为l1,l2关于直线y=-x对称,所以l2的方程为-x=-2y+3,即y=x+,即直线l2的斜率k为.5.与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线的方程为________.答案 5x-12y+32=0和5x-12y-20=0解析 设所求直线的方程为5x-12y+c=0.在直线l:5x-12y+6=0上取一点P0(0,),则点P0到直线l:5x-12y+c=0的距离为d==,由题意,得=2,解得c=32或c=-20.所以,所求直线的方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.课后作业一、 填空题1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是________.答案 解析 d==.2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则两平行线间的距离是________.答案 解析 依题意得∴m=-8,∴直线AB方程为:2x+y+12=0.∴d==.3.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是________.答案 2解析 ∵=≠-,∴m=8,直线6x+my+14=0.可化为3x+4y+7=0,两平行线之间的距离d==2.4.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为________.答案 3x+4y+5=0解析 与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程是3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0.5.若A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则a等于________.答案 -或-解析 依题意,=,解得a=-或a=-.6.对任意实数a,直线y=ax-3a+2所经过的定点是________.答案 (3,2)解析 直线y=ax-3a+2变为a(x-3)+(2-y)=0.又a∈R,∴解得得定点为(3,2).7.直线x-2y+1=0关于直线y-x=1对称的直线方程是_______________.答案 2x-y+2=0解析 设所求直线上任一点的坐标为(x1,y1),它关于y-x=1对称点的坐标为(x0,y0),则,得对称点的坐标为(y1-1,x1+1),且点(y1-1,x1+1)在直线x-2y+1=0上,所以y1-1-2(x1+1)+1=0,化简得2x1-y1+2=0.8.曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是______________.答案 m>4或m<-4解析 曲线-=1的草图如图所示.与直线y=2x+m有两个交点,令y=0,则x=-,所以-<-2或->2,所以m>4或m<-4.9.直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为________.答案 (1,)解析 直线l1的方程为y=(x+2),由l2⊥l1得直线l2的斜率为-,直线l2的方程是y=-(x-2).由得因此直线l1与l2的交点坐标是(1,).10.过两直线7x+5y-24=0与x-y=0的交点,且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为________.答案 3x-y-4=0解析 设所求的直线方程为7x+5y-24+λ(x-y)=0,即(7+λ)x+(5-λ)y-24=0.∴=,解得λ=11.故所求直线方程为3x-y-4=0.11.点P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离的最大值等于________.答案 3解析 P(-1,3)到直线l:y=k(x-2)的距离为d==3,由于≤1,所以d≤3,即距离的最大值等于3.二、解答题12.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程.解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.13.已知点P(2,-1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程.(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?解析 (1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,过P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知得=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.由l⊥OP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.所以直线2x-y-5=0是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为=.
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