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    艺术生高考数学专题讲义:考点39 直线的交点与距离公式

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    艺术生高考数学专题讲义:考点39 直线的交点与距离公式

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    这是一份艺术生高考数学专题讲义:考点39 直线的交点与距离公式,共8页。试卷主要包含了两直线相交,三种距离公式,过两直线交点的直线系方程,对称问题,关于对称的几个结论等内容,欢迎下载使用。
    考点三十九  直线的交点与距离公式知识梳理1两直线相交交点:直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行方程组无解;重合方程组有无数个解.2三种距离公式(1)两点间距离公式A(x1y1)B(x2y2)间的距离:|AB|.(2)点到直线的距离公式P(x0y0)到直线lAxByC0的距离:d.说明求解点到直线的距离时直线方程要化为一般式(3)两平行线间距离公式两平行直线l1AxByC10l2AxByC20 (C1C2)间的距离为d.说明求解两平行线间距离公式时两直线xy前系数要化为相同3两直线交点的直线系方程过直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1λ(A2xB2yC2)0(λR),其中λ是待定系数在这个方程中无论但λ何值都得不到A2xB2yC20因此它不能表示直线l2.4对称问题(1)中心对称若点M(x1y1)N(xy)关于P(ab)对称则由中点坐标公式得,即对称点N坐标为(2ax12by1).直线关于点的对称其主要方法是:在已知直线上取两点利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标再由两点式求出直线方程或者求出一个对称点再利用两直线平行由点斜式得到所求直线方程.(2)轴对称点关于直线的对称若两点P1(x1y1)P2(x2y2)关于直线lAxByC0对称则线段P1P2的中点在l而且连接P1P2的直线垂直于l由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2y2)(其中B0x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.5关于对称的几个结论(1)(xy)关于x轴的对称点为(xy)(2)(xy)关于y轴的对称点为(x y)(3)(xy)关于原点的对称点为(xy)(4)(xy)关于直线yx的对称点为(yx)(5)(xy)关于直线yx的对称点为(yx)典例剖析题型 求两直线的交点1 直线2x3y80和直线xy10的交点坐标是________答案 (1,-2)解析  解方程组即交点坐标是(1,-2)变式训练  两条直线xmy1202x3ym0的交点在y轴上,则m的值是________答案  ±6解析  设交点坐标为(0b),则有解得m±6解题要点  对于直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20,它们的交点可由求解.题型二  过两直线交点的直线方程求法2 求经过两直线l1x2y40l2xy20的交点P且与直线l33x4y50垂直的直线l的方程.解析 法一:由方程组P(02)ll3kl=-直线l的方程为y2=-x,即4x3y60.法二:直线l过直线l1l2的交点可设直线l的方程为x2y4λ(xy2)0(1λ)x(λ2)y42λ0.ll3垂直,3(1λ)(4)(λ2)0λ11直线l的方程为12x9y1804x3y60.变式训练  过两直线2xy50xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程为________________答案  3xy0解析   联立得交点P(1,-3)设过点P且与直线3xy10平行的直线方程为3xym0,则3×13m0,解得m0.解题要点  过两直线交点的直线方程既可先联立方程组求出交点坐标然后再求方程也可以利用过两直线交点的直线系求解需注意利用直线系方程A1xB1yC1λ(A2xB2yC2)0(λR)求解时,要注意检验直线A2xB2yC20是否符合题意以免漏求直线.题型  距离公式的应用3 正方形的中心为点C(1,0),一条边所在的直线方程是x3y50,求其他三边所在直线的方程.解析 C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)则点C到直线x3ym0的距离d解得m=-5(舍去)m7所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0则点C到直线3xyn0的距离d解得n=-3n9所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy303xy90.变式训练  已知直线l1的方程为3x4y70,直线l2的方程为6x8y10,则直线l1l2的距离为________答案  解析  直线l1的方程为3x4y70,直线l2的方程为6x8y10,即3x4y0直线l1l2的距离为.解题要点  正方形的四条边两两平行和垂直,设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决,解题时要结合图形进行有效取舍.个解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程.运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线的距离公式时,需先把两平行线方程中xy的系数化为相同的形式.题型  简单的对称问题4 已知光线从A(4,-2)点射出,到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在的直线方程.解:作出草图,如图所示,A关于直线yx的对称点为AD关于y轴的对称点为D,则易得A′(2,-4)D′(1,6).由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点BC.BC所在的直线方程为,即10x3y80.变式训练  如图,已知A(4,0)B(0,4),从点P(20)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是________答案 2解析 由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(2,0),则光线所经过的路程PMN的长为|CD|2.解题要点  对称问题的核心是垂直平分垂直列出一个方程,由平分列出一个方程,联立求解.当堂练习1.若三条直线2x3y80xy1,和xky0相交于一点,则k的值等于________答案  解析  得交点(1,-2),代入xky0k=-2.两条直线l12xym0l2xmy30的交点在y轴上,那么m的值为________答案  ±3解析  2xym0y轴上的截距为,直线xmy30y轴上的截距为m±33. P点在直线3xy50上,且P到直线xy10的距离为,则P点坐标为________答案  (1,2)(2,-1)解析  P(x,53x),则d|4x6|2,4x6±2x1x2P(1,2)(2,-1)4.已知直线l1y2x3,直线l2l1关于直线y=-x对称,则直线l2的斜率为________答案  解析  因为l1l2关于直线y=-x对称,所以l2的方程为-x=-2y3,即yx,即直线l2的斜率k5.与直线l5x12y60平行且到l的距离为2的直线的方程为________答案 5x12y3205x12y200解析 设所求直线的方程为5x12yc0.在直线l5x12y60上取一点P0(0),则点P0到直线l5x12yc0的距离为d由题意,得2,解得c32c=-20.所以,所求直线的方程为5x12y3205x12y200.课后作业一、    填空1.点(1,-1)到直线xy10的距离是________答案  解析  d.2已知过点A(2m)B(m4)的直线与直线2xy10平行,则两平行线间的距离是________答案  解析  依题意得m=-8直线AB方程为:2xy120d3已知直线3x4y30与直线6xmy140平行,则它们之间的距离是________答案 2解析 m8,直线6xmy140.可化为3x4y70,两平行线之间的距离d2.4.与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为________答案 3x4y50解析  与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程是3x4(y)503x4y50.5A(3,-4)B(6,3)两点到直线laxy10的距离相等,则a等于________答案 或-解析 依题意,解得a=-a=-.6.对任意实数a,直线yax3a2所经过的定点是________答案 (3,2)解析 直线yax3a2变为a(x3)(2y)0.aR解得得定点为(3,2)7.直线x2y10关于直线yx1对称的直线方程是_______________答案  2xy20解析  设所求直线上任一点的坐标为(x1y1),它关于yx1对称点的坐标为(x0y0),则,得对称点的坐标为(y11x11),且点(y11x11)在直线x2y10上,所以y112(x11)10,化简得2x1y120.8曲线1与直线y2xm有两个交点,则m的取值范围是______________答案  m>4m<4解析  曲线1的草图如图所示.与直线y2xm有两个交点,令y0,则x=-,所以-<2或->2,所以m>4m<49.直线l1过点(20)且倾斜角为30°,直线l2过点(20)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为________答案  (1)解析  直线l1的方程为y(x2),由l2l1得直线l2的斜率为-,直线l2的方程是y=-(x2).由因此直线l1l2的交点坐标是(1)10.过两直线7x5y240xy0的交点,且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为________答案 3xy40解析  设所求的直线方程为7x5y24λ(xy)0,即(7λ)x(5λ)y240.,解得λ11.故所求直线方程为3xy40.11.点P(1,3)到直线lyk(x2)的距离的最大值等于________答案 3解析 P(1,3)到直线lyk(x2)的距离为d3,由于1,所以d3,即距离的最大值等于3.二、解答题12.过点P(0,1)作直线l使它被直线l12xy80l2x3y100截得的线段被点P平分,求直线l的方程.  l1l的交点为A(a,82a)则由题意知,点A关于点P的对称点B(a,2a6)l2上,代入l2的方程得-a3(2a6)100解得a4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x4y40.13.已知点P(2,-1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程.(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?解析  (1)过点P的直线l与原点的距离为2,而点P的坐标为(2,-1),显然,P(2,-1)且垂直于x轴的直线满足条件,此时l的斜率不存在,其方程为x2.若斜率存在,设l的方程为y1k(x2)kxy2k10.由已知得2,解得k.此时l的方程为3x4y100.综上,可得直线l的方程为x23x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,如图.lOP,得klkOP=-1,所以kl=-2.由直线方程的点斜式得y12(x2)2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线,最大距离为.

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