艺术生高考数学专题讲义：考点45 直线与圆锥曲线的位置关系

考点四十五  直线与圆锥曲线的位置关系

知识梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.

说明：在消去时，要特别注意a＝0时的情形，若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，且

①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．

2．圆锥曲线的弦长

设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.

3．中点弦问题

中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．

(1)点差法

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

点差法解题的实质是建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的联系，也是“设而不求”思想的具体应用．

(2)根与系数的关系

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

(3)在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；

在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；

在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.

典例剖析

题型一  直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用

例1　若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)条

答案  3条

解析  结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．

变式训练  若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是________．

答案 

解析  双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.

解题要点  (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.

(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．

题型二  中点弦问题

例2　过椭圆＋＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．

答案  3x＋4y－13＝0

解析  法1：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，

故＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.

∵ P是A、B的中点，∴ x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴ kAB＝＝－.∴ 直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．即3x＋4y－13＝0.

法2：直接利用结论k＝－

由中点弦斜率公式可得，中点弦所在直线斜率k＝－＝－，

∴所求直线方程为：y－1＝－(x－3)．即3x＋4y－13＝0.

变式训练  已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为____________．

答案  －＝1

解析  法1：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.

法2：直接利用结论k＝

∵kAB＝kFN＝＝1，又由中点弦斜率公式kAB＝＝，∴＝1，4b2＝5a2

c＝3，a2＋b2＝9.联立，解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.

解题要点  点差法是解决此类问题的基本方法，体现了“设而不求”的思想，但对计算要求高．记住一些常见结论，更能提高解题效率．常见结论有：

在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；

在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；

在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.

题型三  弦长问题

例3　已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，则弦AB的长为________．

答案  16

解析  直线l的方程为y＝x＋1，由得y2－14y＋1＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴ |AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.

变式训练  过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为________．

答案  16

解析  抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2，0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.

解题要点  当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．

当堂练习

1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．

答案  2

解析  根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，

∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)·(b2－3)＝0.

∴b2＝3，长轴长为2＝2.

2．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝30，则|AB|＝________．

答案  22

解析  由题意知，a＝13，(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝52，

∵|BF2|＋|AF2|＝30，∴|AB|＝22.

3. 已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．

答案　

解析　设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.

代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.

由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝.

∴|AB|＝·＝.

4．(2015四川文)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于________．

答案　4

解析　右焦点F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2，∴A(2,2)，B(2，－2)，∴|AB|＝4.

5．(2013·课标全国I)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．

答案 ＋＝1

解析  设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由A，B在椭圆上，得

两式相减，得＝－.∴kAB＝＝－·＝－·.

其中(x0，y0)为A，B的中点．

∵kAB＝＝，x0＝1，y0＝－1，

∴－·(－1)＝，即a2＝2b2.①

又∵c＝3，∴a2＝b2＋9.②

由①②解得a2＝18，b2＝9.

∴E的方程为＋＝1.

课后作业

一、    填空题

1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为________．

答案  1或0

解析  由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，若Δ＝0,即64－64k＝0,解得k＝1,因此直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.

2．已知双曲线x2－＝1，过点A(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为________．

答案　4

解析　①斜率不存在时，方程为x＝1符合．

②设斜率为k，y－1＝k(x－1)，kx－y－k＋1＝0.

　(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－5＝0.

当4－k2＝0，k＝±2时符合；

当4－k2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．

3．已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，则m＋n＋2的最小值为________．

答案　4

解析　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，由于直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A，B到y轴的距离分别为m，n，所以由抛物线的定义得m＋n＋2＝|AB|，其最小值即为通径长2p＝4．

4．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为________．

答案　

解析　PQ为过F1垂直于x轴的弦，

则Q(－c，)，△PF2Q的周长为36.

∴4a＝36，a＝9.

由已知＝5，即＝5.

又a＝9，解得c＝6，

解得＝，即e＝.

5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．

答案　3条

解析　该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．

6．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________．

答案　(－，－1)

7．已知斜率为－的直线l交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，若点P(2,1)是AB的中点，则C的离心率等于________．

答案　

解析　kAB＝－，kOP＝，由kAB·kOP＝－，得×(－)＝－.∴＝.

∴e＝＝＝.

8．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为________．

答案  3个

解析  当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，

直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点.

9．动直线l的倾斜角为60°，若直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)交于A、B两点，且A、B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．

答案  x2＝y

解析  设直线l的方程为y＝x＋b，联立消去y，得x2＝2p(x＋b)，

即x2－2px－2pb＝0，

∴x1＋x2＝2p＝3，

∴p＝，抛物线的方程为x2＝y.

10．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．

答案  m≥1且m≠5

解析  因为直线y－kx－1＝0过定点(0,1)，

要使直线和椭圆恒有公共点，则点(0,1)在椭圆上或椭圆内，即＋≤1，

整理，得≤1，解得m≥1.

又方程＋＝1表示椭圆，所以m>0且m≠5，

综上m的取值范围为m≥1且m≠5.

11．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，－1)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，－2)，则直线l的方程为________．

答案  x＋y＝0

解析  由题意知，抛物线的方程为x2＝－4y，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，

联立方程得两式相减得x－x＝－4(y1－y2)，

∴＝＝－1，∴直线l的方程为y＋2＝－(x－2)，即y＝－x.

二、解答题

12．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的短半轴长b＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4.

(1)求椭圆M的方程；

(2)设直线l：x＝my＋t与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求t的值．

解析  (1)由题意，可得2a＋2c＝6＋4，即a＋c＝3＋2，

又b＝1，所以b2＝a2－c2＝1，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，

所以椭圆M的方程为＋y2＝1.

(2)由消去x得(m2＋9)y2＋2mty＋t2－9＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝.①

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C(3，0)，所以CA·CB＝0.

由CA＝(x1－3，y1)，CB＝(x2－3，y2)得(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝0.

将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入上式，得(m2＋1)y1y2＋m(t－3)(y1＋y2)＋(t－3)2＝0，

将①代入上式，解得t＝或t＝3.

13．(2015陕西文)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.

解析  (1)由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2,解得a＝,所以椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)证明　由题设知,直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2),代入＋y2＝1，

得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

从而直线AP，AQ的斜率之和

kAP＋kAQ＝＋＝＋

＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)

＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.